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6.9 直线与圆的位置关系
1. 教学目标
（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，理解直线与圆的三种位置关系，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．
（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法，强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力
2. 教学重难点
重点：直线与圆的位置关系的判断方法.
难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系.
3．教学基本流程
4．教学情境设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.如何判断点与圆的位置关系？2初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ 师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.生：看图，并说出自己的看法. 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.
概念形成 2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？（1）直线与圆相交，有两个公共点.（2）直线与圆相切，只有一个公共点.（3）直线与圆相离，没有公共点. 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系. 得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.
概念深化 3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？[][] 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.[]生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.[] 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.
4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？方法一：利用圆心到直线的距离d.方法二：利用直线与圆的交点个数. 师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.生：利用图形，寻找两种方法的数学思想. 抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.
应用举例 5．你能用两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？ ( http: / / www. )例1 如图，已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C的圆x2 + y2 –2y – 4 = 0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一：由直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系通过例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？ 6．你能用点到直线的距离公式决例2的问题吗？ ( http: / / www. )例2 已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆x2 + y2 + 4y –21 = 0所截得的弦长为，求直线l 的方程. 例1 解法一：由直线l 与圆的方程，得消去y，得x2 – 3x + 2 = 0，因为△= (–3)2 – 4×1×2 = 1＞0所以，直线l与圆相交，有两个公共点. ( http: / / www. )解法二：圆x2 + y2 –2y – 4 = 0可化为x2 + (y – 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C (0，1)到直线l 的距离d =＜.所以，直线l 与圆相交，有两个公共点.由x2 –3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.把x1=2代入方程①，得y1= 0；把x2=1代入方程①，得y2= 3；所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是A (2，0)，B (1，3).师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.生：交流自己总结的步骤.师：展示解题步骤.例2 解：将圆的方程写成标准形式，得x2 + (y2 + 2)2 =25，所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5.如图，因为弦长为，所以弦心距为，即圆心到所求直线l的距离为.因为直线l 过点M (–3，–3)，所以可设直线l的方程为y + 3 = k (x + 3)，即k x – y + 3k –3 = 0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离d =.因此，，即|3k – 1| =，两边平方，并整理得到2k2 –3k –2 = 0，解得k =-，或k =2.所以，所求直线l 有两条，方程分别为y + 3 =(x + 3)，或y + 3 = 2(x + 3).即x +2y +9= 0或2x –y + 3 = 0. 体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.
例3.过点作圆的切线l，求切线l的方程.7．通过学习例3，你能说明例3中体现出来的数学思想方法吗？8．通过例2的学习，你发现了什么？半弦、弦心距、半径构成勾股关系. 师：启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题，探索直线与圆的相交弦的求法。生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.分析：点 位于圆 外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切. 在已知切线过定点的情况下求切线方程，就是要求切线的斜率，设切线斜率为，切线方程为.由直线与圆相切，一方面直线与圆有唯一的公共点，对应的代数形式是联立的方程组有两个相等的实数根；另一方面直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可求出的值.解：设切线l方程为，即kx- y+1-2k=0.由圆心O(0, 0)到切线的距离等于半径1，得，因此，所求切线l方程为或.分析：(思路2) 经过的直线l与圆相切，联立直线方程与圆的方程组成的方程组只有一组解，从而求出切线方程. 进一步深化“数形结合”的数学思想.明确弦长的运算方法.
9．完成教科书6.9 B组练习题1 师：引导学生完成练习题.生：互相讨论、交流，完成练习题. 巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.
归纳总结 10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？ 师生共同回顾 回顾、反思、总结形成知识体系
课外作业 布置作业：习题A组 学生独立完成 巩固所学知识
5．几点说明
（1）本节课开始时要注意用几何直观引入新课．
（2）教学中应充分关注学生的算法，注重让学生阅读教科书，自主学习、思考、交流、讨论、概括，达到简化运算的目的．
（3）本节的计算量较大，应注意几何性质的运用．
创设情境，通过几何模型引入新课
给出相关概念
判断直线与圆的位置关系
探索求弦长的方法
切线方程的求法
课堂练习，小结与课后探究
①
②

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