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第8章　《概率》小结与复习
学习目标：
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；
2．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
教学重点：
（1）条件概率及事件的独立性；
（2）全概率公式、贝叶斯公式及其应用；
（3）离散型随机变量及其分布列；
（4）离散型随机变量的期望与方差；
（5）离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质；
（6）二项分布、超几何分布、正态分布及其应用．
教学难点：
各个分布的应用．
教学过程
一、知识梳理
1．条件概率
一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把读作“A发生的条件下B发生的概率”．
古典概型中，若用表示事件A中基本事件的个数，则
．
2．全概率公式
一般地，若事件两两互斥，且它们，i＝1，2，…，n，则对于中的任意事件，有
．
这个公式称为全概率公式．
3．贝叶斯公式
一般地，若事件两两互斥，且，，i＝1，2，…，n，则对于中的任意事件，，有
．
这个公式称为贝叶斯公式．
4．随机变量的概念
如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、…表示．如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
5．离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X可能取得的值为x1，x2，…，xn，X取得每一个值的概率为p1，p2，…，pn，则称表
…
…
为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
离散型随机变量X的分布列的性质：
（1）pi≥0；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1．
一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
6．二点分布
如果随机变量X的分布列为
0 1
P
其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布．
7．期望
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则叫作这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）．
（1）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平，是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．
（2）是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述X取值平均状态．
（3）数学期望的性质：当随机变量为常数时，；当离散型随机变量X～B(n，p)时，；当离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则．
8．方差、标准差
一般地，若随机变量的概率分布如表8-2-13所示：
表8-2-13
…
… [
其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，则描述了（i＝1，2，…，n）相对于均值的偏离程度，故
．
（其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1）刻画了随机变量与均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或．即
．
9．独立重复试验
一般地，在相同条件下，重复地做n次试验称为n次独立重复试验．
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，k＝0，1，2，…，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率，实际上，正好是二项式的展开式中的第项．
10．二项分布
若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率设为，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是（其中k＝0，1，2，…，n)，于是得到X的分布列：
X …
P …
由于表中的第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，则称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B(n，p)．
11．超几何分布
对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的分布如下表所示：
…
…
其中l=min(n，M)．
一般地，若一个随机变量X的分布列为①，其中r＝0，1，2，3，…，M，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N）并将，记为H(r；n，M，N）．
12．正态密度曲线
函数（x∈R）的图象与上述曲线非常吻合，我们将该函数的图象称为正态密度曲线.这里有两个参数和，其中．
13．正态分布
设X是一个随机变量，若对任给区间（a，b]，P(a＜X≤b)是正态密度曲线下方和轴上（a，b]上方所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数为和的正态分布(normal distribution)，简记为X～．
二、典例探析
例1　一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．
例2　袋中有1只红球和9只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数X的分布列．
例3　有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
例4　一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
三、课堂练习
1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于 ．
2．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 ．
3．将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数都不相同”，B＝“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于 ．
4．若X～B(5，0.1），那么P(X≤2)等于 ．
四、要点归纳与方法小结
解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布．像本例中随机变量X表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即X～B(n，p）．分布列能完整地刻画随机变量X等相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行对应的各个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为1．

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