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北师大版数学八 年级 上册 1.1.2 探索勾股定理（第二课时）
课题 1.1.2探索勾股定理（第二课时） 单元 第一单元 学科 数学 年级 八年级
一、课标分析 （一）内容要求：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题. （二）素养要求：在本节课突出培养的是：几何直观、应用意识、推理能力；
二、教材分析与学情分析 （一）教材分析 本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过自主探索与合作交流验证勾股定理并体会其中数形结合的思想,应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力,为后面的学习打下基础. （二）学情分析 学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量，数格子，图形拼接的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，学生有割补法求面积的思想意识.但没有对一般的直角三角形进行验证.学生有一定的自我探究的能力.但是要证明勾股定理对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，给学生充分的时间和空间思考，讨论交流,逐步引导学生理解.
三、教学重难点 1.重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题. 2.难点：勾股定理的验证以及灵活应用. 3.教学策略：给学生充分的时间和空间思考，讨论交流,逐步引导学生理解.
四、教学目标 1.掌握勾股定理，并能应用勾股定理解决一些简单的实际问题. 2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神,通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习引入 师：上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？ （2）如何发现勾股数定理的呢？ 播放幻灯片，根据幻灯片提问 （3）一般的直角三角形的三边还有此结论吗？如何验证勾股定理呢？ 生：回忆并回答上述问题； 1.复习勾股定理的内容； 2.回忆上节课探索过程从特殊直角三角形，引导学生思考一般直角三角形的三边还有此结论吗，为下面的学习做好铺垫； 3.既培养严谨的科学态度，又激发学生的求知欲,.
自主探索，合作交流 活动一： 师：如果没有方格纸，分别以任意直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗 小明受上一节课中求网格中面积方法的启发，他把图1中的大正方形进行割补，得到图2，图3. 图2， 图3. 你能根据这两个图形找到验证勾股定理的方法吗？请大家完成活动一内容：（先独立思考并尝试完成如下问题， 6人一小组，3分钟后组内交流自己的发现及结论，5分钟后组代表上台展示.） （1)将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来； （2)图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流. （3)你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？ 尝试用图2、图3寻找验证勾股定理的方法； 解决图2、图3中的问题；首先，尝试表示图2中每个三角形的面积，发现图2中的四个三角形可以通过AAS，即一线三等角模型证明都是全等的，所以每个三角形的面积是；S正方形ABCD=4 S△ABC+ S小正方形；表示为：2ab+c2,又可以表示为（a+b）2； 因为两个式子表达的是同一个图形的面积，所以相等，所以可得等式2ab+c2=（a+b）2 化简得，a2+b2=c2 生：图3中的四个三角形，也可以通过AAS，即一线三等角模型证明都是全等的，所以每个三角形的面积是； S正方形MEFN=4 S△ABC+ S小正方形；表示为：2ab+(b-a)2,又可以表示为c2 因为两个式子表达的是同一个图形的面积，所以相等，所以可得等式2ab+（a-b）2 = c2 化简得，a2+b2=c2 活动一是在层层设问的引导下完成各图形的表示及对勾股定理的证明，完成本节课的一个重点，先独立思考并尝试解决，培养独立思考的习惯，通过小组讨论活动,让学生表示三角形和正方形面积点,并能应用特点解决问题.培养学生逆向思维的习惯以及探索、团结协作的精神. 图2的目的是让学生在补的图形中探究验证勾股定理的方法，体会数形结合的思想；设计内容图3，是继图2的经验和方法让学生利用割的方式探究验证勾股定理的方法，目的是让学生再次体验验证勾股定理的方法及思想；并体会成功的快乐。
巩固新知1 跟踪练习1 根据前面的图形和方法，你还能用下图中其他图形验证勾股定理吗？从下列四个图形中任选一个，证明勾股定理；先自己算一算再小组交流，你们有哪些办法？ 运用前面的思想和方法，用两种方法计算同一图新的面积推导勾股定理。 勾股定理的证明方法体现了“算两次”的思想。而这种思想在列方程、列函数关系式、探索公式时经常使用，让学生再此体会这种思想；加深对此方法的理解；突破难点强化重点的效果； 不同颜色突出显示不同算法。
总结新知 思考：你能总结一下这两种验证方法的思路和方法吗？ 通过构造图形，利用面积法，将数的问题转化成形的问题，利用算两次面积的方法，列等式，再进行整式运算，最后验证勾股定理． 总结验证过程，归纳验证方法；引导学生体会割、补两种不同的构造图形的方式； 总结出把同一图形的面积“算两次”，找等量关系、恒等变形，最后验证成立的过程，培养学生勇于探索、严谨探究的学习精神以及团结协作的精神.
欣赏勾股世界，感受勾股魅力 欣赏 漫画勾股世界 事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多，其中有一种方法尤为独特，单靠移动几个图形就直观地证出了勾股定理，被誉为：无字的证明，请同学们欣赏！ 观看动画，通过直观感知图形移动，建立再次建立数与形的联系，体现几何直观； 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现,体会勾股定理的魅力，激发学习热情；
勾股定理的应用 活动二： 例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 生：先从实际问题中抽象出几何图形（建模），确定已知量未知量及数量关系，找到直角边和斜边用勾股定理求出线段长，从而求出速度； 本题通过实际问题中建立直角三角形模型，借助勾股定理求解距离，继而求出速度学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题，让学生初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力，并体会勾股定理的应用价值。
巩固新知2 跟踪练习:2 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？ 从实际问题中抽象出几何图形（建模），已知量、未知量、 数量关系，找到直角边和斜边用勾股定理求出线段长，从而求出速度； 把实际问题转化为数学问题，运用勾股定理解决实际问题，加深应用数学的意识和能力；
议一议 活动三： 观察下图填表,判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2 A的 面积B的 面积C的 面积图1 (
图
1
图
2
)图2
通过数格子的方法可以得出图1、图2中各个正方形的面积，计算发现如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2。通过这个结论； 通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识和理解，并为后续直角三角形的判别打下基础。
综合建模 1．知识方面有哪些收获和困惑？ 2．学到了哪些数学思想和方法？ 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳. 在 教 师 的 引 导下，学生自主对本节课的所学内容 进 行 归 纳 小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构；
当堂检测 A组 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　） A． B．C． D． 2．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚1.5 m处，另一端靠墙， 则梯子顶端距离墙脚( ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点， 则线段AB的长度为(　　) A．5 B．6 C．7 D．25 4．两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？ B组 5.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/km，该沿江高速的造价预计是多少？ 6.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中C,A,E三点共线）求证：a2+b2＝c2． 学生认真做课堂检测练习.通过课堂检测习题练习，进一步理解并掌握新知； A组习题是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生解决问题能力的培养; B组是提高型练习； 同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学.
作业布置 课后习题：1,2,3 学案B组5,6,7
板书设计 1.1.2探索勾股定理（2） 一几何语言： 验证方法及步骤： 思想： 在Rt△ABC中， 构造特殊图形 数形结合 ∠C=90°， 面积法（割，补） 从特殊到一般 ∴a2+b2=c2 算两次 列等式 到结果

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