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8.2.2　离散型随机变量的数字特征(2)
教学目标：
1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量方差和标准差的概念和意义；
2．能计算简单离散型随机变量方差和标准差，并能解决一些实际问题．
教学重点：
取有限值的离散型随机变量方差和标准差的概念和意义．
教学难点：
离散型随机变量方差和标准差的概念．
教学过程：
一、问题情境
甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如表8-2-12所示．
表8-2-12
0 1 2 3
0.6 0.2 0.1 0.1
0 1 2 3
0.5 0.3 0.2 0
从均值看，E(X1)，E(X2)都是0.7．那么甲、乙两名工人哪个的技术稳定性更好一些？
我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？
二、数学建构
1．定义
一般地，若随机变量X的概率分布如表8-2-13所示：
表8-2-13
…
… [
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1，则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了
xi(i＝1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故
．
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1，刻画了随机变量X与均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或．即
．
方差也可以用计算，有兴趣的同学可以尝试证明．
随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即
．
2．性质
（1）；（2）（a，b，c为常数）．
思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小．
对于前面的问题，通过计算可以求出X1，X2的标准差分别为1.005，0.781，这说明乙的技术稳定性比甲的技术稳定性好一些．
三、数学运用
例3　已知随机变量X的分布如表8-2-14所示，求X的方差D(X)和标准差．
表8-2-14
0 1
解：因为μ＝0×(1－p)＋1×p＝p，
所以D(X)＝(0－p) 2×(1－p)＋(1－p) 2p＝p(1－p)．
即．
例4　有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的分布如表8-2-15、表8-2-16所示．
表8-2-15
25 24 23 22 21 20
0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
表8-2-16
25 24 23 22 21 20
0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1
试问：这两批原棉的质量哪一批较好？
解：两批原棉纤维长度的均值分别为
E(X)＝25×0.1＋24×0.2+23×0.3+22×0.1+21×0.1＋20×0.2=22.5．
E(X)＝25×0.05+24×0.2+23×0.25+22×0.3+21×0.1＋20×0.1＝22.5．
这两批原棉的纤维平均长度相等．
两批原棉纤维长度的方差分别为
D(X)＝(25－22.5)2×0.1＋(24－22.5)2×0.2＋(23－22.5)2×0.3＋
　　　(22－22.5)2×0.1＋(21－22.5)2×0.1＋(20－22.5)2×0.2
　　＝2.65．
D(Y)＝(25－22.5)2×0.05＋(24－22.5)2×0.2＋(23－22.5)2×0.25＋
　　　(22－22.5)2×0.3＋(21－22.5)2×0.1＋(20－22.5)2×0.1
　　＝1.75．
这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉比甲地原棉的质量更好一些．
练习：
1．某种生丝的级别及相应的概率为
级别 1 2 3 4 5 6 7 8 9
概率 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04
试求该生丝的级别X的方差与标准差．
2．随机变量X的概率分布为
（k＝2，4，6，…，100）．
试求E(X)，D(X)．
四、回顾小结
1．本节课学习了哪些数学知识？
（1）离散型随机变量方差、标准差的概念和意义；
（2）离散型随机变量方差、标准差的计算方法．
2．本节课运用了哪些数学方法？
3．学习了本节课还有哪些收获？

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