资源简介

8.3　正态分布
教学目标：
1．认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义；
2．掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．
教学重点：
正态曲线的特点及曲线所表示的意义．
教学难点：
在实际中什么样的随机变量服从正态分布．
教学过程
一、问题情境
1．前面讨论的二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量的数学模型，在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值．这类随机变量就是连续型随机变量．例如，在必修“统计”一章中给出的金属棒长度的样本数据（《数学（必修第二册）》第245页习题8）：
6.02 6.01 6.04 5.94 5.97 5.96 5.98 6.01 5.98 6.02
6.00 6.03 6.07 5.97 6.01 6.00 6.03 5.95 6.00 6.00
6.05 5.93 6.02 5.99 6.00 5.95 6.00 5.97 5.96 5.97
6.03 6.01 6.00 5.99 6.04 6.00 6.02 5.99 6.03 5.98
2．你能确定测量一次，其测量的长度在区间(5.97，6.03)上的概率吗？
二、学生活动
要解决这样的问题，就要了解随机试验所得数据的分布规律．为此，将这组数据以0.02为组距进行分组，可得频率直方图．
三、建构数学
这个直方图大体呈中间高、两边低、左右大致对称的特点．如果增加更多的测量数据，那么这种趋势会更加明显．
可以设想，如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．
图8-3-2
从图8-3-2可以看出，曲线存在一条过曲线峰顶的对称轴，数据的平均值就在曲线峰顶在x轴上的垂直投影处，在平均值附近的值相对较多，而远离平均值的值相对较少，即很小或很大的数据值所占的比例差不多且很小．
函数（x∈R）的图象与上述曲线非常吻合，我们将该函数的图像称为正态密度曲线．这里有两个参数和，其中．
图8-3-3
如图8-3-3，不同的和对应着不同的正态密度曲线．
正态密度曲线图象具有如下特征：
（1）当时，曲线上升；当时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；
（2）正态曲线关于直线对称；
（3）越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡；
（4）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．
设X是一个随机变量，若对任给区间（a，b]，P(a＜X≤b)是正态密度曲线下方和轴上（a，b]上方所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数为和的正态分布(normal distribution)，简记为X～．
现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如，反复测量某一个物理量，其测量误差通常服从正态分布；某一地区同性别同年龄组儿童的体重，近似地服从正态分布；某地每年1月份的平均气温T，也可以认为近似地服从正态分布．
若X～，则随机变量X在的附近取值的概率很大，在离很远处取值的概率很小．
图8-3-5
具体地，如图8-3-5，随机变量X取值落在区间内的概率约为68.3%；落在区间内的概率约为95.4%；落在区间内的概率约为99.7%．事实上，μ就是随机变量X的均值，就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．
对于节首问题，由于随机的测量误差，使得测量的长度L服从均值为6的正态分布，再用样本方差估计总体方差，得σ≈0.031．故随机测量一次，其测量的长度在区间(5.97，6.03)上的概率约为68.3%．
我们将正态分布N(0，1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表(见附录)可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．
四、数学应用
例1　已知随机变量Z～N(0，1)，查标准正态分布表，求：
（1）P(Z≤1.52)；　　　（2）P(Z＞1.52)；
（3）P(0.57＜Z≤2.3)；　（4）P(Z≤－1.49)．
解：（1）P(Z≤1.52)＝0.9357．
（2）P(Z＞1.52)＝1－P(Z≤1.52)＝1－0.9357＝0.0643．
（3）P(0.57＜Z≤2.3)＝P(Z≤2.3)－P(Z≤0.57)＝0.9893－0.7157＝0.2736．
（4）P(Z≤－1.49)＝P(Z≥1.49)＝1－P(Z≤1.49)＝1－0.9319＝0.0681．
例2　某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184，2.52)，求：
（1）随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率；
（2）随机抽取1罐，共净重在179g与189g之间的概率．
解：（1）
＝1－P(Z≤0.2)
．
（2）P(179＜Z≤189)＝P(＜≤)
＝P(－2＜Z≤2)＝P(Z≤2)－P(Z≤－2)
＝P(Z≤2)－P(Z≥2)＝P(Z≤2)－[1－P(Z≤2)]
＝2P(Z≤2)－1
＝2×0.9772－1
＝0.9544．
答：随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率是0.4207，在179g与189g之间的概率是0.9544．
在实际生活中遇到的很多随机现象，随机变量大体都满足其取值以某个值为中心且左右对称这种特性，一般都可以尝试用正态分布来描述这个随机变量的取值规律．
数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主导地位，那么这样的随机变量服从正态分布.特别是在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的的分布都将趋近于正态分布．
练习：
1．已知随机变量Z～N(0，1)，查标准正态分布表，求：
（1）P(Z≤2.57)；　 （2）P(Z＜0.5)；
（3）P(Z＞－1.5)； （4）P(2＜Z＜2.9)；
（5）P(－2＜Z≤2.9)．
2．已知随机变量～N(2，2.52)，查标准正态分布表，求：
（1）； （2）; （3）．
3．某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为10000kg/cm2，标准差是100kg/cm2，测量记录精确到50kg/cm2．
（1）求抗拉强度超过10150kg/cm2的元件的比例；
（2）如果要求所有元件的规格是9800~10200 kg/cm2 的抗拉强度，那么被报废的元件比例是多少？
五、课堂小结
1．本节课学习了哪些数学知识？
（1）正态分布的特点；
（2）正态分布的简单应用．
2．本节课运用了哪些数学方法？
3．学习了本节课还有哪些收获？

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