资源简介

《商的变化规律》教学设计
备教材内容
1.本节课学习的是教材87页例8、“做一做”，88页例9、例10、“做一做”的内容及教材练习十七的相关习题。
2.本节课在进行口算和笔算除法的学习活动中已经有了比较充分的知识基础，本节课利用学生已有的计算技能，通过计算、猜想、观察、比较，引导学生自己思考发现商的变化规律。这部分内容既对已学的计算知识进行了巩固，也培养了学生初步的抽象、概括能力以及善于观察、勤于思考、勇于探究的良好习惯。
3.教材先呈现两组算式，让学生计算、观察、探讨被除数不变，商随除数的变化而变化的规律和除数不变，商随被除数的变化而变化的规律，随后放手让学生自主计算填表、观察比较，探讨交流“商不变的规律”。通过本节课的学习，能让学生进一步体会除法各部分间的内在联系，渗透函数思想，为以后学习“正反比例、小数除法”等知识打下坚实的基础。
4.例8教学商的变化规律，渗透了函数思想。例9教学应用商的变化规律进行简便计算。例10教学通过引导学生讨论余数是4还是40，理解在简便运算中余数的含义。教材中利用学生已有的计算经验，通过比较，提出问题，引导学生思考，进而发现商的变化规律。这部分内容不但可以巩固所学的计算知识，而且可以初步培养学生的抽象思维和概括能力及善于观察、勤于思考、勇于探究的良好学习习惯。
备教法学法
本节课的教学内容包括被除数不变、除数不变、商不变三种情况下另外两个量的变化规律的探究、归纳与应用。所以本节课在教材处理上，把重点放在引导学生通过计算、观察、比较，自己发现归纳商不变的规律这一教学环节上，而对商的变化规律的探究只停留在“发现并简单描述其变化趋势”的层面上。通过本节课的学习，让学生在“计算、猜想、观察、比较、归纳概括”等学习活动中发现规律，应用规律，并体验知识的形成过程，这样让学生在获取知识的同时提高多方面的能力。通过例8的教学向学生渗透函数思想，同时初步培养学生的抽象思维和概括能力。让学生在初步感知被除数、除数、商之间存在着变化规律的基础上，抓住这个知识的增长点，然后从单纯的算式计算延伸到算式内部、算式之间的联系，扩大学生的知识范围。最后探究商的变化规律，使学生通过本节课的学习，经历发现数学规律的一般过程。
备教学目标
1.通过计算、观察、比较，发现商不变的规律。
2.通过数学活动培养观察能力、分析能力、语言表达能力和运用知识能力。
3.激发学习兴趣，培养良好思维习惯。
备教学重难点
教学重点：组织和引导学生发现规律、理解规律、运用规律。
教学难点：理解规律
备已学知识
积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以一个不为0的数，积也乘或除以这个数。
备知识讲解
知识点一　商随除数或被除数变化的规律
问题导入　计算下面两组题，你能发现什么？[教材87页例8(1)、(2)]
过程讲解
1.计算
2.观察算式，发现规律
(1)观察第一组算式。
①从上往下进行观察。
②从下往上进行观察。
[难点分析：除数不变时，商和被除数的变化规律完全相同。]
(2)观察第二组算式。
①从上往下进行观察。
②从下往上进行观察。
[难点分析：被除数不变时，商和除数的变化规律正好相反。]
3.举例验证
针对上面的发现，举一些实例进行验证，看对于所有的除法算式是否都成立。
通过验证发现：上面的发现是正确的。
归纳总结
1.除数不变，商随被除数变化的规律：被除数乘(或除以)几(0除外)，商也乘(或除以)几。
2.被除数不变，商随除数变化的规律：除数乘(或除以)几(0除外)，商反而除以(或乘)几。
知识点二　商不变的规律
问题导入　计算并观察下面的题。你发现了什么规律？[教材87页例8(3)]
6÷3＝
60÷30＝
600÷300＝
6000÷3000＝
过程讲解
1.计算
6÷3＝2
60÷30＝2
600÷300＝2
6000÷3000＝2
重点提示
四道算式，从上往下观察，被除数变化，除数也随之变化。
2.观察算式，发现规律
(1)从上往下观察。
发现规律：被除数和除数都乘一个相同的数(0除外)，商不变。
(2)从下往上观察。
易错提示
同时乘或同时除以的这个数不能是0。
发现规律：被除数和除数都除以一个相同的数(0除外)，商不变。
[思想方法解读：在探究商不变的规律的过程中，蕴涵着函数思想。函数思想就是运用运动和变化的观点，用集合和对应的方法去分析问题的数量关系，通过类比、转化合理地构造函数，运用函数的图像和性质，使问题获得解决的一种思想。]
3.举例验证
通过验证发现：上面的规律是正确的。
[德育建议：通过探究商不变的规律，使学生感受定量与变量的关系，体会函数思想，渗透“既有联系，又有变化”的辩证唯物主义观点，培养学生的思维能力。]
归纳总结
商不变的规律：被除数和除数都乘(或除以)一个相同的数(0除外)，商不变。
知识点三　商不变的规律的应用
问题(1)导入　计算。(教材88页例9)
(1)780÷30＝　　　　(2)120÷15＝
过程讲解
1.探究780÷30的计算方法
方法一　按照两位数除三位数的笔算方法计算。
780÷30＝26　　
方法二　应用商不变的规律计算。
(1)方法分析。
把被除数和除数都除以10，商不变，可将原式转化成78÷3再计算。
(2)过程展示。
780÷30＝26
[重点提示：被除数和除数的末尾同时去掉一个0，也就是同时除以10，商不变。]
2.探究120÷15的计算方法
方法一　按照两位数除三位数的笔算方法计算。
120÷15＝8
方法二　应用商不变的规律计算。
(1)方法分析。
把被除数和除数都乘4，商不变，能使计算简便。
(2)过程展示。
　120÷15
＝(120×4)÷(15×4)
＝480÷60
＝8
[重点提示：根据被除数和除数的特点，应用商不变的规律，把除数转化成整十数可以使计算简便。]
3.正确解答
(1)780÷30＝26　　　(2)120÷15＝8
问题(2)导入　840÷50＝______(教材88页例10)
过程讲解
1.探究840÷50的计算方法
(1)方法分析。
应用商不变的规律，把840和50末尾的0都去掉，将原式转化成84÷5再计算。
(2)过程展示。
840÷50＝16……40
[难点分析：应用商不变的规律计算有余数的除法时，被除数和除数都除以10，商不变，但余数发生了变化，要想得到原来的余数，就要用现在的余数乘10。]
2.验证计算结果是否正确
根据“商×除数＋余数＝被除数”来验算，即16×50＋40＝840，840＝840，说明计算结果正确。
3.正确解答
840÷50＝16……40
归纳总结
1.应用商不变的规律不仅可以使口算简便，还可以使笔算简便。
2.被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，商不变，但余数发生了变化，去掉几个0，余数的末尾就要添上几个0。
备易错易混
误区一　填空：若被除数和除数都乘5，则商(乘25)。
错解分析　此题错在把商不变的规律与积的变化规律混淆。当被除数和除数都乘(或除以)一个相同的数(0除外)时，商不变。
错解改正　不变
温馨提示
被除数和除数都乘(或除以)一个相同的数(0除外)，商不变。
误区二　判断：被除数和除数都乘或除以相同的数，商不变。(√)
错解分析　此题错在忽略了“0除外”这个条件。因为0不能作除数且0与任何数相乘都得0，所以被除数和除数都乘或除以这个相同的数不能是0。
错解改正　×
温馨提示
解决此题时，应明确被除数和除数都乘或除以这个相同的数不能是0。
误区三　计算：590÷60。
错误解答　590÷60＝9……5
错解改正　590÷60＝9……50
错解分析　此题错在余数不正确。余下的5在十位上，表示5个十，所以余数应该是50。
温馨提示
应用商不变的规律计算有余数的除法时，被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，商不变，但余数发生了变化，去掉几个0，余数的末尾就要添上几个0。
备综合能力
规律运用　运用商不变的规律解决简便计算问题
典型例题　用简便方法计算下面各题。
(1)4200÷25 (2)270÷54
思路分析　计算时，要根据算式中数的特点进行简算。
观察算式(1)发现：除数是25，因为25×4＝100，所以根据商不变的规律，把被除数和除数都乘4，使除数变成100，能使计算简便。
观察算式(2)发现：被除数270和除数54都是9的倍数，先把被除数和除数都除以9，将较大的数转化成较小的数，再计算比较简便。
正确解答　
(1)　4200÷25
＝(4200×4)÷(25×4)
＝16800÷100
＝168
(2)　270÷54
＝(270÷9)÷(54÷9)
＝30÷6
＝5
规律总结 在计算某些除法时，根据算式中数的特点，灵活运用商不变的规律会使计算简便。
方法运用　运用设数法解决余数问题
典型例题　甲数除以乙数，商是8，余数是3，如果将甲数和乙数都乘10，那么商是多少？余数是多少？如果都乘20，那么商和余数各是多少呢？
思路分析　本题只给出了商和余数，而被除数和除数都没有给出。可以任意举两个商是8，余数是3的除法算式的例子来探究商和余数的变化规律。
(1)若除数是5，则被除数是8×5＋3＝43。
43÷5＝8……3
都乘10：(43×10)÷(5×10)＝430÷50＝8……30
都乘20：(43×20)÷(5×20)＝860÷100＝8……60
(2)若除数是7，则被除数是7×8＋3＝59。
59÷7＝8……3
都乘10：(59×10)÷(7×10)＝590÷70＝8……30
都乘20：(59×20)÷(7×20)＝1180÷140＝8……60
通过设数发现：在有余数的除法中，当被除数和除数都乘一个相同的数(0除外)时，商不变，余数随之乘这个数。
正确解答　甲数和乙数都乘10，商是8，余数是30；甲数和乙数都乘20，商是8，余数是60。
方法总结 在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘或除以一个相同的数(0除外)，那么余数也随之乘或除以这个数。
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河边洗碗
一个人在河边洗碗。有人问他，为什么要洗这么多碗？这个人答道，家里来了客人。又问，有多少客人？这个人反问道，二人合一大碗饭，三人合一大碗汤，四人合一大碗肉，共用碗六十五个，请你猜猜有多少客人。
正确解答　由“二人合一大碗饭，三人合一大碗汤，四人合一大碗肉”可知，客人的总数同时是2、3、4的倍数。2、3、4这三个数的最小公倍数是12。如果把每12人编成一组，那么从12÷2＝6，12÷3＝4，12÷4＝3中知道每组要供应6大碗饭、4大碗汤、3大碗肉，因此每组用碗的个数是6＋4＋3＝13(个)。共用碗65个，即65÷13＝5(组)，所以共有5组客人，总人数是12×5＝60(人)，这个人家里来了60位客人。
孙悟空分仙桃
有一天，孙悟空摘了许多仙桃回到花果山，给小猴们分仙桃吃，小猴们可高兴了！孙悟空给一只小猴分仙桃的时候，出现了状况。孙悟空分给这只小猴4个仙桃，要它平均分成2天吃。小猴说：“大王，您只给我4个仙桃，太少了，我每天想多吃几个。”悟空心想：“你也太贪了吧。”于是决定教育一下这只小猴，便爽快地说：“我给你8个仙桃，但你要平均分成4天吃。”小猴说：“不够，不够，能不能再多给点？”孙悟空说：“那好吧，我给你16个仙桃，你平均分成8天吃吧。”小猴连忙说：“好的，好的。”然后，用衣服兜起16个仙桃，得意地走了。这时，孙悟空和小猴们都笑了起来。

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