资源简介

9.1.2　线性回归方程（1）
教学目标：
1．在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；
2．知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义；
3．培养学生的应用意识和解决实际问题的能力．
教学重点：
线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．
教学难点：
回归直线方程的求解方法．
教学过程：
一、问题情境
问题1：既然我国城镇居民人均年支出与人均年可支配收入之间具有线性相关关系，那么，能否根据这种关系由人均年可支配收人预测对应的人均年支出呢？
问题2：怎样选择恰当的直线反映两个变量之间的线性相关关系呢？
二、学生活动
由学生思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确的反映x与y之间的关系，x与y之间具有的是相关关系，y的实际值与估计值之间存在着误差，让学生研究产生误差的各种可能的因素．
从上图可以看出，这些点在一条直线附近，但并不都在同条直线上．也就是说，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x确定．在此，我们将两者之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差(random error)．
随机误差产生的主要原因有：所用的确定性函数不恰当引起的误差；忽略了某些因素的影响；存在观测误差．
我们将y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型（linear regression model)．对于这样的线性回归模型，我们需要考虑下面两个问题：
Ⅰ 模型是否合理；
Ⅱ 在模型合理的情况下，如何估计a，b．
三、数学建构
我们把称为n对数据的回归直线，此直线方程称为线性回归方程（equation of linear regression）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）
其中称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．
四、数学运用
例1　全国城镇居民人均年可支配收入与人均年支出（单位：元）的部分数据（来源：《中国统计年鉴（2016）》）如下表所示：
年份 1990 2000 2010 2011 2012 2013 2014 2015
人均可支配收入 1510 6280 19109 21810 24565 26467 28844 31195
人均年支出 1279 4998 13471 15161 16674 18488 19968 21392
可以求得我国城镇居民人均年可支配收入与人均年支出的线性回归方程中的，，故线性回归方程为．
下表是我国城镇居民人均年支出的实际观测值与由线性回归方程求出的估计值的对照表：
年份 1990 2000 2010 2011 2012 2013 2014 2015
观测值 1279 4998 13471 15161 16674 18488 19968 21392
估计值 1518 4724 13348 15164 17015 18294 19892 21472
可以看出，由回归方程得到的估计值与实际观测值差异较小，比较可靠．因此，我们可以用该回归方程根据城镇居民人均年可支配收入来对城镇居民人均年支出进行估计．
例2　20个工业企业某年的平均固定资产价值与总产值（单位：百万元）如表所示：
企业编号 年平均固定资产价值 年总产值 企业 编号 年平均固定资产价值 年总产值
1 36 32.0 11 50 45.5
2 43 40.2 12 70 65.0
3 50 47.5 13 62 56.0
4 40 41.5 14 58 55.0
5 55 51.0 15 52 55.0
6 58 53.4 16 63 57.0
7 38 33.8 17 64 54.2
8 45 42.8 18 53 56.5
9 47 45.6 19 54 50. 2
10 42 40.8 20 56 49.2
设年平均固定资产价值为x，年总产值为y，单位均为百万元，求x，y的线性回归方程．
解：由表中数据可得
，，
，，
代入公式（1），求得回归系数
≈0.8443．
≈4.8753．
因此，线性回归方程为
．
五、课堂练习
1．某工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量x(单位：万件)之间有如下一组数据：
x/万件 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07
y/万元 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50
（1）画出散点图；
（2）求相关系数；
（3）求线性回归方程．
六、回顾小结
1．本节课学习了哪些新的知识和方法？
2．学习本节课的感受是什么？

展开更多......

收起↑