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第4讲 平面图形计数中的枚举思想 -四年级数学上册 数学思想方法系列（人教版）
第4讲平面图形计数中的枚举思想
图形计数常用的方法有按顺序计数和分类计数。要准确、迅速地将图形计数需要注意两点：
一是弄清被数图形的特征和变化规律，找出基本图形；
二是要按一定的顺序数，做到不重复、不遗漏。
【例题1】
1．如图中有( )个平行四边形。
思路分析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，观察图形可知，单个的平行四边形有2个，2个平行四边形又组成1个大平行四边形，据此加起来即可解答问题。
规范解答：（个）
答：有3个平行四边形。
故答案为：3。
【例题2】
2．数一数，下面图形中各有多少个三角形。
( )个 ( )个
思路分析：（1）分别数出含有1个图形的三角形的个数，含有2个图形的三角形的个数，含有3个图形的三角形的个数，相加即可求解；
（2）数出下边线段的条数，即为三角形的个数。
规范解答：（1）三角形的个数为（个）；
（2）三角形的个数为（个）。
故答案为：5；15。
【例题3】
3．数一数，如图的图形中有( )个长方形，有( )个正方形，有( )个平行四边形，有( )个三角形。
思路分析：按照一定的顺序分类计算，长方形有2个，正方形有1个；平行四边形有3个；三角形有6个；由此解答。
规范解答：如图的图形中有2个长方形，有1个正方形，有3个平行四边形，有6个三角形。
故答案为：2；1；3；6。
【例题4】
4．数一数。
有( )个三角形；有( )个平行四边形；有( )个梯形。
思路分析：按照一定的顺序，分别数出三角形、平行四边形、梯形的个数即可。
规范解答：有个三角形；
有个平行四边形；
有个梯形。
故答案为：10，12，12。
【例题5】
5．数一数，下图中共有多少个三角形？
思路分析：求这个图形一共有多少个三角形，可以分两个步骤进行，先不看上面横向那条线段，这个图形共有1＋2＋3＝6（个）三角形；加上上面横向那条线段后，上面出现了与前面类似的三角形，也共有1＋2＋3＝6（个）三角形。所以这个图形共有12个三角形。
规范解答：（1＋2＋3）×2＝12（个）
答：共有12个三角形。
1.数线段，先数基本线段，若条数是n，则总条数是n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1。
6．下面各图中分别有多少条线段？

2.数有同一顶点的角或三角形的个数的规律：如果基本个数是n，那么总个数是n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1。
7．数一数下面的图形中有多少个角？
8．下面图形中有多少个三角形？

3.数大长方形中有多少个长方形的规律：长边上的线段数×短边上的线段数＝长方形的个数
9．下列大长方形中有多少个长方形？

4.由n×n个相同的小正方形组成的n行n列的大正方形中所含的正方形总个数：n×n＋（n－1）×（n－1）＋…＋1×1
10．大正方形里有几个正方形？

11．图中　 　个平行四边形。
12．图中一共有( )个正方形。
13．将3枚相同的硬币依次放入如图所示的一个的正方形格子中（每个正方形中只能放1枚），求所放的3枚硬币中，任意2枚都不同行且不同列的放法有( )种。

14．数一数，如图中一共有( )个长方形。
15．数一数，填一填。有( )个平行四边形。有( )个三角形。有( )个梯形。
16．图中一共有( )个角。
17．数一数。
( )个三角形；( )个四边形。
18．如图中共有( )个等边三角形。
19．数一数，填一填。
上图中一共有( )个长方形。
20．如图中一共有( )个平行四边形，( )个梯形。

21．数一数，填一填。
( )个三角形；( )个平行四边形；( )个梯形。
( )个三角形；( )个平行四边形；( )个梯形。
22．看图数一数。
有( )个三角形，有( )个梯形，有( )个平行四边形。
23．数一数，填一填。
如图有( )个三角形，有( )个平行四边形。
如图有( )个三角形。
24．数一数。
有( )个三角形。
有( )个三角形。有( )个平行四边形。有( )个梯形。
25．下图有 条直线， 条线段， 条射线。
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．3
【分析】两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，如图：是平行四边形，是平行四边形，、拼成平行四边形。
【详解】如图中有3个平行四边形。
【点睛】熟记平行四边形的特征是解题关键。
2． 5 15
【分析】（1）分别数出含有1个图形的三角形的个数，含有2个图形的三角形的个数，含有3个图形的三角形的个数，相加即可求解；
（2）数出下边线段的条数，即为三角形的个数。
【详解】（1）三角形的个数为（个）；
（2）三角形的个数为（个）。
【点睛】本题考查学生对三角形特征的认识，学生需要从整体和局部去探索发现是解答的关键。
3． 2 1 3 6
【分析】长方形的特征：长方形两组对边平行且相等；
正方形的定义：四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形；
平行四边形的定义：平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；
三角形：由三条线段围成的封闭图形；
根据图形的特征，按照一定的顺序分类计算，长方形有2个，正方形有1个；平行四边形有3个（中间的四边形对边不相等，不是平行四边形；则平行四边形分别是左边1个、右边1个、1个外围的平行四边形），三角形有6个；据此解答。
【详解】根据分析：如图的图形中有2个长方形，有1个正方形，有3个平行四边形，有6个三角形。
【点睛】掌握三角形、长方形和平行四边形的特征是解答本题的关键。
4． 10 12 12
【分析】梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；三角形的特征：由3条线段围成的封闭图形；平行四边形的定义：平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；按照一定的顺序，三角形一个个的数有8个，由3个小三角形组成的大三角形有2个；平行四边形由2个三角形组成的有8个，由4个三角形组成的有4个；梯形由3个三角形组成的有10个，由5个三角形组成的有1个，由8个三角形组成的有1个；据此解答。
【详解】根据分析：（个），所以有10三角形；（个），所以有12个平行四边形；（个），所以有12个梯形。
【点睛】掌握三角形、平行四边形和梯形的概念是解答本题的关键。
5．12个
【分析】根据题意，要求这个图形一共有多少个三角形，可以分两个步骤进行，先不看上面横向那条线段，这个图形共有（个）三角形；加上上面横向那条线段后，上面出现了与前面类似的三角形，也共有（个）三角形，所以这个图形共有12个三角形，据此解答。
【详解】
（个）
答：共有12个三角形。
【点睛】本题属于图形的拼组类型的题目，解题的关键是掌握数拼组图形中三角形的方法。
6．10条；21条
【分析】线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段。据此以某个端点为起点，同一方向它后面的端点依次作为终点，数出线段数量再相加即可。
【详解】（1）4＋3＋2＋1
＝7＋3
＝10（条）
（2）（5＋4＋3＋2＋1）＋（3＋2＋1）
＝（9＋5＋1）＋（5＋1）
＝（14＋1）＋6
＝15＋6
＝21（条）
：有10条线段。
：有21条线段。
【点睛】数线段时要按照一定的顺序数，做到不重复、不遗漏。
7．10个
【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。这一点是角的顶点，两条射线是角的边。据此可知，单独的角有4个，由两个单独的角组成的角有3个，由三个单独的角组成的角有2个，由四个单独的角组成的角有1个，则一共有4＋3＋2＋1个角。
【详解】4＋3＋2＋1＝10（个）
则图形中有10个角。
【点睛】本题考查角的定义，数角的个数时，要按照顺序数，才能做到不重不漏。
8．24个
【分析】由顶点到最上面横着的线段可以数出（3＋2＋1）个三角形，有4条横着的线段，那么可以数出这样的4组三角形；据此解答。
【详解】（3＋2＋1）×4
＝6×4
＝24（个）
答：下面图形中有24个三角形。
【点睛】掌握图形计数的规律是解答本题的关键。
9．60个；30个
【分析】图一：每行有（4＋3＋2＋1）个长方形，每列有（3＋2＋1）个长方形，将大长方形长这边的长方形数量乘宽这边的长方形数量即可；
图二：每行有（2＋1）个长方形，每列有（4＋3＋2＋1）个长方形，将大长方形长这边的长方形数量乘宽这边的长方形数量即可；据此解答。
【详解】图一：
（4＋3＋2＋1）×（3＋2＋1）
＝10×6
＝60（个）
图二：
（2＋1）×（4＋3＋2＋1）
＝3×10
＝30（个）
答：图一大长方形中有60个长方形，图二大长方形中有30个长方形。
【点睛】掌握数图形的规律是解答本题的关键。
10．5个；30个；
【分析】图一是由（2×2）个相同的小正方形组成的2行2列的正方形，根据正方形的特点可知，单个的小正方形有（2×2）个，由4个小正方形组成的大正方形有（1×1）个；
图二是由（4×4）个相同的小正方形组成的4行4列的正方形，根据正方形的特点可知，单个的小正方形有（4×4）个，由4个小正方形组成的大正方形有（3×3）个，由9个小正方形组成的大正方形有（2×2）个，由16个小正方形组成的大正方形有（1×1）个，由此可知， 由n×n个相同的小正方形组成的n行n列的大正方形中所含的正方形总个数：n×n＋（n－1）×（n－1）＋…＋1×1，依此计算即可。
【详解】2×2＋1×1
＝4＋1
＝5（个）
4×4＋3×3＋2×2＋1×1
＝16＋9＋4＋1
＝30（个）
答：图一有5个正方形，图二有30个正方形。
【点睛】解答此题的关键是要明确计算由n×n个相同的小正方形组成的n行n列的大正方形中所含正方形个数的计算方法。
11．5
【分析】在数数时，应注意分类，此题应分为：单个的平行四边形，以及由两个平行四边形组成的平行四边形两类。
【详解】如图所示：
①四边形1、2、3是平行四边形，共有3个；
②四边形1、2组成平行四边形，共有1个；
③四边形1、2、3组成平行四边形，共有1个；
综上所述，图中共有3＋1＋1＝5（个）平行四边形。
【点睛】本题考查了平行四边形的判定．组合图形中平行四边形的计数，应注意分类，以免重复或遗漏。
12．8
【分析】按照一定的顺序，分类进行统计，边长为1的有多少个；边长为2的有多少个；边长为3的有多少个；然后合并起来即可。
【详解】边长为1的小正方形有：2＋2＋2＝6（个）
边长为2的小正方形有：1＋1＝2（个）
6＋2＝8（个）
【点睛】本题考查学生对正方形的特征的认识。
13．576
【分析】首先分别求得3枚硬币的不同方法，然后利用乘法公式，求得所有等可能的结果；再分别求得任意两个都不同行且不同列的情况即可求得答案。
【详解】计算总的放法数：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法。
因为总的放法数
又因为计算满足题目要求的放法数：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个。与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法。与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法。
所以满足题目要求的放法数
【点睛】本题考查学生平面图形计数中的枚举思想方法的理解和应用。
14．9
【分析】根据分类数图形的计数原理，再利用数线段的方法，分别计算出行、列所包含的长方形的个数，再求一共有多少个长方形即可。也可以利用长方形的特征，自己动手去数。
【详解】
（个）
【点睛】本题考查学生对分类图形计数方法的理解和掌握。
15． 12 8 10
【分析】根据平行四边形、三角形和梯形的含义：两组对边平行的四边形，叫平行四边形；由三条边围成的平面图形，叫三角形；只有一组对边平行的四边形，叫梯形；进行解答即可。
【详解】2个图形组成的平行四边形有6个，4个图形组成组成的平行四边形有5个，8个图形组成的平行四边形有1个，
（个）
单个的三角形有4个，2个图形组成的三角形有4个，
（个）
单个的梯形有4个，3个图形组成的梯形有4个，6个图形组成的梯形有2个，
（个）
【点睛】本题考查学生利用枚举法来枚举平面图形的个数，需要具备观察思维能力。
16．10
【分析】
①以射线a为角的一边的角有4个，射线b、c、d、e分别为角的另一条边。（如上图所画）
②以射线b为角的一边且不与①重复的角有3个，射线c、d、e分别为角的另一条边。
③以射线c为角的一边且不与①②重复的角有2个，射线d、e分别为角的另一条边。
④以射线d为角的一边且不与①②③重复的角有1个，射线e为角的另一条边。所以图中一共有10个角。
【详解】由分析得：
图中一共有10个角。
【点睛】本题考查角的认识，数角时要按照顺序数，才能做到不重不漏。
17． 6 7
【分析】（1）单个的小三角形是4个，大三角形是2个，共有4＋2＝6（个）三角形，据此即可解答；
（2）这个图形的中间有一个四边形，由2个图形组成的四边形有4个，由3个图形组成的四边形有2个，共有1＋4＋2＝7（个）四边形，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，图中有6个三角形；7个四边形。
【点睛】本题主要考查了三角形和四边形的认识。
18．27
【分析】根据图形，单个的小三角形有16个，由4个小三角形组成的三角形有7个，9个小三角形组成的大三角形有3个，16个小三角形组成的大三角形有1个，再相加即可求解，据此解答。
【详解】单个的小三角形有16个，
由4个小三角形组成的三角形有7个，
9个小三角形组成的大三角形有3个，
16个小三角形组成的大三角形有1个，
（个）
答：如图中共有27个等边三角形。
【点睛】本题考查等边三角形的特征，熟练掌握并灵活运用。
19．9
【分析】先数独立的小长方形的数量，然后再数由两个小长方形拼成的较大长方形的数量，最后再数四个长方形拼成的大长方形的数量，把这些不同的长方形数量相加即可。
【详解】独立的小长方形有4个，两个小长方形拼成的较大长方形有4个，四个小长方形拼成的大长方形有1个。共有：4＋4＋1＝9（个）。
【点睛】答题的时候不仅要数清单个的小长方形，还要数清由小长方形拼成的大长方形的数量。
20． 3 4
【分析】两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形。如图：，是平行四边形，和拼成平行四边形，、、拼成平行四边形。、拼成梯形，、拼成梯形，、、拼成梯形，、、、拼成梯形。
【详解】如图中一共有3个平行四边形，4个梯形。
【点睛】熟记平行四边形和梯形的特征是解题关键。
21． 5 3 3 6 3 9
【分析】（1）观察图形可知，单个的三角形有4个，4个三角形组成最大的三角形有1个，加起来5个三角形；相邻的两个三角形组成平行四边形，有3个平行四边形；相邻的3个三角形组成梯形，有3个梯形，据此即可解答。
（2）单个的三角形是4个，2个三角形组成的是2个；单个的平行四边形是2个，两个平行四边形组成的有1个；单个梯形有7个，2个梯形组成的梯形有2个，据此加起来即可解答。
【详解】数一数，填一填。
5个三角形
3个平行四边形
3个梯形
6个三角形
3个平行四边形
9个梯形
【点睛】本题考查学生对三角形、平行四边形和梯形的特征的认识以及对图形的处理能力。
22． 4 4 1
【分析】1个图形围成的三角形有1个，2个图形围成的三角形有2个，4个图形围成的三角形有1个，相加即可求解；1个图形围成的梯形有2个，2个图形围成的梯形有2个，相加即可求解；1个图形围成的平行四边形有1个。
【详解】解：1个图形围成的三角形有1个，
2个图形围成的三角形有2个，
4个图形围成的三角形有1个，
（个）；
1个图形围成的梯形有2个，
2个图形围成的梯形有2个，
（个）；
1个图形围成的平行四边形有1个。
【点睛】本题考查学生利用枚举法的思想来解决平面图形个数的问题，需要学生具备一定的观察思考能力。
23． 4 4 3
【分析】对于图形一中三角形数量，观察数出即可，但平行四边形除了有由2个三角形两两组合而成的平行四边形外，还有由4个三角形共同组成的平行四边形；在图形二中的三角形，除了可直观数出数量的图形外，还有一个最大的三角形，共3个；据此解答。
【详解】根据分析：
如图有4个三角形；（个），有4个平行四边形。
2＋1＝3（个），如图有3个三角形。
【点睛】掌握三角形和平行四边形的特征是解答本题的关键。
24． 15 4 1 4
【分析】（1）观察图形可知：从底边的第一个点出发，数出三角形的个数是5个，同理第2、3、4、5个点数出三角形的个数为4、3、2、1；据此将数出的三角形相加即可解答问题。
（2）梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的定义：平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；三角形：单独1个三角形有2个，由2个图形拼成的三角形有1个，由4个图形拼成的三角形有1个，一共有4个；平行四边形：单独1个平行四边形有1个，一共有1个；梯形：由1个四边形拼成的梯形有2个，由1个平行四边形和1个梯形拼成的梯形有2个，一共有4个；据此解答。
【详解】根据分析：
（1）5＋4＋3＋2＋1＝15（个），所以有15个三角形。
（2）有4个三角形。有1个平行四边形。有4个梯形。
【点睛】掌握三角形、平行四边形和梯形的特征是解答本题的关键。
25． 1 6 8
【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线有一个端点。据此可知，图中共1条直线。单独的线段有3条，由两条线段组成的线段有2条，由三条线段组成的线段有1条，则一共有3＋2＋1＝6条线段。每个端点都有两条射线，图中共4个端点，则共有2×4＝8条射线。
【详解】根据分析可知，图中有1条直线，6条线段，8条射线。
【点睛】线段有两个端点，直线没有端点，射线有一个端点。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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