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8.2.2　离散型随机变量的数字特征（1）
教学目标：
1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
2．能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．
教学重点：
取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．
教学难点：
离散型随机变量均值（数学期望）的概念．
教学过程：
一、问题情境
随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的取值规律，但在实际问题中往往不容易求出精确的分布规律，而对于很多此类问题，并不需要了解这个规律的全貌，只要知道能揭示其分布特征的某些重要数字就够了．
离散型随机变量有哪些数字特征呢
某种福利彩票每张彩票1元，购买者每买张彩票随机可重复地从0，1，2，…，9这十个数字中选择3个数字．当所选3个数字与随机摇出的获奖3位号码数字及顺序均相同时，可以获得500元奖金．
如果你长期购买这种彩票，那么你的收益状况如何？
二、学生活动
要了解长期收益情况，也就是要确定在购买很多次这种彩票的前提下，平均每张彩票的收益金额．
因为从0，1，2，…，9这10个数字中抽取3个数字(可以重复抽取)，共有1000种抽法，所以，购买一张彩票获奖概率为．
根据条件可知，若设随机变量X为购买一张彩票时的获奖金额，则其概率分布如表8-2-7所示．
表8-2-7
0 500
0.999 0.001
也就是说，在购买很多张彩票的前提下，平均来说，每1000中有且只有1张获奖，即获奖总金额为500元．因此，平均每张彩票获奖金额为元．我们将0.5称为购买一张彩票的收益均值或数学期望．
这里的0.5也可以由下面的式子0×0.999＋500×0.001求得．
三、数学建构
1．定义
一般地，若随机变量X的概率分布如表8-2-8所示．
表8-2-8
…
… [
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1，我们将x1p1＋x2p2＋…＋xnpn称为随机变量X的均值或X的数学期望，记为或．
2．性质
（1）E(c)＝c；（2）E(aX＋b)＝aE(X)＋b（a，b，c为常数）．
四、数学运用
例1　根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：
方案1：运走设备，此时需花费3800元；
方案2：建一保护围墙，需花费2000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元；
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元．
试比较哪一种方案好．
解：关键是看哪种方案的花费与期望损失和最小．
对于方案1，花费为3800元，损失为0元，花费与期望损失之和为3800元；
对于方案2，花费为2000元，损失费的概率分布如表8-2-9所示：
表8-2-9
损失费/元 60000 0
概率 0.01 0.99
期望损失为60000×0.01＋0×0.99＝600（元），所以花费与期望损失之和为
2000＋600＝2600（元）．
对于方案3，花费为0元，损失费的概率分布如表8-2-10所示：
表8-2-10
损失费/元 60000 10000 0
概率 0.01 0.25 0.74
期望损失为60000×0.01＋10000×0.25＋0×0.74＝3100（元），所以花费与期望损失之和为3100元．
比较三种方案，我们发现第二种方案的花费与期望之和最小，故方案2较好．
例2　在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道，该地区居民得此病的概率为0.1%．设有1000人去验血，给出下面两种化验方法．
方法1：每人逐一进行检查；
方法2：将1000人分成100组，每组10人．对于每个组，先将10个人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验，如果结果显阴性，那么可断定这10人均无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验．
试问：哪种方法较好？
解：第1种方法的化验次数为1000．
第2种方法：如果一组的混合血液化验结果是阴性的，就可以断定这10个人均无此病，那么，对这10个人只化验1次；如果结果呈阳性，那么必须对这10个人逐个分别化验．这时对这10个人共需进行11次化验，因为对所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为0.001，而且这些人的化验结果是相互独立的，所以每个人的化验次数X的概率分布如表8-2-11所示：
表8-2-11
所以，每个人化验次数X的均值为
×(1－0.001)10＋×[1－(1－0.001)10]．
故1000个人的化验次数的均值为
1000×｛×(1－0.001)10＋×[1－(1－0.001)10]｝
＝1100－1000×0.99910≈110．
所以，第2种方法远好于第1种方法．
练习：
1．某公司计划一项投资，风险评估专家给出了其收益X（单位：百万元）的概率分布为
1 1.5 2 4 10
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求该项投资的收益的均值．
2．由相关专家组成的研究小组对某地台风到来时紧急撤离计划进行了研究，估计13～18h疏散居民的概率分布为
疏散时间 （最接近的时间） 13 14 15 16 17 18
概率 0.04 0.25 0.40 0.18 0.10 0.03
求疏散时间的均值．
3．从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下，问：哪名运动员的平均成绩较好？
8 9 10
0.3 0.1 0.6
8 9 10
0.2 0.5 0.3
五、回顾小结
本节课学习了以下内容：
1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法．

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