资源简介

5.3.1　单调性
教学目标：
1．理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．
教学重点：
利用导数判断函数的单调性的原理．
教学难点：
利用导数判断函数单调性的方法．
教学过程：
一、情景设置
怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？
二、学生活动
1．探究1：由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？
2．探究2：导数与函数的单调性有什么联系？
3．探究3：如果在某区间上是增函数，那么在该区间上必有吗？
三、数学建构
1．函数的导数与函数的单调性的关系．
我们已经知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数．从函数的图象可以看到：
切线的斜率
（2，＋∞） 增函数 正 ＞0
（－∞，2） 减函数 负 ＜0
在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数的值随着x的增大而增大，即时，函数在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数的值随着x的增大而减小，即时，函数在区间（－∞，2）内为减函数．
一般地，我们有下面的结论：
对于函数，如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数．
上述结论可以用图（1）和图（2）来直观理解．
2．利用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数的导数；
②令解不等式，得的范围就是递增区间；
③令解不等式，得的范围，就是递减区间．
四、数学运用
例1　确定函数在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数．
解：，令，解得．
因此，在区间（2，＋∞）上，，是增函数；在区间（－∞，2）上，，是减函数（如下图）．
例2　确定函数在哪些区间上是增函数．
解：．
令，解得或．
因此，在区间（－∞，0）上，，是增函数；在区间（2，＋∞）上，，也是增函数（如下图）．
例3　确定函数（x∈(0，2)）的减区间．
解：．
令，即．又x∈(0，2），所以x∈(，)．
故所求的减区间是(，)．
五、小结
1．在某区间上可导，可以根据或，求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．
2．当在某区间上，那么在这个区间上是常数函数．

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