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第4讲 和倍问题与数形结合的思想 -三年级数学上册 数学思想方法系列（人教版）
第4讲用“图示法”解决和倍问题
已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做“和问题”。
解答和倍问题，通过理解题意，画出线段图，帮助我们正确列式解答。
通过画图，我们可以找到如下的数量关系：
两数和÷（倍数＋1）＝小数（1倍数）
小数（1倍数）×倍数＝大数（几倍数）
或两数和－小数（1倍数）＝大数（几倍数）
【例题1】
1．一个书架有2层，共有360本书，其中第二层的本数是第一层的4倍，这两层各有多少本书？
思路分析：把第一层的本数看作1份数，那么第二层的本数就是4份，共有份，再用总本数除以总份数即可。
规范解答：
（本）
（本）
答：第一层有72本，第二层有288本。
【例题2】
2．一条裤子49元，一件上衣的价钱是一条裤子价钱的2倍。买这样一套衣服，需要多少钱？
思路分析：由“一件上衣的价钱是一条裤子价钱的2倍”，把裤子价钱看作单位“1”，则买这样一套衣服的总价钱就是裤子价钱的3倍，那么买这样一套衣服，需要，解决问题。
规范解答：
（元）
答：买这样一套衣服，需要147元。
【例题3】
3．看图解答问题：
三（1）班和三（2）班各有图书多少本？
思路分析：根据题意，画出线段图。
由线段图可知，三（1）班和三（2）班图书本数的和相当于三（2）班图书本数的（3＋1）倍，这样就可以求出1倍的数量，也就求出了三（2）班的图书本数，然后再求三（1）班的图书本数。
规范解答：三（2）班：32÷（3＋1）＝8（本）
三（1）班：8×3＝24（本）或32－8＝24（本）
答：三（1）班有图书24本，三（2）班有图书8本。
4．用“图示法”解决两数和以及两数的倍数关系的和倍问题。
实验小学有篮球和足球共36个，篮球的个数是足球的3倍，两种球各有多少个？
5．用“图示法”解决两数和以及两数的倍数关系的和倍问题。
师傅和徒弟一共加工了30个零件，已知师傅加工的零件个数是徒弟的4倍，师傅和徒弟各加工了多少个零件？
6．用“图示法”解决两数总和是不变量的和倍问题。
淘气有课外书20本，笑笑有课外书25本，淘气给笑笑多少本后，笑笑的课外书的本数是淘气的4倍？
7．用“图示法”解决两数总和是不变量的和倍问题。
弟弟给姐姐多少元后，姐姐的钱数就是弟弟的4倍？

8．用“图示法”解决一个数比另一个数的几倍多几（或少几）的和倍问题。
乐乐家栽苹果树和梨树共10棵，苹果树的棵数比梨树的3倍少2棵。这两种树各栽了多少棵？
9．用“图示法”解决一个数比另一个数的几倍多几（或少几）的和倍问题。
饲养场里白兔和灰兔共养了32只，养的白兔只数比灰兔的4倍多2只，白兔和灰兔分别养了多少只？
10．为有效开展“阳光体育”活动，希望小学计划购买篮球和足球共54个。如图的线段图表示的是篮球和足球的个数之间的关系。希望小学计划购买篮球和足球各多少个？
11．学校合唱队一共有41人，已知女生人数比男生的2倍多5人。
（1）画图整理条件。
（2）男生女生各有多少人？
12．把一根长224米的绳子剪成两段，第二段长度是第一段的3倍。
（1）画一画。（根据已知条件补全线段图）
（2）这两段绳子的长度分别是多少米？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．第一层：72本；第二层：288本
【分析】第二层的本数是第一层的4倍，则两层的总本数是第一层的5倍，第一层有（360÷5）本书。用第一层的本数乘4，求出第二层的本数。
【详解】360÷（4＋1）
＝360÷5
＝72（本）
72×4＝288（本）
答：第一层有72本，第二层有288本。
【点睛】本题考查和倍问题，小数＝和÷（倍数＋1），大数＝小数×倍数。
2．147元
【分析】用一条裤子的价钱乘2，求出一件上衣的价钱。用一条裤子的价钱加上一件上衣的价钱，求出一套衣服的价钱。
【详解】49＋49×2
＝49＋98
＝147（元）。
答：买这样一套衣服，需要147元。
【点睛】本题考查经济问题和倍数关系，求一个数的几倍是多少，用乘法计算。
3．三（1）班有图书24本，三（2）班有图书8本
【分析】根据题意，画出线段图。


由线段图可知，三（1）班和三（2）班图书本数的和相当于三（2）班图书本数的（3＋1）倍，这样就可以求出1倍的数量，也就求出了三（2）班的图书本数，然后再求三（1）班的图书本数。
【详解】32÷（3＋1）
＝32÷4
＝8（本）
8×3＝24（本）
答：三（1）班有图书24本，三（2）班有图书8本。
【点睛】本题考查和倍问题，小数＝和÷（倍数＋1），大数＝小数×倍数。画图可帮助学生更好的理解题意。
4．足球9个；篮球27个
【分析】根据下图可知，篮球与足球的总个数相当于足球的（3＋1）倍，用36除以3加1的和等于足球的个数，足球的个数乘3等于篮球的个数，据此即可解答。

【详解】足球：36÷（3＋1）
＝36÷4
＝9（个）
篮球：9×3＝27（个）
答：足球有9个，篮球有27个。
【点睛】篮球与足球的总个数相当于足球的（3＋1）倍，这是解答本题的关键。
5．画图见详解；24个；6个；
【分析】根据题意可用一条线段表示徒弟加工零件的个数，则师傅加工零件的个数为这样的4条线段，依此画出图形；
用师傅和徒弟一共加工零件的个数除以表示他们两人加工零件的线段的总天数，得到的商就是徒弟加工零件的个数，然后用师傅和徒弟一共加工零件的个数减徒弟加工的个数，即可计算出师傅加工零件的个数，依此解答。
【详解】画图如下：
徒弟：
30÷（4＋1）
＝30÷5
＝6（个）
师傅：30－6＝24（个）
答：师傅加工了24个零件，徒弟加工了6个零件。
【点睛】此题考查的是对倍的认识，明确30个所对应的总份数，是解题的关键。
6．11本
【分析】根据提示画出线段图示，再结合图示列出算式即可。
【详解】
淘气剩余的本数等于总数除以总份数
（20＋25）÷（4＋1）
＝45÷5
＝9（本）
淘气拿出的本数
20－9＝11（本）
答：淘气给笑笑11本后，笑笑的课外书的本数是淘气的4倍。
【点睛】解答本题的关键是画出符合题意的图示，再根据图示列算式进行计算。
7．10元
【分析】如图：，无论弟弟给姐姐多少元，姐弟两人的总钱数不变。根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数＋1）＝较小数，计算出现在弟弟的钱数，用弟弟原来的钱数减去现在的钱数，即可算出弟弟给姐姐的钱数，据此解答。
【详解】（22＋18）÷（4＋1）
＝40÷5
＝8（元）
18－8＝10（元）
答：弟弟给姐姐10元后，姐姐的钱数就是弟弟的4倍。
【点睛】画线段图整理已知条件，能使题目一目了然，是解决问题的好策略。
8．梨树：3棵；苹果树：7棵
【分析】根据题意分析，如果苹果树加上2棵，苹果树与梨树棵数的和就相当于梨树棵数的（3＋1）倍，梨树有（10＋2）÷（3＋1）＝3（棵），苹果树有10－3＝7（棵）。据此解答即可。
【详解】如下图所示：
梨树：3＋1＝4
10＋2＝12（棵）
12÷4＝3（棵）
苹果树：10－3＝7（棵）
答：梨树栽了3棵，苹果树栽了7棵。
【点睛】解题的关键在于理清题中的数量关系找出倍数关系。
9．画图见详解；26只；6只
【分析】根据题意可用一条线段表示灰兔的只数，则白兔的只数表示的线段比这样的4条线段还多2只，依此画图；
如果白兔减去2只，现在白兔与灰兔的总只数就相当于灰兔的（4＋1）倍，因此用32只减2只后，再除以4＋1的和，即可计算出灰兔的只数，然后用白兔和灰兔的总只数减灰兔的只数即可，依此解答。
【详解】
32－2＝30（只）
灰兔：
30÷（4＋1）
＝30÷5
＝6（只）
白兔：32－6＝26（只）
答：白兔养了26只，灰兔养了6只。
【点睛】此题考查的是对倍的认识，明确灰兔和白兔的总只数所对应的总份数，是解题的关键。
10．篮球24个；足球30个
【分析】把篮球的个数看作4倍数，则足球的个数是5倍数，希望小学计划购买篮球和足球总数除以（4＋5）倍，即可算出1倍数是几个，1倍数乘4即可算出篮球的个数，1倍数乘5即可算出足球的个数。
【详解】54÷（5＋4）
＝54÷9
＝6（个）
6×5＝30（个）
6×4＝24（个）
答：篮球有24个，足球有30个。
【点睛】此题考查的是和倍问题，理解“和÷倍数和＝1倍数”是解题关键。
11．（1）见详解
（2）男生有12人，女生有29人
【分析】女生人数比男生的2倍多5人，则用合唱队的总人数减去5人，求出男生人数的3倍，再÷3，求出男生人数。用男生人数乘2，再加上5人，求出女生人数。
【详解】（1）
（2）（41－5）÷（2＋1）
＝36÷3
＝12（人）
12×2＋5
＝24＋5
＝29（人）
答：男生有12人，女生有29人。
【点睛】本题关键是根据条件画出示意图，明确合唱队总人数减去5人后的人数是男生人数的3倍。
12．（1）图见详解
（2）第一段56米；第二段168米
【分析】（1）把第一段的长度看作1份，则第二段的长度是3份，据此根据已知条件补全线段图。
（2）根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数＋1）＝1倍数，计算出第一段的长度，再用第一段的长度乘3，计算出第二段的长度。
【详解】（1）
（2）224÷（3＋1）
＝224÷4
＝56（米）
56×3＝168（米）
答：第一段长56米，第二段长168米。
【点睛】此题考查的是和倍问题，理解和÷（倍数＋1）＝1倍数是解题关键。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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