资源简介

第二节 基本不等式及其应用
★考点梳理
一、基本不等式：
如果,,那么(当且仅当时取"").
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
变形1：若,则（当且仅当时取“=”）；
变形2：若,则（当且仅当时取“=”）．
二、重要不等式：
（1）如果,,那么(当且仅当时取"").
变形：若,则（当且仅当时取“=”）．
（2）.
三、用基本不等式求最值：
“和定积最大，积定和最小”，即设都是正数，则：
（1）如果积为定值, 那么当时，和有最小值；
（2）如果和为定值, 那么当时，积有最大值
四、常用结论：
若,则（当且仅当时取“=”）；
若,则（当且仅当时取“=”）；
（3）若,则（当且仅当时取“=”）；
（4）不等式链：（,当且仅当时取“=”）；
（5）对数均值不等式：.
★重难点题型探究
一、真题感悟
例1、（1）（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
（2）(2021高考天津)若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】：， ，
当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为．故答案：．
二、常用方法探究
方法1、凑项或凑系数
通过对项的合理分拆或组合以及对某些因式的系数的合理调整，使之产生和为定值或积为定值，符合基本不等式的结构特征和条件.
例2、（1）（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
因为，所以3x－1>0，所以，
当且仅当，即x =1时等号成立，故函数的最小值为5．故选：D．
（2）（2023·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知，则的最大值为 ( )
【答案】
∵，∴，
当且仅当，即时，取等号，故的最大值为.故答案为：
（3）（2023春·江苏苏州·高二统考期末）已知，，，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即，又，所以，时，等号成立.
故的最小值为.故答案为：.
（4）（2023·浙江杭州·统考二模）已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.
【详解】∵，∴，即：∴，
∵，，∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，故的最小值为16.故选：C.
点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
方法2、分离常数法
对于形如(，)的分式型的函数通过配凑分子，转化为的形式，即可用基本不等式求解，称为分离常数法.(也可以令对分母换元求解）.
例3、已知,则函数的最小值为（ ）
A． B．2 C． D.4
【答案】D
【解析】当时,当时取等号,故选D.
方法3、除法
对于形如()的函数，通过分子分母同除以求解.
例4、假设在某时段内A路段的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，那么在车流量最大时，平均速度v___________秒.
【答案】40（千米/小时）
【详解】，当且仅当时等号成立.
故答案为40（千米/小时）.
方法4、巧用“1”的逆代换，以便形成基本不等式的结构
类型1：已知求的最值型，
类型2：构造分母代换型，如已知，求的最小值，可构造求解.
例5、（2021江苏·高考）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，
所以，所以，即，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B
例6、（2023·广东揭阳·高三校考练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
方法5、“和”“积”互化
已知求或的最值（，），可部分用均值，积和互化，构造关于目标式的不等式，再求解不等式.
例7、（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】由，得，即，
因为 ，所以，即，因为为正实数，故得，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为.
三、综合运用能力提升
例8、（2020年新高考1卷）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
例9、（2022·广东·高三练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（ ）（精确到1米）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
【答案】C
由题意知，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米. 故选：C.
点睛：本题也可以利用米勒最大张角原理求解，该原理是：如果两个点在直线的同一侧，是上的一点，那么当点是过点的圆与的切点时，对的张角最大.运用该原理通过切割线定理可迅速获解.
例10、（2022·山西吕梁·高三阶段练习）如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为，所以，即，又因为G为线段AO的中点，
所以，
因为，，所以，因为D、G、E三点共线，所以，即，
所以
，当且仅当，即时取等号．故选：C.
例11、（2023·东莞·统考模拟预测）（多选题）已知，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由，得，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，由，得且，
令，则，解得，解得，
得在上单调递增，在上单调递减，所以，即，B正确；
对于C，当时，满足，，C错误；
对于D，，D正确.
例12、（2023武汉华中师大附中校考练习）已知正数a，b满足，则_______.
【答案】
【详解】因为a，b都为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立.
则，即，也就是（）
构造函数，，则，令，得
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
可知在处取得最大值，故，即
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，又，
所以，且，，即，所以，故答案为：
点睛：本题考查利用基本不等式及导数研究函数的单调性并证明不等式，关键是构造函数，，从而证得，再结合基本不等式求解，考查转化与化归能力和求解运算能力.

展开更多......

收起↑