资源简介

5.1.1　平均变化率
教学目标：
1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念；
2．理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；
3．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想．
教学重点：
会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．
教学难点：
对平均变化率概念的本质的理解．
教学过程：
一、情景设置
为了弄清气温变化的快慢问题，我们先来观察如图所示的气温曲线图（以3月18日作为第一天）．
容易看出点B、C之间的曲线比点A、B之间的曲线更加“陡峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢．
问题：如何量化曲线上某一段的“陡峭”程度呢？
二、学生活动
从B到C位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化“陡峭”程度呢？
1．探究1：由点B上升到C点必须考察yC－yB的大小，但仅注意到yC－yB的大小能否精确量化BC段“陡峭”的程度？为什么？
2．探究2：还必须考察什么量？
3．探究3：曲线上BC之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？
三、数学建构
1．平均变化率．
函数在区间[x1，x2]上的平均变化率为：
说明：
（1）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
（2）若设，，则在[x1，x2]平均变化率为．
（3）在[x1，x2]平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的斜率．
四、数学运用
例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图1所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为
从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为
1 2
例2　水经过虹吸管从容器甲流向容器乙如图2所示，s后容器甲中的水的体积（单位：），试计算第一个10s内V的平均变化率．
解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为
≈＝－0.3161（cm3/s），
即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.3161 cm3/s（负号表示容器甲中的水在减少）．
例3　已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．
解：函数在[1，3]上的平均变化率为
函数在[1，2]上的平均变化率为
函数在[1，1.1]上的平均变化率为
函数在[1，1.001]上的平均变化率为
例4　已知函数，分别计算函数及在区间[－3，－1]，[0，5]上的平均变化率．
解：函数在[－3，－1]上的平均变化率为
函数在[0，5]上的平均变化率为
函数在[－3，－1]上的平均变化率为
函数在[0，5]上的平均变化率为
五、小结
1．函数在区间[x1，x2]上的平均变化率为；
2．平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

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