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第3讲 循环小数中的周期模型-五年级数学上册 数学思想方法系列（人教版）
第3讲 周期问题的应用
在日常生活中，经常会有一种按照一定的规律不断重复出现的现象。比如我们国家的十二生肖，就是按鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这样的顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到－些重复出现的问题。在研究这些问题时，不仅要能发现其不断重复出现这一现象，还要找到重复出现的规律，也就是要找出循环的固定数，即周期。
如上所述的十二生肖，12种动物循环出现，也就是12个数的循环，周期是12；又如一个星期有7天，也是一个循环，按星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六、星期日这样的顺序不断重复出现，7个数的循环，周期就是7。
研究循环周期问题时，还要能根据周期数确定余数，从而根据余数来判定所求的问题是一个循环中的第几个数。周期问题的解题步骤：
（1）观察、分析数、图形或事物的变化是否重复循环出现并具有周期性；
（2）每几个循环一次，谁开始谁结束，周期是多少；
（3）每个循环节按什么次序排列；
（4）利用除法算式求出余数，根据余数得出正确的结果。
【例题1】
1．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？
思路分析：把每次红绿灯的变化看成一个周期，先求出路灯循环一个周期是多少秒，再化成小时；只要行驶的时间是一个周期即可，用路程除以一个周期的时间就是这辆车的速度。
规范解答：（秒）；
60秒小时，
900米千米；
（千米）；
答：它以每小时54千米的速度行驶，可以在这条大道上所有的红绿灯路口都遇到绿灯。
【例题2】
2．3÷7的商是一个循环小数。
（1）它的商的小数点后的第22位上的数字是几？
（2）小数部分前22位上的所有数字之和是多少？
思路分析：，循环节是428571，6个数字一个循环周期，只要看22位里面有几个循环周期，再结合余数即可得出答案。
规范解答：，循环节是428571，6个数字一个循环周期，
（1），第22位上的数字，在第4个周期的第四个数是5，
答：它的商的小数点后的第22位上的数字是5。
（2）小数部分前22位上的所有数字经历了3个周期与四个数字，所以，和是：。
答：小数部分前22位上的所有数字之和是100。
【例题3】
3．一位数学家被他的小女儿吸引住了。女孩子坐在地上，伸开左手，正在数手指呢！她的数法是：大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小指为5，然后换向，无名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9，再换向，食指为数到50还没有停下，数学家就去问她：“孩子，你数手指头干吗呢？你要数到多少才停下呢？”女孩站起身说：“我要数到1981，看停在哪个手指上！”

【例题4】
4．4÷7的商的小数部分前100位中7和2各出现了多少次？这100位数字的和是多少？
思路分析：先计算出算式的商，4÷7＝0.571428，商是循环小数，循环节是571428，即周期是6，商的小数部分按照5、7、1、4、2、8的顺序依次不断重复出现。100÷6＝16（个）……4（位），每个周期里7和2各出现1次，余下的4位数字分别是5、7、1、4，这样就可以求出7和2各出现了多少次；每个周期中数字之和是5＋7＋1＋4＋2＋8＝27，余下的4位数字之和是17，这样就可以求出这100位数字的和是多少。
规范解答：4÷7＝0.571428
100÷6＝16（个）……4（位）
16×1＋1＝17（次）
16×1＝16（次）
5＋7＋1＋4＋2＋8＝27
27×16＋5＋7＋1＋4＝449
答：7出现了17次，2出现了16次；这100位数字的和是449。
1.循环小数中的周期问题
5．2÷7的商的小数部分第50位上的数字是几？第120位上的数字是几？小数部分前100位数字的和是多少？
6．5÷13的商的小数部分第20位上的数字是几？在小数部分前80位中，数字“8”和“1”各出现了多少次？
2.数列中的周期问题
7．20个7相乘的积的个位数字是几？
8．105个学生按照下面的规律站成四列，最后一个学生应站在第几列？
3.日期中的周期问题
9．2020年10月1日是星期四，2021年元旦是星期几？
10．2017年8月20日是星期日，2021年8月20日是星期几？
11．循环小数12.569569…的小数部分第76位上的数字是（ ）。
A．5 B．6 C．9
12．从100里先减去26，再加上24；然后再减去26，加上24，这样一次计算下去，直到结果为0。那么一共减去子( )个26，加上了( )个24。
13．如图，有一颗棋子放在图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位上，第三次跳三步又跳到了1号位置上，第四次跳四步……一直进行下去，那么第2003次跳2003步就跳到了( )号位置上。
14．有同样大小的红、白、黑珠共180个，按5个红的、4个白的，3个黑的顺序排列。
（1）第136个珠是什么颜色？
（2）这156个珠中黑珠共有几个？
15．7.12585858…的小数点后面第100位数字是( )。
16．的小数部分第100个数字是几？小数部分前100位数字的和是多少？
17．6个小朋友围成一圈在做游戏。从小刚开始，按顺时针的方向，每人依次说出1个字，共同念儿歌《大老虎》：一二三四五，上山打老虎；老虎不在家，打只小松鼠；松鼠有几只？一二三四五。谁说到最后一个字“五”，就要被淘汰。然后剩下的人再按照这个规则进行，直到剩下最后一个人，这个人就是胜利者。谁将会第一个被淘汰？最后的胜利者会是谁？
18．十二生肖分别是：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。小明今年10周岁，属狗。
（1）小明的表哥今年14周岁，他属什么？
（2）小明的爸爸也属狗，他可能是多少周岁？
（3）小明的奶奶属鼠，她可能是多少周岁？
19．将化成小数，这个小数的小数点后第2009位上是什么数字？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．15米/秒
【分析】因为红绿灯变换的时间周期是60秒，所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒。换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯。根据路程＝速度×时间公式，速度＝路程÷时间计算即可。
【详解】900÷60＝15（米/秒）
答：汽车以每秒15米的速度行驶可以一路绿灯。
【点睛】本题考查学生利用除法计算来分析问题和解决问题的能力。
2．（1）5；
（2）100
【分析】，循环节是428571，6个数字一个循环周期，只要看22位里面有几个循环周期，再结合余数即可得出答案。
【详解】，循环节是428571，6个数字一个循环周期，
（1），第22位上的数字，在第4个周期的第四个数是5；
答：它的商的小数点后的第22位上的数字是5。
（2）小数部分前22位上的所有数字经历了3个周期与四个数字，所以，和是：
＝27×3＋4＋2＋8＋5
＝81＋4＋2＋8＋5
＝100
答：小数部分前22位上的所有数字之和是100。
【点睛】本题主要考查的是循环小数的周期变化，解题的关键是熟练掌握小数除法中循环小数的周期变化规律，进而得出答案。
3．1981停在小指上。
【分析】根据题意，观察图片，可得小指所表示的数字的规律，及其计数的顺序，先从大拇指开始，是5个数，后来从6开始每8个数字循环回到小指一次，根据（要求数字－5）÷循环周期计算，根据余数进而可得答案。
【详解】（1981－5）÷8
＝1976÷8
＝247
没有余数，所以是在小指上。
答：1981停在小指上。
【点睛】此题考查了学生的理解分析能力以及整数的除法运算。
4．17次；16次；449
【分析】先计算出算式的商，4÷7＝0.7142，商是循环小数，循环节是571428，即周期是6，商的小数部分按照5、7、1、4、2、8的顺序依次不断重复出现。100÷6＝16（个）……4（位），每个周期里7和2各出现1次，余下的4位数字分别是5、7、1、4，这样就可以求出7和2各出现了多少次；每个周期中数字之和是5＋7＋1＋4＋2＋8＝27，余下的4位数字之和是17，这样就可以求出这100位数字的和是多少。
【详解】4÷7＝0.7142
100÷6＝16（个）……4（位）
16×1＋1＝17（次）
16×1＝16（次）
5＋7＋1＋4＋2＋8＝27
27×16＋5＋7＋1＋4
＝432＋5＋7＋1＋4
＝449
答：7出现了17次，2出现了16次；这100位数字的和是449。
【点睛】本题主要考查的是循环小数的相关知识点，解题的关键是熟练掌握循环小数的计算方法，进而得出答案。
5．8；4；454
【分析】2÷7＝，商是循环小数，循环节是285714，根据周期规律小数部分每6位循环一次，用50÷6＝8 2，即第9次周期循环的第2位数；用120÷6＝20，即小数部分完成20次循环，是循环节的最后一位；用100÷6＝16 4，即完成16次循环，还有4位小数，据此可计算得出答案。
【详解】2÷7＝
50÷6＝8（组）……2（位）
120÷6＝20（组）
100÷6＝16（组）……4（位）
2＋8＋5＋7＋1＋4＝27
27×16＋2＋8＋5＋7
＝432＋2＋8＋5＋7
＝454
答：第50位上的数字是8，第120位上的数字是4；小数部分前100位数字的和是454。
【点睛】本题主要考查的是循环小数即周期变化规律，解题的关键是熟练掌握循环节及周期规律，进而得出答案。
6．8；14次；13次
【分析】先求出5÷13＝，可以看出这个循环小数的循环节为384615，共6位，就是说小数点后面每6位数一个循环。所以用20除以6等于3剩余2，就是说第20位数是循环节的第2位数，即为8；用80除以6等于13剩余2，就是说前八十位数中，完整的循环节出现了13次，还有两位数是循环节的第一、第二位，即为3和8，所以“8”出现了14次，“1”出现了13次。
【详解】5÷13＝
20÷6＝3（组）……2（位）
80÷6＝13（组）……2（位）
“8”的次数：13×1＋1＝14（次）
“1”的次数：13×1＝13（次）
答：第20位上的数字是8；数字“8”出现了14次，数字“1”出现了13次。
【点睛】此题考查了学生对循环小数、循环节的认识与应用。
7．1
【分析】要求积的个位数字，就要从积的个位数字的排列规律入手得出结论。根据题意，列表如下：
7的个数 1 2 3 4 5 6 7 8 ……
积的个位数字 7 9 3 1 7 9 3 1 ……
发现：积的个位数字分别是7、9、3、1不断重复出现，即每4个算式为一个周期。要想知道20个7相乘的积的个位数字是几，就要看20里面有几个这样的周期，再根据余数来确定。如果周期正好是整数且没有余数，那么20个7相乘的积的个位数字就是周期里的最后一个算式的积的个位数字；如果有余数，余数是几，就是周期里的第几个算式的积的个位数字。
【详解】积的个位数字按7、9、3、1这4个数字的顺序依次出现。
20÷4＝5（组）
因此，20个7相乘的积的个位数字是一个周期中最后一个算式的积的个位数字，即1。
答：20个7相乘的积的个位数字是1。
【点睛】此类问题可以运用从一般到特殊的方法解决，先计算几个因数的积，发现积的个位数字排列的规律，再解决问题。
8．第一列
【分析】表中的数字每7个数字为一组，按一、二、三、四、三、二、一列的顺序排列。105除以7得到15，即完成15个周期，据此可得出答案。
【详解】从表中可以看出每7个数字为一组，按一、二、三、四、三、二、一列的顺序排列。
105÷7＝15（组）
答：最后一个学生应站在第一列。
【点睛】本题主要考查的是周期变化规律，解题的关键是找出变化的周期及周期个数，进而得出答案。
9．星期五
【分析】先算2020年10月1日至2021年1月1日共有多少天，再用总天数除以7，看余数是多少，再从星期四数起，余几就数几天。
【详解】31＋30＋31＋1
＝61＋31＋1
＝92＋1
＝93（天）
93÷7＝13（周）……2（天）
答：2021年元旦是星期五。
【点睛】此题考查了有余数的除法。
10．星期五
【分析】2017年8月20日到2021年8月20日，经过了2021－2017＝4年；平年全年有365天，闰年全年有366天，公历年份是4的倍数的一般都是闰年，2018年是平年，2019年是平年，2020年是闰年，2021年是平年，三个平年一个闰年，365÷7＝52（星期）……1（天），366÷7＝52（星期）……2（天），则这四年相当于3×1＋2＝5天，星期日再往后数5天是星期五，也就是2021年的8月20日是星期五。
【详解】365÷7＝52（星期）……1（天）
366÷7＝52（星期）……2（天）
3×1＋2
＝3＋2
＝5（天）
星期日再往后数5天是星期五
答：2021年8月20日是星期五。
【点睛】算经过了多少天是星期几的问题，算清楚经过了多少星期之后，余下的余数就从所给的星期数往下加，加到几就是星期几。
11．A
【分析】此题首先分析循环小数12.569569…的循环节有几位数字，然后用76除以循环节的位数，余数是几，第76位上的数字就是循环节的第几位数字。
【详解】12.569569…，循环节为569，有3位数字，
因为76÷3＝25……1，循环节中第一个数是5，
所以这个循环小数的小数部分第76位上的数字是5。
故选：A。
【点睛】本题考查循环小数，明确循环小数的循环节是解题的关键。
12． 38 37
【分析】先从100里减去26，再除以26减24的差，即等于24的个数，24的个数加1等于26的个数。
【详解】（100－26）÷（26－24）
＝74÷2
＝37（个）
37＋1＝38（个）
【点睛】减去26，再加上24，这样一次只减少2，这是解答本题的关键。
13．1
【分析】棋子的跳法是有规律的，第一次跳1，第二次跳2，第三次跳3，，第次跳，则跳第次后，求出棋子所跳的总次数，总次数可以利用等差数列求和公式进行计算，总次数＝（1＋2023）×2023÷2，棋子一个周期为6，用跳的总次数除以6求出跳了多少圈，商是整数，则棋子落在1位，若余1，则落2位，余2则落3位，余3则落4位，余4则落5位，余5则落6位。
【详解】（1＋2003）×2003÷2
＝2004×2003÷2
＝4014012÷2
＝2007006（次）
2007006÷6＝334501（圈）
所以应落在1号位。
【点睛】明确余数的实际含义是解题的关键，在本题中表示从1号位开始跳1次，而不是代表1号位。
14．（1）红颜色；
（2）39个
【分析】按5个红的、4个白的，3个黑的顺序排列，，12个珠子是一个周期：第1、2、3、4、5个珠子是红颜色，第6、7、8、9个珠子是白颜色，第10、11、12个珠子是黑颜色；
（1）要求第136个珠是什么颜色，用136除以12，余数是几，就在一个周期中数到几，即可得解；
（2）要求这156个珠中黑珠共有几个，用156除以12，得到周期数和余数，周期数乘3加上余数中的黑珠数，即可得解。
【详解】
12个珠一个周期，每个周期的规律：第1、2、3、4、5个珠子是红颜色，第6、7、8、9个珠子是白颜色，第10、11、12个珠子是黑颜色；
（1）
余数是4，第4个珠子是红颜色；
答：第136个珠是红颜色。
（2）（个）
没有余数，一个周期有3个黑珠；
（个）
答：这156个珠中黑珠共有39个。
【点睛】本题主要考查的是数字周期变化的规律，解题的关键是熟练掌握周期变化规律，进而得出答案。
15．8
【分析】7.12585858…是一个循环小数，循环节是58，要求小数点后面第100个数字是几，因为小数点的1、2不在循环节里，所以用除以2，余数是几，就在2个数字的一个循环中数到几，即可得解。
【详解】（100－2）÷2
＝98÷2
＝49
所以7.12585858…的小数点后面第100位数字是8。
【点睛】此题考查了学生对循环小数的认识。
16．2；464
【分析】的循环节是275，一节内有3个数字，则，这是循环节的第一个数字，所以第100个数字是2。
要求前100位数字的和，先求出一个循环节中的数字和，乘33，再加上2即为所求。因此，前100位数字的和是。
【详解】的循环节是275，所以，所以第100个数字是2；
前100位数字的和是：
＝462＋2
答：第100个数字是2，前100位数字和是464。
【点睛】本题主要考查的是循环小数及规律，解题的关键是熟练掌握循环小数的计算方法及数字排列的规律，进而得出答案。
17．6号，小刚
【分析】这首诗一共有30个字，从小刚开始，把六个小朋友编号为1、2、3、4、5、6；
第一次循环，因为，没有余数，由6号小朋友说出最后一个字“五”字；依次这样操作，找出最后剩下的小朋友即可。
【详解】从小刚开始，把六个小朋友编号为1、2、3、4、5、6；
第一次循环：因为，没有余数，由6号小朋友说出最后一个字“五”字；
第二次循环：还剩下5个小朋友，，由5号小朋友说出最后一个字“五”字；
第三次循环：还剩下4个小朋友，，余数是2，由2号小朋友，说出最后一个“五”字；
第三次循环：还剩下3个小朋友，，由4号小朋友说出最后一个字“五”字；
第四次循环：还剩下2个小朋友，，由3号小朋友说出最后一个字“五”字；
这样最后剩下的是1号小朋友，即小刚。
答：6号小朋友第一个被淘汰，最后的胜利者会是小刚。
【点睛】明确每次循环的人数以及余数是解题的关键。
18．（1）属马；（2）34周岁；（3）56周岁
【分析】（1）根据题意，小明的表哥比小明大岁，所以从生肖“狗”的上一个属相起往前数，数到第4个，即小明表哥的属相。
（2）根据题意，小明的爸爸也属狗，说明小明的爸爸比小明大若干个12岁，小明的爸爸最有可能是在24岁时有了小明，用小明的年龄加上24即可。
（3）根据题意，小明的奶奶属鼠，说明小明的奶奶比小明的爸爸大若干个12岁，所以小明的奶奶最有可能是在24岁时有了小明的爸爸，小明爸爸的年龄加上24是58岁，此时奶奶属狗，想属鼠需要再往后数2个生肖，年龄就要再减2。
【详解】（1）14－10＝4（岁）
从生肖“狗”的上一个属相起，数到第4个是“马”。
答：小明的表哥属马。
（2）12×2＋10
＝24＋10
＝34（岁）
答：他可能是34周岁。
（3）从“狗”往后数到“鼠”时是2岁
34＋24－2
＝58－2
＝56（岁）
答：她可能是56周岁。
【点睛】明确比某一个年龄大几岁的年龄所对应的生肖是往前数是解题的关键。
19．8
【分析】因为，所以循环节为714285，共6位，就是说小数点后面每6位数一个循环。所以用2009除以6等于334余5，就是说第2009位数是循环节的最后五个数，即是8。
【详解】因为，所以循环节为714285；
就是说小数点后面每6位数为一个循环：7、1、4、2、8、5；
则……5
所以这个小数的小数点后第2009位上的数字是8；
答：这个循环小数的小数点后面第2009位的数字是8。
【点睛】此题考查了学生对循环小数的认识。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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