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第2讲 公式法解决等差数列问题 -四年级数学上册 数学思想方法系列（人教版）
第2讲等差数列中的奥秘
把一些数按照一定顺序排成一列叫做数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数（项的个数）叫做项数。像：
0，1，2，3，4，5，6…
2，4，6，8，10，12…
1，4，7，10，13，16…
100，90，80，70，60…
从第2项起，每一项与前一项的差是同一个数。这个数列叫做等差数列。等差数列常见问题公式：
第n项＝首项＋（n－1）公差
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
和＝（首项＋末项）项数÷2
【例题1】
1．有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（　　）
A．47 B．49 C．51 D．53
思路分析：由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个2。
规范解答：
。
答：第20个数是47。
故选：A。
【例题2】
2．有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有4根圆木，每向下一层增加二根，一共堆了28层，那么最下面一层有( )根。
思路分析：本题看作是等差数列，首项是4，公差是2，项数是28，求末项，根据高斯求和相关公式：末项首项（项数公差解答即可。
规范解答：
（根）
答：最下面一层有58根。
【例题3】
3．粗心的俊俊想要计算“”的和，但他不慎把其中的一个数加了两次，结果得到了64，那么，俊俊把( )加了两次。
思路分析：按照正确的计算一下，再找出两次的数字差即可求解。
规范解答：正确的做法是
原式
；
算错的结果是64，其中有一个数字计算两次，
；
【例题4】
4．在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由3块巧克力组成，第二个雕塑由6块巧克力组成，第三个雕塑由9块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3块巧克力。那么，第( )个雕塑恰好由2013块巧克力组成。
思路分析：先观察，显然这些雕塑的巧克力块数组成一个首项为3，公差为3的等差数列，可以先求出数列的通项公式，再算第几项为2013。
规范解答：根据分析，这些雕塑的巧克力块数组成一个首项为3，公差为3的等差数列，设此数列第项为，则
由题意，
故答案为：671。
【例题5】
5．有这样一列数：1，2，3，4，5，…，99，100，请求出这列数各项相加的和。
思路分析：如果把数列1，2，3，4，5，…，99，100这100个数配对，如：1＋100，2＋99，3＋98，4＋97，…，50＋51，每对的和都是101，一共有100个数，2个配一对，一共可以配50对。这样就可以求出这100个数的和。
规范解答：1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100
＝（1＋100）100÷2
＝5050
1.等差数列求项数
6．有一列数：4，10，16，22，…，52，这个数列一共有多少项？
7．有一个等差数列，首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？
2.等差数列求末项
8．有一个等差数列：1，4，7，10，…，这个等差数列的第30项是多少？
9．有一个等差数列：3，7，11，15，…，这个等差数列的第100项是多少？
3.等差数列求和
10．求2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和。
11．有一列数：3，6，9，12，…，99，请求出这列数的和。
4.利用等差数列解决问题
12．一箱苹果，第一次从箱里拿出1个，第二次拿出3个，第三次拿出5个，以后每次比前一次多拿2个，10次刚好拿完。这箱苹果一共有多少个？
13．一个电影院设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个电影院一共设置了多少个座位？
14．若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是( )。
15．在数列5，12，19，26…中，从左往右数第( )个数是2007。
16．小明发现在2012年3月的日历某一列上的5个日期的数字之和是80，那么这一列上的第二个日期是( )号。
17．若五个连续偶数的和是320，这五个偶数中最小的一个是( )。
18．某收购站依墙堆放着同样大小的玻璃瓶（如图）。这堆玻璃瓶共有　 　个。
19．刘大妈做一批工艺鞋，第一天做了8双，第二天起手艺越来越熟练，每天都比前一天多做2双，最后一天做了24双。她一共做了（ ）天？
A．7 B．8 C．9 D．10
20．小明看一本故事书，第一天看25页，以后每天都比前一天多看3页，第五天从( )页开始看。
21．药店有5000个口罩，前三天每天卖200个口罩（只卖不进），之后每天白天卖出800个，晚上买进700个，第( )天刚好第一次卖光。
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个
【详解】9+（20﹣1）×2
=9+19×2
=9+38
=47．
答：第20个数是47．
2．58
【分析】由题可知：最上面的一层有4根圆木，每向下一层增加二根；
那么第二层就有4＋2×（2－1）根圆木；
第三层有4＋2×（3－1）根圆木；
第四层有4＋2×（4－1）根圆木；
……当到第n层时，就有4＋2×（n－1）根圆木；带入层数计算即可。
【详解】由分析得
4＋2×（28－1）
＝4＋2×27
＝4＋54
＝58（根）
那么最下面一层有58根。
【点睛】此题主要考查探索规律，找准规律是解题的关键。
3．9
【分析】按照正确的计算一下，再找出两次的数字差即可；据此解答。
【详解】根据分析：
＝11×10÷2
＝110÷2
，所以俊俊把9加了两次。
【点睛】观察并找出算式计算的规律，可以用更简便的方法进行计算。
4．671
【分析】第一个雕塑有（3×1＝3）块巧克力，第二个雕塑有（3×2＝6）块巧克力，第三个雕塑有（3×3＝9）块巧克力，第几个雕塑，巧克力的块数就是3的几倍。用2013除以3，即可算出是第几个雕塑恰好由2013个巧克力组成。
【详解】2013÷3＝671（个）
第671个雕塑恰好由2013块巧克力组成。
【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
5．5050
【分析】如果把数列1，2，3，4，5，…，99，100这100个数配对，如：1＋100，2＋99，3＋98，4＋97，…，50＋51，每对的和都是101，一共有100个数，2个配一对，一共可以配50对，这样就可以求出这100个数的和。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100
＝（1＋100）100÷2
＝101×100÷2
＝10100÷2
＝5050
答：这列数各项相加的和是5050。
【点睛】本题主要考查简单周期现象中的规律，关键培养对知识点的记忆、理解能力。
6．9项
【分析】根据“（末项－首项）÷公差＋1＝项数”解题；据此解答。
【详解】（52－4）÷（10－4）＋1
＝48÷6＋1
＝8＋1
＝9（项）
答：这个数列一共有9项。
【点睛】掌握等差数列项数的计算方法是解答本题的关键。
7．9项
【分析】等差数列的求和公式是：（首项＋末项）×项数÷2＝和，用504乘2再除以（11＋101），即可算出这个数列共有多少项。
【详解】504×2÷（11＋101）
＝504×2÷112
＝1008÷112
＝9（项）
答：这个数列共有9项。
【点睛】此题考查的是等差数列，熟记等差数列的求和公式是解题关键。
8．88
【分析】4－1＝3、7－4＝3、10－7＝3，观察发现公差为3，求等差数列第n项时，用“首项＋（n－1）×公差”即可求出；据此解答。
【详解】1＋（30－1）3
＝1＋29×3
＝1＋87
＝88
答：这个等差数列的第30项是88。
【点睛】掌握求等差数列的计算方法是解答本题的关键。
9．399
【分析】这组数据的排列规律是前一个数字加4得到下一个数字，第100项加了（100－1）个4，（100－1）乘4再加上第一个数字即是这个等差数列的第100项。
【详解】（100－1）×4＋3
＝99×4＋3
＝396＋3
＝399
答：这个等差数列的第100项是399。
【点睛】找出这组数据的排列规律是解题关键。
10．2550
【分析】从2数到100的偶数有50个，将第一个数2与末尾的数100相加，再将第二个数4与倒数第二个偶数98相加，发现每组数的结果都相等，那么凑成的数乘50再除以2即可；据此解答。
【详解】（2＋100）50÷2
＝102×50÷2
＝5100÷2
＝2550
答：2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和是2550。
【点睛】掌握算式的规律是解答本题的关键。
11．1683
【分析】先求出这组数有几项：（尾项－首项）÷公差＋1＝项数，再将首位相加，乘项数然后除以2即可；据此解答。
【详解】（99－3）÷（6－3）＋1
＝96÷3＋1
＝32＋1
＝33（项）
（3＋99）×33÷2
＝102×33÷2
＝3366÷2
＝1683
答：这列数的和是1683。
【点睛】掌握等差数列的计算方法是解答本题的关键。
12．100个
【分析】每次比前一次多拿2个，拿出的苹果个数是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。将这组数据相加，利用等差数列求和公式即可算出这箱苹果一共有多少个。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19
＝（1＋19）×10÷2
＝20×10÷2
＝200÷2
＝100（个）
答：这箱苹果一共有100个。
【点睛】等差数列的求和公式是（首项＋末项）×项数÷2。
13．1140个
【分析】每一排都比前一排多2个座位，最后一排增加了（20－1）个2个座位，增加的座位个数加上第一排座位个数，即可算出这个电影院的第20排有多少个座位。将第一排到第20排的座位数相加，根据等差数列的求和公式：（首项＋末项）×项数÷2，即可算出这个电影院一共设置了多少个座位。
【详解】38＋（20－1）×2
＝38＋19×2
＝38＋38
＝76（个）
（38＋76）×20÷2
＝114×20÷2
＝2280÷2
＝1140（个）
答：这个电影院一共设置了1140个座位。
【点睛】此题考查的是等差数列，熟记等差数列的求和公式：（首项＋末项）×项数÷2是解题关键。
14．35
【分析】这三个连续奇数的平均数是中间的那个数，平均数＝总数÷总份数，用111除以3即可算出这三个连续奇数中间的那个数，中间的数再减去2就是最小的奇数。
【详解】111÷3－2
＝37－2
＝35
若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是35。
【点睛】此题主要考查奇数的认识和对平均数意义的理解，解题关键是掌握三个连续奇数的排列规律。
15．287
【分析】观察这组数，5＋7＝12，12＋7＝19，19＋7＝26……这组数的规律就是连续加7。2007减去5再除以7，即可算出连续加了多少个7，再将商加1即可。
【详解】（2007－5）÷7
＝2002÷7
＝286（个）
286＋1＝287（个）
在数列5，12，19，26…中，从左往右数第287个数是2007。
16．9
【分析】日历表上同一列上的数字之间的差是7，这 5个日期的数字之和是80，用80除以7即可算出这一列数字中最中间的那个日期，最中间的那个日期减去7即可算出这一列上的第二个日期是几号。
【详解】80÷5－7
＝16－7
＝9（号）
小明发现在2012年3月的日历某一列上的5个日期的数字之和是80，那么这一列上的第二个日期是9号。
【点睛】理解日历表上日期的排列规律是解题关键。
17．60
【分析】五个连续偶数的相邻两个数之间相差2，若五个连续的偶数的和是320，即那么五个数中间的那个数应是这五个数的平均数，，所以这五个数是60、62、64、66、68；据此解答。
【详解】根据分析：，即这五个数是：60、62、64、66、68，所以这五个偶数中最小的一个是60。
【点睛】掌握偶数的概念是解答本题的关键。
18．135
【分析】玻璃瓶的横截面是梯形，且每向下一层增加一个玻璃瓶，玻璃瓶的层数就是梯形的高，所以可以根据梯形的面积公式求出玻璃瓶的个数。
【详解】由图和题意知：玻璃瓶个数＝（上层个数＋下层个数）×层数÷2，
（13＋17）×9÷2
＝30×9÷2
＝135（个）
【点睛】此题考查了梯形面积公式的实际应用。
19．C
【分析】每天都比前一天多做2双，这列数据的排列规律是：8、10、12、14……24，用24减去8再除以2，即可算出加了多少个2件，再将商加1即可算出一共做了多少天。
【详解】（24－8）÷2＋1
＝16÷2＋1
＝8＋1
＝9（天）
她一共做了9天。
故答案为：C
【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
20．119
【分析】小明每天都比前一天多看3页，他第二天看了（25＋3）页，第三天看了（25＋3＋3）页，第四天看了（25＋3＋3＋3）页。将这4天看的页数相加，再加1即是第五天开始看的页数。
【详解】25＋3＝28（页）
28＋3＝31（页）
31＋3＝34（页）
25＋28＋31＋34
＝（25＋34）×4÷2
＝59×4÷2
＝236÷2
＝118（页）
118＋1＝119（页）
小明看一本故事书，第一天看25页，以后每天都比前一天多看3页，第五天从119页开始看。
【点睛】等差数列的求和公式是（首项＋末项）×项数÷2。
21．40
【分析】每天卖的口罩数乘卖的天数，可算出前三天卖了（200×3）个口罩，口罩总数减去卖出口罩数，可以算出还剩（5000－200×3）个口罩。每天白天卖出800个，晚上买进700个，实际上相当于每天卖出（800－700）个口罩，剩下口罩数减去最后一天卖出的800个，再除以每天卖出的（800－700）个，即可算出还需要几天刚好第一次卖光。卖光口罩还需要的天数加上前三天再加上最后一天，即可算出第几天刚好第一次卖光。
【详解】5000－200×3
＝5000－600
＝4400（个）
（4400－800）÷（800－700）
＝3600÷100
＝36（天）
36＋3＋1
＝39＋1
＝40（天）
药店有5000个口罩，前三天每天卖200个口罩只卖不进，之后每天白天卖出800个，晚上买进700个，第40天刚好第一次卖光。
【点睛】此题考查的是整数四则混合运算在实际生活中的应用，理解“每天白天卖出800个，晚上买进700个，实际上相当于每天卖出（800－100）个口罩”是解题关键。
答案第1页，共2页
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