资源简介

9.1.2　线性回归方程（2）
教学目标：
1．在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；
2．知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义；
3．培养学生的应用意识和解决实际问题的能力．
教学重点：
线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．
教学难点：
回归直线方程的求解方法．
教学过程：
一、问题情境
复习回顾：求线性回归方程的步骤：
（1）作出散点图；
（2）列表，求出，；
（3）求出线性相关系数r，若具有较强线性相关关系，利用公式，求和，写出回归直线方程．
二、数学应用
例1　下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
机动车辆数x/103辆 95 110 112 120 129 135 150 180
交通事故数y/103件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13
解：计算相应的数据之和：
，，
，，．
根据相关系数公式可得r＝0.9927，故两变量之间具有线性相关关系．再由公式（1）计算得：
≈0.0774，≈－1.0241．
因此，所求线性回归方程为
．
例2　统计学家K．Pearson收集了大量父亲和儿子的身高数据，下表是从中随机抽取的10对父子的身高数据．
父亲的身高x/cm 152.4 157.5 162.6 165.1 167.6 170.2 172.7 177.8 182.9 188.0
儿子的身高y/cm 161.3 165.6 167.6 166.4 169.9 170.4 171.2 173.5 178.1 177.8
试估计父亲身高为166cm时，他的儿子的身高．
解：根据表中数据画出散点图，如图所示．
由表中数据可得
，，
，．
根据线性相关系数公式可得r＝0.9801，说明父亲与儿子的身高之间具有很强的线性相关关系．
再由公式（1）计算得
≈0.4691，≈90.577．
故线性回归方程为，当x＝166时，＝0.4691×166＋90.577≈168，即父亲身高为166cm时，他的儿子的身高约为168cm．
思考：上述结论是否说明，身高为166cm的父亲，其儿子的身高就一定是168cm呢？
首先，这个结论是对当地、当时的父子身高而言的，对其他地区或该地区的不同年代，这个结论不一定成立；其次，父亲身高为166cm时，他的儿子的身高不一定是168cm，因为人的身高还受到母亲的身高、生长的条件等多种因素的影响．上述结果说明：对于当地、当时的父子而言，身高为166cm的父亲们，其儿子的身高大多在168cm附近，且平均身高约为168cm．因此，我们可以做出推断：父亲身高为166cm时，他的儿子的身高一般在168cm左右．
事实上，在线性回归方程中，表示自变量x每增加1个单位时因变量y平均地增加，表示当自变量为x时因变量y的平均值．
三、课堂练习
1．某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据资料如下表，试求每公顷水稻产量与耕种深度的相关系数和线性回归方程．
耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18
每公顷产量y/t 6.0 7.5 7.8 9.2 10.8 12.0
2．为了解发动机的动力x(单位：PH)与排气温度y(单位：℃)之间的关系，某部门进行相关试验，得到如下数据：
x/PH y/℃ x/PH y/℃
4300 960 4010 907
4650 900 3810 843
3200 807 4500 927
3150 755 3008 688
4950 993
（1）求相关系数；
（2）求线性回归方程；
（3）估计当r＝3100时对应y的值．
四、回顾小结
1．本节课学习了哪些新的知识和方法？
2．学习本节课的感受是什么？

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