资源简介

8.2.3　二项分布（1）
教学目标：
理解n次独立重复试验．
教学重点：
1．n次独立重复试验的概念；
2．二项分布的概念及简单应用．
教学难点：
n次独立重复试验的发现．
教学过程：
一、问题情境
射击手射击1次，击中目标的概率为．现连续射击3次，记击中目标的次数为X，则X为随机变量，其取值的集合为｛0，1，2，3｝．
随机变量X的概率分布是什么？
二、学生活动
分析1：探求X的概率分布，即要分别求出下列概率：P(X＝k)（k＝0，1，2，3），即要分别求出事件“连续射击3次，结果恰有次击中目标（k＝0，1，2，3）”的概率．
为直观起见，我们用图8-2-2的树形图来表示射击3次这一试验的过程和结果，其中表示事件“第次射击，结果击中目标”（i＝1，2，3），P(Ai)＝p，（记为q）．
由树形图可见，随机变量X的概率分布如下表所示．
射击
第1次射击
第2次射击
　　
第3次射击
结果
的值 3 2 2 1 2 1 1 0
概率
图8-2-2
分析2：在X＝k时，根据试验的独立性，事件A在某指定的k次发生时，其余的（3－k）次则不发生，其概率为pkq3－k，而次试验中发生k次A的方式有种，故有P(X=k)=pkq3－k，k＝0，1，2，3．因此，概率分布可以表示为下表．
X 0 1 2 3
P q3 pq2 p2q p3
三、数学建构
1．n次独立重复试验
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中P(A)＝p＞0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．
在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为，即P(A)＝p，P()＝1－p＝q．由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余n－k次不发生的概率为pkqn－k．又由于在n次试验中，事件恰好发生k(0≤k≤n)次的方式有种，所以在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为
Pn(k)=pkqn－k，k＝0，1，2，…，n．
它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项．
2．n次独立重复试验的特征：
①每次试验是在相同条件下进行的；
②各次试验的事件是相互独立的；
③每次试验针对某个相同特征的事件只有两种结果：发生与不发生；
④每次试验某事件发生的概率是相同的．
3．二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pkqn－k，k＝0，1，2，…，n，（其中0＜p＜1，p＋q＝1，k=0，…，n），则P(X＝k)＝pkqn－k称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)，其概率分布如表8-2-19所示．
表8-2-19
X 0 1 2 …… n
P p0qn p1qn－1 p2qn－2 …… pnq0
四、数学运用
1．例题：
例1　判断下列试验是不是独立重复试验．
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面朝上；
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次；
（3）口袋中有3个红球，4个白球，不放回的抽取3次．
例2　某射手每次射击击中目标的概率都是0.8，求这名射手在3次射击中，求（1）射手第一次未击中目标，另外两次都击中目标的概率；
（2）射手击中两次目标的概率．
2．练习：
（1）某选手射击1次击中目标的概率为0.9，求其射击3次正好击中2次的概率．
（2）已知X～B（5，0.3），求P（1.5≤X≤3.5）的值．
（3）若某射手每次射击击中目标的概率是0.9，每次射击的结果相互独立，求他在连续4次射击中，①2次击中目标且最后一次未击中目标的概率；②至少3次击中目标的概率．
五、课堂小结
1．本节课学习了哪些数学知识？
（1）n次独立重复试验的模型及其意义；
（2）二项分布的定义及分布列．
2．本节课运用了哪些数学方法？
3．学习了本节课还有哪些收获？

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