资源简介

课程基 本信息 学科 数学 年级 高中 课时 1
课题 7.1.2复数的几何意义
教科书 新人教版A版高中数学必修二
教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第七章第1节第二课时，是在学生学习了复数的概念之后，对复数概念的进一步理解和深化，为下一节课复数加法和减法几何意义的学习提供了理论支撑，因此，本节课具有承上启下的作用．复数的几何意义让“神秘”的复数得以直观呈现，在对复数的几何意义的探究过程中，可以加深学生对数形结合思想的认识，提升学生的逻辑推理、直观想象等数学素养．
学情分析 本节课是在学生学习了复数的概念之后，对复数概念的进一步理解和深化.复数z=a+bi（a，b∈R）本质是一对有序实数对（a，b），因此利用复平面表示复数，可以直接得到复数的两种几何意义．但在理解认识上，学生不易接受“二维”的复数与点和向量的一一对应关系.解决方案：在讲探究新知前，给学生足够的自主学习时间，提前布置自学目标和检测练习，让学生为新课的学习做好知识准备．充分了解学生学情后，采用数形结合、动画演示等教学方法，让学生轻易突破重、难点．
设计理念 本节课倡导以教师为主导、以学生为主体、以训练为主线、清基础的‘三主一清’的教学理念.简介复数发展史引起学生的学习兴趣，类比实数的几何意义，预留时间引导学生先自主学习，再配合100分小测检测学情.在新课探究方面，采用教师引导、学生探索相结合的教学方法.在重、难点突破方法，采用数形结合和动画演示，让学生经历直观感知、观察发现、抽象概括等思维过程，进而主动思考、大胆想象积极参与学习中来.在清基础方法，精选3题自学检测，3题精典例题，3题课堂检测及3题高考题，都预留充足时间，让学生独立思考，再小组讨论最后师生订正，达到清基础目的，顺利完成本节教学任务.
教学目标 1. 了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系； 2. 理解共轭复数的概念，并会求共轭复数； 3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题；
学科素养 数学抽象：掌握复平面、复数的模等概念． 逻辑推理： 数学建模： 数学运算：求复数的模及共轭复数，运用其性质求解相关问题 ． 直观想象：理解复数的两种几何意义． 数据分析：
教学重点 教学难点 1. 理解和掌握复数的两种几何意义； 2. 会在复平面内找出复数z＝a＋bi所对应的点和向量．
1. 求复数的模长及共轭复数；
2. 根据题意，建立复数的实部与虚部满足的条件，列方程(组)或不等式(组)求解.
教学方法 讲授法、问答法、讨论法、练习法
教学手段 智慧课堂、课件、电子白板和黑板
教学流程 1.复习回顾 打基础（2分钟） 6.精典例题 悟思路（10分钟） 2.课堂导入 引兴趣（2分钟） 7.课堂小结 明结构（2分钟） 3.自主学习 悟新知（3分钟） 8.课堂检测 精评价（5分钟） 4.自学检测 查学情（3分钟） 9.高考连线 圆梦想（3分钟） 5.新知探究 提素养（15分钟）
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一： 复习回顾（2分钟） 复习7.1.1数系的扩充与复数概念的内容 问题1：复数的概念和分类？ 问题2：复数相等的充要条件？ 问题3：复数能否和实数一样比较大小呢？ 学生：形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数 复数分类 复数a＋bi(a，b∈R) 学生：实部和实部相等，虚部和虚部相等时 学生：复数不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大小. 温故知新，通过提问复习，建立知识间的联系，同时提高学生概括能力、总结的力． ．
环节一： 课堂导入（2分钟 复数发展过程：复数的扩充历时近三百年，直到著名的数学家高斯，首次引进“复数”这个词，创立了复平面，让“神秘”的复数得以直观呈现，为进一步研究复数奠定了基础．这节课我们来学习复数的几何意义？ 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示.复数有什么几何意义呢？ 学生课前查阅资料，了解数系的扩充史. 简介复数的发展史，提高学生的求知欲，快速带领学生进入角色.类比实数的几何意义，思考复数的几何意思.
环节二： 自主学习（3分钟） 为了更好了理解和掌握复数几何意义！请同学们打开课本，预习课本P70～72，思考并完成以下问题： 1、能在复平面内找对应点？ 2、会计算复数的模？ 3、掌握共轭复数的相关概念？ 学生自主学习，思考并回答问题. 自主学习能培养学生的自学能力、良好的学习品质，提高学生的学习乐趣，进而提高课堂效率.
环节三： 自学检测（3分钟） 同学们自学的怎么样呢？我们来做下自学检测，你有3分钟时间完成下面3题： 1.说出图中复平面内各点表示的复数 (方格的边长为1) 判断正误 (1)复平面内的点与复数是一一对的．(　　) (2)复数的模一定是正实数．(　　) (3)复数与向量一一对应．(　　) 3.求复数z＝3－4i的模长|z|= ,及共轭复数 = 学生： 解：点A表示的复数是2+5i； 点B表示的复数是-3+2i； 点C表示的复数是2-4i； 点D表示的复数是5； 学生： （√） 这是复数第一几何意义 （2）（×） 复数的模是非负实数 （3）（×） 不严谨，应该是复数Z与复平面的向量一一对应该 学生： 5 3+4i 100分的自学小测，可以激发和鼓励学生的学习积极性，同时教师又能及时了解学情，及时调整教学重、难点和进程，使得课堂更有实效性，效果更好．
环节四：探索新知（15分钟） 知识点一：复数第一几何意义 通过自主学习，同学们基本掌握了复数的几何意义，下们我们继续探索新知： 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定；反之也对.由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 所以，复数集可以与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系，因此可以用点表示复数. 学生：复数z= a+bi与有序实数对（a，b）是一一对应的，实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数z= a+bi与平面直角坐标系中的点是一一对应的． 通过提问、追问，提高学生概括能力、类比推理的力，进而得出结论.
知识点二：复平面 这里再延用平面直角坐标系，已经不太合适了，我们需要引进新的概念：复平面，复平面是著名数学家高斯创立的. 如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a,b)表示. 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴． 问题：在复平面上，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？ 复数的第一几何意义： 动画演示：复平面 学生： 1.实轴上的点表示实数； 2.虚轴上的点除原点外都表示纯虚数； 3.第一象限代表a>0,b>0的虚数；第二象限代表a<0,b>0的虚数；第三象限代表a<0,b<0的虚数；第四象限代表a>0,b<0的虚数. 学生：任意一个复数，在复平面上都有唯一一个点Z与之对，反过来复平面上任意一个点Z都有唯一一个复数与之对，所以，复数z= a+bi与复平面的点是一一对应的． 学生认真聆听，仔细观察，思考并总结出复平面是怎样表示复数的. 通过问题引导学生积极思考，直观想象，从而发现复平面内点的特殊性，锻炼学习的观察能力，分析能力和总结能力. 数系从‘一维’实数扩充到‘二维’复数，学生还存在认知上的差异，借助智慧课堂动画演示复平面，可以通过拖动、旋转，学生很容易获得直观上的理解，大大提高了教学效率和学习效率.
知识点三：复数的第二几何意义 在前面我们学过向量，平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？ 复数第二几何意义 为方便起见，常把复数Z=a+bi说成点Z或说成向量. 规定，相等的向量表示同一个复数. 注意，复数的对应向量是以原点O为起点的. 学生： 在复平面上任意都确定点Z，反过来复平面上任意一个点Z都能确定，所以，复数z= a+bi与平面的向量是一一对应的． 学生： 自学检测判断题第3题是错，因为复数的对应向量是以原点O为起点的. 复数的几何意义让复数实现了从‘数’到‘形’的转化，正是这种直观的表示形式，从让‘神秘’的复数得以直观呈现，从而奠定了复数在数学中的地位.同时数形结合、直观想象、逻辑推理、归纳总结等、也是我们数学重要的核心素养.
知识点四：复数的模 问题：我们知道向量是有模长的,复数可以用向量来表示，那么复数有模长吗？ 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值， 记作，即 == 注意：模显然是一个非负实数 复数不可以比较大小，复数的模长可以比较大小. 问题：复数模长的几何意义？ 思考：如果两个复数相等，则模长是相等的，反过来，若是模长相等，两个向量相等吗？ 问题： (1)复数的模能否比较大小？模相等的两个复数相等吗？ (2)满足|z|=3.5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=3.5(z∈C)的z值有几个？ 这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 动画演示：复数的模 学生： 向量的模就是复数的模，比如复数z=a+bi，对应的向量为=（a，b），那么|z|=||= 学生： 复数模的几何意义？ 复数 z=a+bi的模就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 学生： （1）复数的模能够比较大小，模相等的两个复数不一定相等. （2）2个 （3）无数个，图形是以原点为圆心，以3.5为半径的圆. 学生认真聆听，直观想象，思考并总结出复数的两个几何意义，复数模长的公式及复数模长的几何意义. 类比向量的模长，自然就能得到复数的模长公式.复数的模长是个非负实数，这是易错题，需要重点强调． 本节重、难点就是复数的几何意义及模长的求法.利用动画演示，学习可以直接观察，让‘神秘’的既能看的到又能摸的到．有效突破本节重、难点，提高课堂效率．
知识点五：共轭复数 由前面提到的问题，模相等的两个复数不一定相等，举出例子=3+2i和=3-2i 定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 表示方法：复数Z的共轭复数用表示，即 问题：若，是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称. 特别地，实数的共轭复数是他本身，他们所对应的点重合，都在实轴上. 动画演示：共轭复数 学生： 互为共轭的两个复数实部相等，虚部相反，所以在复平面内所对应的点关于实轴对称. 学生认真聆听，直观想象，思考并总结出互为共轭复数的两个复数，在复平面上对应该点关于实轴对称，且模长相等． 共轭复数是新概念，采用数形结合的教学方法，学生更容易理解和接受． 采用动画演示，通过拖动点的位置，改变的值，它的共轭复数也随之改变，动画演示直观形象，学生更容易理解和掌握.共轭复数的学习，也为以后学习复数的除法做好准备．
环节五： 精典例题 （10分钟） 同学们要想真正掌握和灵活运用，需要配套做些练习： 例1 已知复数在复平面内所对应的点 （1）位于第二象限，求实数m的取值范围 （2）在直线x-2y+4=0上，求实数m的值 分析：求m的值或取值范围，复数z与点Z对应是解题依据，根据题意，找到复数的实部与虚部满足的条件，通过列方程(组)或不等式(组)求解. 归纳总结： (1)找对应关系：复数和点的对应 (2)列方程式:根据题意，找到复数的实部与虚部满足的条件，通过列方程(组)或不等式(组)求解. 例题2：设复数＝4＋3i，＝4－3i. (1)在复平面内画出复数，对应的点和向量； (2)求复数，的模，并比较它们的模大小. 归纳总结：复数与点的对应关系问题 (1)找对应关系：复数可以用复平面内的点 Z(a， b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)计算复数模时，先确定复数的实部和虚部， 再计算模长.虽然两个虚数不能比较大小， 但它们的模可以比较大小. 例题3：设 z∈C，在复平面内 z 对应的点为 Z ，那么满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形. (1) |z|=1 ； (2) 1<|z|<2. 归纳总结：结合复数模长的几何意义，利用数形结合的方法解决有关的问题，形象直观更有助于掌握和运用. 学生思考、讨论，选两名学生电子白板、黑板板演 解： 在复平面内所对应的点 是（，） 解得 -3,2) (2) 学生： 解：(1) (2) 学生： (1) 以原点为圆心，半径为1的圆. (2) 以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界. 例1是一经典例题，即考复数与点对应，又考点所在位置的坐标特征，把本节课所学内容与‘数学现实’有机结合，符合学生的认知特点. 例题2是教材例题，由此例题引出共轭复数的概念，本教学设计是先由问题引发思考得到共轭复数的概念后，再探讨此题，难度减弱学生更容易理解和掌握. 例题3主要是针对模长的几何意义和数形结合所设计的，本题难度不大，但扩容、综全性比较强，也为后期学习做好了铺垫.
环节六： 课堂小结 （2分钟） 本节课学习了什么内容？你还有什么困惑？ 知识结构： 2.方法归纳：待定系数法、数形结合. 师生共同回顾 师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养
环节七： 课堂检测（5分钟） 同学们本节课掌握怎么样呢？我们来做一下课堂检测，你有5分钟时间完成下面3题: 1．设O为原点中，向量、对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　　) A．－1＋i　　　　　　 B．1－i C．－5－5i D．5＋5i 2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　) A．1或3　 　B．1　 　C．3　 　D．2 3．如果复数z＝(m^2＋m－1)＋(4m^2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 学生自主完成，师生共同订正： 1.C 2.A 3. 课堂检测不仅能够让学生巩固所学知识，又能让学生得到进一步提高.再加上满分100分更能激发和鼓励学生的学习积极性.
环节八： 高考连线（3分钟） 1.(16年全国2 文 )设复数z满足z+i=3-i，则=( ) A．-1+2i　 　B．1-3i 　C．3+2i 　D．3-2i 2.（2022年全国乙 文）若z=1+i，则|z+3 |=( ) A．　 　B． 4√2　C．　D． 3.(2022年全国甲 理 ）若z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b为实数则（ ） A．a=1，b=-2　 　 B．a=-1，b=2 　C．a=1，b=2 　 D．a=-1 ，b=-2 学生： 1.C 2.C 3.A “十年寒窗磨一剑,今朝出鞘试锋芒”高考对学生来说即‘神秘’又‘好奇’，即‘恐惧’又‘向往’，本环节设计意图就是告诉学生，高考没什么‘神秘’，平时所学内容就是高考内容.
环节九： 课堂作业 1.必做题：教材P73第4、5题 2.选做题：教材P73第6题 学生有差异，分层作业是学生可持续发展的保证，是促进学生可持续发展的有效措施.
板书设计 7.1.2复数的几何意义 一、复习回顾 二、复平面 三、复数的几何意义 四、复数的模：== 五、共轭复数：如果z=a+bi,那么=a-bi
教学反思 本节课采用‘三主一清’的教学理念，类比实数的几何意义，引导学生自主学习本节内容，把课堂还给学生.在重、难点突破方面，采用数形结合、动画演示等教学方法.在清基础方面，精选12道习题，把本节课所学内容与‘数学现实’有机结合.这些都符合学生的认知特点，进而顺利完成本节课的教学任务.美中不足，还有许多细节处理的不够好，若有机会重上这一节，我会准备更充分，教学衔接更紧凑，鼓舞语言更及时，总之以后还需要更加努力.

展开更多......

收起↑