资源简介

9.2　独立性检验（1）
教学目标：
1．通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用；
2．经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；
3．引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式．
教学重点：
2×2列联表及2统计量．
教学难点：
由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．
教学过程：
一、问题情境
问题1：吸烟会影响到烟民的寿命吗？“吸烟有害健康”，这是我们很熟悉的常识，因此我们很自然地认为，吸烟会减损人的寿命，然而也有很多例外．一个吸烟而且长寿的人的例子能说明吸烟对人的健康没有影响吗？为什么？
问题2：某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调査，共调査了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调査结果是：吸烟的220人中，有37人患呼吸道疾病（以下简称患病），183人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）；不吸烟的295人中，有21人患病，274人未患病．
根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？
二、学生活动
为了研究这个问题，我们将数据用下表表示（单位：人）
患病 未患病 合计
吸 烟 37 183 220
不吸烟 21 274 295
合 计 58 457 515
这样的表格称为2×2列联表．由此表可以粗略地估计出：在吸烟的人中，有≈16.82％的人患病；在不吸烟的人中有≈7.12％的人患病．因此，从直观上可以得到结论：吸烟者与不吸烟者患病的可能性存在差异．
上述结论给我们的印象是患病与吸烟有关，事实果真如此吗？能有多大的把握认为“患病与吸烟有关”呢？
若将事件“成年人吸烟”记为A，事件“某成年人患病”记为B，则事件“某成年人不吸烟”为，事件“某成年人不患病”为．这样，回答“患病与吸烟是否有关？”其实就是需要回答“事件A与事件B是否独立”．
三、数学建构
为了回答这个问题，我们先做出判断“患病与吸烟没有关系”，即提出如下假设H0：患病与吸烟没有关系．
由两个事件相互独立的充要条件，又可将上述假设记为H0：P(AB)＝P(A)P(B)．这里的P(A)，P(B)和P(AB)的值都不知道，我们可以用频率来代替概率，估计出P(A)，P(B)和P(AB)的值．
为了便于研究一般情况，我们将数据用字母代替，得到字母表示的2×2列联表．
患病 未患病 合计
吸 烟 a b a＋b
不吸烟 c d c＋d
合 计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
如果实际观测值与在事件A，B相互独立的假设下的估计值相差不“大”，那么我们就可以认为这些差异是由随机误差造成的，假设H0不能被所给数据否定；否则，应认为假设H0不能接受．
怎样描述实际观测值与估计值的差异呢？
统计学中通常采用统计量2来刻画这个差异．
那么，如何根据2统计量进行推断呢？统计学对随机变量2的概率分布有明确的结论，其概率密度曲线如图所示：
统计学已有明确的结论：在H0成立的情况下，随机事件“2≥6.635”发生的概率约为0.01，即P(2≥6.635)≈0.01．②
也就是说，在H0成立的情况下，对统计量2进行多次观测，观测值超过6.635的概率约为0.01．
现在的2＝11.8634＞6.635，由②式可知出现这样的观测值2的概率不超过0.01．因此，我们有99％的把握认为H0不成立，即有99％的把握认为“患呼吸道疾病与吸烟有关系”．
四、数学运用
例1　在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如下表所示．问：该种血清对预防感冒是否有作用？
未感冒 感冒 合计
使用血清 258 242 500
未使用血清 216 284 500
合 计 474 526 1000
解：假设H0：感冒与是否使用该种血清没有关系．
通过公式计算
≈7.075．
因为当H0成立时，2≥6.635概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为感冒与是否使用该种血清有关系．
五、课堂练习
1．某桑场为了解职工发生皮炎是否与采桑有关，对其工作人员进行了一次调查，结果如下表．问：发生皮炎是否与采桑有关？
采 桑 不 采 桑 合 计
患 皮 炎 18 12 30
未患皮炎 4 78 82
合 计 22 90 112
2．为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果列于下表．问：能否有90%的把握认为新疫苗有效？
发 病 没 发 病 合 计
接 种 3 27 30
没接种 17 13 30
合 计 20 40 60
六、回顾小结
1．本节课学习了哪些新的知识和方法？
2．学习本节课的感受是什么？

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