资源简介

8.2.3　二项分布（2）
教学目标：
理解二项分布，并能解决一些实际问题．
教学重点：
二项分布公式的应用．
教学难点：
应用二项分布的分布列．
教学过程：
一、问题情境
求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率．
二、学生活动
分析：将一枚均匀硬币随机抛掷100次，相当于做了100次独立重复试验，每次试验有两个可能结果，即出现正面与出现反面，且P(A)＝0.5．
设X为抛掷100次硬币出现正面的次数，依题意，随机变量X～B(100，0.5)，则≈8%．
三、数学建构
1．二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，
k＝0，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)，其概率分布如表8-2-19所示．
表8-2-19
X 0 1 2 …… n
P p0qn p1qn－1 p2qn－2 …… pnq0
2．二项分布的性质
一般地，当X～B(n，p)时，
，
，
．
四、数学运用
1．例题：
例2　设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元．如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006，那么该公司会赔本吗？
解：设这10000人中意外死亡的人数为X，根据题意，X服从二项分布：B(10000，0.006)：
P(X＝k)＝0.006k(1－0.006)10000－k．
死亡人数为X人时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为（120－X）万元．由上述分布，公司赔本的概率为
＝1－P(X≤120)
　　　　　　≈0．
这说明，公司几乎不会亏本．
答：公司几乎不会亏本．
例3　从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，已知这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望和方差、标准差．
解：由于批量较大，可以认为随机变量X～B(10，0.05)，
P(X＝k)＝pk＝pk(1－p)10－k，k＝0，1，2，…，10．
随机变量X的概率分布如表8-2-20所示．
表8-2-20
X 0 1 2 3 4 5
P
X 6 7 8 9 10
P
故
．
由得
σ2＝02×0.050×0.9510＋12×0.051×0.959＋…＋
　　　　102×0.0510×0.950－0.52≈0.725－0.25＝0.475，
即标准差σ≈0.6892．
答：随机变量X的均值为，方差为0.475，标准差约为．
2．练习：
1．一次测验中有10道判断题．随意作答，答对不少于8题的概率是多少
2．如果事件A在一次试验中发生的概率为，那么平均来看，进行多少次试验事件A会发生一次？
3．假设一批集成芯片中次品的概率是0.1，随机挑选的20个芯片中，最多3个样品是次品的概率是多少？
4．假设在10次交通事故中有6次主要是因为超速引起的，求在8次交通事故中有6次主要是因为超速引起的概率．
5．设随机变量X的概率分布如下表所示，试求X的均值和标准差．
X 1 2 3 4 5
P
6．某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话．设每个分机在1h内平均占线20min，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线的分机数目X的均值与方差．
五、回顾小结
1．本节课学习了哪些数学知识？
（1）二项分布的特点及分布列；
（2）二项分布的实际应用．
2．本节课运用了哪些数学方法？
3．学习了本节课还有哪些收获？

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