资源简介

8.2.4　超几何分布
教学目标：
1．通过实例，理解超几何分布及其特点；
2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用．
教学重点：
理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用．
教学难点：
超几何分布列的应用．
教学过程
一、问题情境
1．一批产品共100件，其中有5件不合格品，从中有放回地随机抽取n件产品，则不合格品数X服从二项分布．
2．如果从中不放回地随机抽取n件产品，则不合格品数X服从何种分布？
二、学生活动
从100件产品中随机抽取10件有个等可能基本事件，｛X＝2｝表示的随机事件是“取到2件不合格品和8件合格品”，依据分步计数原理知有个基本事件．根据古典概型，得
．
类似地，可以求得X取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数X的概率分布如表8-2-21所示．
表8-2-21
X 0 1 2 3 4 5
P
三、建构数学
对一般情形，一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的分布如下表所示：
X 0 1 2 … l
P …
其中l＝min｛n，M｝．
一般地，若一个随机变量X的分布列为①，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min｛n，M｝，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N），并将记为H(r；n，M，N）．
说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布中的参数是M，N，n．
四、数学应用
例1　生产方发出了一批产品共50箱，其中误混了2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
解：用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X～H(5，2，50）．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格产品或只有1箱不合格产品，所以被接收的概率为P(X≤1)，即
P(X≤1)＝≈0.99184．
答：该批产品被接收的概率约是0.99184．
例2　高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数．
（1）求获一等奖的概率；
（2）求E(X)．
解：（1）随机变量X服从超几何分布H(5，10，30）．
由公式①得
H(4；5，10，30）＝≈0.0295．
故获一等奖的概率约为2.95%．
（2）X的概率分布如表8-2-23所示．
表8-2-23
X 3 4 5
P
由表8-2-23可知，随机变量X的均值为
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋
　　　5×
　　＝≈1.6667．
事实上，根据均值的计算公式，当X～H(n，M，N）时，
．
其中l＝min｛n，M｝．
练习：
1．一个班级有30名学生，其中10名女生．现从中任选3名学生当班委，设随机变量X表示3名班委中女生的人数，随机变量Y表示3名班委中男生的人数，试求X与Y的概率分布．
2．设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，用随机变量X表示所购2件商品中一等品的件数，写出X的概率分布．
3．已知1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，用随机变量X表示15件中不合格品数．求：
（1）X的分布列；
（2）X的均值E(X)．
五、课堂小结
1．本节课学习了哪些数学知识？
（1）超几何分布的特点；
（2）超几何分布列的简单应用．
2．本节课运用了哪些数学方法？
3．学习了本节课还有哪些收获？

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