资源简介

5.1.2　瞬时变化率——导数（1）
教学目标：
1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；
2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；
3．理解切线概念的实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转
化问题的能力及数形结合思想．
教学重点：
理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．
教学难点：
用“无限逼近”“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．
教学过程：
一、情景设置
如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．
如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线，该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．
因此，在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看做直线（即在很小的范围内以直代曲）．
二、学生活动
如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线．
1．探究1：试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；
2．探究2：在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？
3．探究3：在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线吗？
三、数学建构
1．切线．
切线定义：如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线．
思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？
四、数学运用
例1　已知，求曲线在处的切线斜率．
解：设P(2，4)，Q(2＋ x，(2＋ x)2)，则割线的斜率为
当无限趋近于0时，无限趋近于常数4，从而曲线在点P(2，4)处的切线斜率为4．
五、小结
1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映(局部以直代曲)；
2．根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．

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