资源简介

8.2.1　随机变量及其分布列（2）
教学目标：
1．正确理解随机变量及其概率分布列的意义；
2．掌握某些较复杂的概率分布列．
教学重点：
1．求解随机变量的概率分布；
2．理解两点分布的概念．
教学难点：
掌握某些较复杂的概率分布列．
教学过程：
一、问题情境
既然随机事件可以用随机变量表示，那么随机事件的概率就可以用随机变量取值的概率表示了．
二、学生活动
例如，随机试验“抛掷枚质地均匀的硬币”结果有两个：正面向上和反面向上，那么｛X＝0｝表示“反面向上”，｛X＝1｝表示“正面向上”．于是，“反面向上”的概率可以表示为P（｛X＝0｝）＝，“正面向上”的概率可以表示为
P（｛X＝1｝）＝，通常将P（｛X＝0｝），P（｛X＝1｝）简记为P（X＝0），P（X＝1）．
这一结果可用表8-2-1来描述．
表8-2-1
0 1
三、数学建构
随机变量的概率分布：
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n．①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．也可以将①用表格的形式来表示．
表8-2-2
…
…
我们将表8-2-2称为随机变量X的概率分布表．它和①都叫作随机变量X的概率分布．
随机变量分布列的性质：
（1）pi≥0；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1．
四、数学运用
1．例题：
例2　求例1（3）中的随机变量X的概率分布．
解：根据题意，有
故随机变量X的概率分布如表8-2-3所示．
表8-2-3
0 1 2
例3　从装有6个白球和4个红球的口袋中任取一个球，用X表示“取到的白球个数”，即求随机变量X的概率分布．
解：由题意知
．
故随机变量X的概率分布列为，概率分布如表8-2-4所示．
表8-2-4
0 1
在例3中，随机变量X只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，例如：在射击中，只考虑“命中”与“不命中”：对产品进行检验时，都只关心“合格”与“不合格”．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X～0-1分布或X～两点分布．此处“～”表示“服从”．
例4　同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．
设两颗骰子中出现的点数分别为X1，X2，记X＝max｛X1，X2｝．
（1）求X的概率分布；
（2）求P（2＜X＜5）．
解：（1）依题意知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)…(6，5)，(6，6)．因而X的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见表8-2-5．
表8-2-5
的值 样本点 样本点个数
1 （1，1） 1
2 （2，2），（2，1），（1，2） 3
3 （3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3） 5
4 （4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4） 7
5 （5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5）（2，5），（1，5） 9
6 （6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6）（4，6），（3，6），（2，6），（1，6） 11
由古典概型可知X的概率分布如表8-2-6所示．
表8-2-6
1 2 3 4 5 6
（2）P（2＜X＜5）＝P（X＝3）＋P（X＝4）
．
思考：在例4中，若记Y＝max｛X1，X2｝，求Y的概率分布．
2．练习：
1．一种新型节能灯使用寿命低于1000h的概率为0.1．定义随机变量
0，寿命＜1000h；
X＝
1，寿命≥1000h．
试写出随机变量的概率分布列．
2．已知随机变量的概率分布如下：
－1 －0.5 0 1.8 3
0.1 0.2 0.1 0.3
求：（1）a； （2）P（X＜0）；
　 （3）P（－0.5≤X＜3））； （4）P（X＜－2）；
（5）P（X＞1）； （6）P（X＜5）．
五、回顾小结
1．本节课学习了哪些数学知识？
（1）随机变量概率分布表的概念及性质；
（2）求随机变量X的分布列的步骤；
（3）0-1分布．
2．本节课运用了哪些数学方法？
3．学习了本节课还有哪些收获？

展开更多......

收起↑