资源简介

第 12 课《“韩信点兵”同余法的实现》教学设计
【课标内容要求】
通过真实案例，知道算法步骤的执行次数与问题的规模有关，观察并体验采用不同算法解决同一问题时在时间效率上的差别。
【教学内容分析】
本课时属于算法模块，其中包括“算法的描述”“算法的执行”“算法的效率”三部分的内容。本模块教学中，学生的认知发展处于从具象思维到抽象思维的过渡时期。
【教学目标】
1.让学生经历同余法的探索过程，尝试使用自然语言、流程图等方式，正确进行同余法求解的算法描
述。
2.掌握用 Python 语言编写验证同余法的程序。
3.了解枚举法、筛选法和同余法在解决“韩信点兵”问题时在时间效率上的差别。
重点：让学生经历同余法的探索过程，尝试使用自然语言、流程图等方式，正确进行同余法求解的算
法描述。
难点：掌握用 Python 语言编写验证同余法的程序。了解枚举法、筛选法和同余法在解决“韩信点兵” 问题时在时间效率上的差别。
【核心素养指向】
通过解决“韩信点兵”的问题，了解同余法的特征和效率，会用自然语言、流程图等方式描述算法。 能对“韩信点兵”问题进行抽象、分解、建模，制订简单的解决方案。
【学情分析】
本学期采用的是新版教材，虽然新教材五年级时就重点开始培养学生的计算思维，但是学生接触 的是老教材。本学期前面几课已经让学生接触到了算法，但是学生们的算法思维水平也是良莠不齐，所以对算法的理解还是有一定的困难，对计算机的解题思路也不是非常清楚。而且六年级的学生也是刚刚接触Python 语言，用 Python 语言解决“韩信点兵”的问题是具有一定的挑战性的。
【设计构想】
以探究为导向，以活动为主线，以学生为主体，以教师为主导，通过情境引导、自主探究、协作交流 等方法，突出思维的训练，为不同层次的学生提供参与学习、体验成功的机会，带着学生做思维体操。
【教学环境及资源准备】
课件、自主学习任务单
【教学活动设计】
一、情境导入，引入课题
1997 年，美国 IBM 公司的“深蓝”超级计算机以 2 胜 1 负 3 平战胜了当时世界排名第一的国际象棋大
师卡斯帕罗夫，“深蓝”超级计算机运算速度可每秒达到 2 亿步。“深蓝”的胜利其实是运算的胜利。计算机已经渗透到我们学习、生活、工作的方方面面，日常生活学习中的问题怎样“转化”成计算机能够解决的问题呢？今天，我们就用“韩信点兵”的故事来探讨一下吧。
二、自主学习，探究新知
（一）探索
请同学们以小组为单位，先完成自主学习任务单中表格。
被除数 除数 余数
23 3
23 5
23 7
128 3
128 5
128 7
233 3
233 5
233 7
完成表格以后，你发现了什么？能得出什么结论？小组讨论后得出结论：被除数加上三个除数的公倍数，余数不变。
你知道什么是同余法吗？数学上，两个整数除以同一个整数，若余数相同，则对于除数，这两个整数同余。
如果再往下填写符合要求的被除数，能填完吗？
（二）抽象与建模
我们上两节课用枚举法和筛选法解决了“韩信点兵”问题，这次我们要用同余的思想来解决问题。
课件出示：韩信带领 1500 名士兵去打仗。战后，死伤四五百人。剩下的士兵中，他命令士兵 3 人一排，
结果多出 2 人；接着命令士兵 5 人一排，结果多出 3 人；又命令士兵 7 人一排，结果又多出 2 人。问这队士兵有多少人？
在韩信点兵过程中，剩下的士兵总数用变量 x 来表示。变量 x 的范围为 1000～1100，且需同时满足“x 除以 3 余数为 2、x 除以 5 余数为 3、x 除以 7 余数为 2”三个条件。
根据同余思想，请同学们以小组为单位在任务单上建模。(设计意图：让学生明白利用原有知识解决问题之前，首先要提取核心关键点，如关键数字等，并将其用数字化，符号化描述。通过提炼，排除干扰， 降低解决问题的复杂性，抽象处问题解决的核心要素，从而促进学生的主动思维，提升学生的抽象能力。）
学生建模后，教师总结：根据大部分同学的任务单，发现可以如下建模：
（1）先找出同时满足“x 除以 3 余数为 2、x 除以 5 余数为 3、x 除以 7 余数为 2”三个条件的任意一个数，如 233；
（2）然后将该数加减 3、5、7 的最小公倍数 105 的整数倍；
（3）在 1000～1100 范围内的数即是所求解。
（设计意图：此环节主要培养学生能够主动提炼与核心问题相关的知识，让学生能具备对信息进行有效判断和选择优化的能力，计算思维的培养在问题求解过程中进行逐级渗透。）
（三）算法设计
下面我们一起来探究如何将“韩信点兵”同余法问题转换为计算机能够解决的问题。 1、先请同学来说一说你是怎样设计算法的？
2、教师总结：用同余法解决“韩信点兵”问题时，我们可以用变量 s 表示所取到的同时满足三个条件的任意一个数，如 233，变量 k 表示三个数的最小公倍数。通过加或减 k 的整数倍，使 s 的值大于等于 1000 且小于等于 1100，可以采用循环结构，根据条件“s 小于 1000”来选择加 k 或者减 k 的值，可以采用分支结构。请同学们以小组为单位，把学习任务单上的算法流程图补充完整。然后请同学来说一说这样填写对不对。请选择填写。
（四）算法的程序实现
请用 Python 语言编写程序，并写在任务单上。运行程序后，大家发现了什么？运用了同余法的程序运算速度是否更快？这说明了同余法比枚举法和筛选法的效率更高。你能确定我们设计的这个算法就是最优算法吗？（不能）正所谓殊途同归，解决这个问题肯定还有很多种算法，算法具有多样性，更优的算法我们以后再去探究。（设计意图：通过采用不同方法的程序进行比较，培养学生寻求多角度解决问题的方法， 感悟程序优化后带来的便利，提高学生的认知能力。）
（五）拓展
若将上述“韩信点兵”问题的查找范围调整为 2500～2600，修改上述算法及程序，并输出结果。
这个“韩信点兵”问题，其实就是著名的中国古代剩余定理，早在大约 1500 年前，我国古代数学名著
《孙子算经》中就有详细描述“物不知数”的问题，早就找到了这个问题的规律，有兴趣的同学课后可以看一看课本第 54 页的拓展部分。（设计意图：引用中国古典故事，激发学生爱国情怀。）
三、提高认知，总结评价
今天我们学会了使用同余法探究问题，知道要想将日常问题转换为计算机能够解决的问题，必须先分析问题，然后描述解决问题的思路，最后还要对算法进行优化，提高效率，从而设计出最优算法。板书步骤。
板书：

展开更多......

收起↑