资源简介

1.1.1空间向量及其运算
班级 姓名 小组
【学习目标】
1.通过类比平面向量的概念，掌握空间向量的相关概念；
2.通过阅读课本，掌握空间向量的加减运算和数乘运算；
3.类比平面向量，能够说出两向量共线，三向量共面的充要条件，能够表示直线方向的向量；
4能利用空间向量，化简求参，解决向量共线共面问题.
【导学流程】
知识点1　空间向量的有关概念
1.空间向量的定义
在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量，叫作空间向量.
2.空间向量的表示
几何 表示 用 表示向量，有向线段的长度 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向
字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，…
3.空间向量的线性运算
加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法运算 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
数乘定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ<0 λa与向量a的方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点2　空间向量的有关概念
名称 定义及表示
零向量 规定 的向量叫做零向量，记为0
单位向量 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a
相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量．在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点3　共线向量及共线向量定理
1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝ ，我们把与向量a 的非零向量称为直线l的 .
知识点4　共面向量充要条件
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
例1 【空间向量相关概念】判断正误
(1)零向量没有方向. ( )
(2)两个有公共终点的向量, 一定是共线向量. ( )
(3)空间向量的数乘运算中,只决定向量的大小, 不决定向量的方向. ( )
(4) 若, 则. ( )
(5)若两个向量的起点重合, 则这两个向量的方向相同. ( )
跟踪训练1.下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
例2 【空间向量运算】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
跟踪训练2 如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1)；
(2)；
(3)．
例3 【空间向量共线】已知向量和不共线，如果，，.求证：A，B，D三点共线.
跟踪训练3、如图，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面．
【当堂检学】
1．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线；
③若，不共线，则空间任一向量 ().
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（　　）
A． B．
C． D．
3．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量和不共线，如果，，.求证：A，B，D三点共线.1.1.2空间向量的数量积运算
班级 姓名
【学习目标】
1.能说出向量夹角的概念，数量积的定义及投影向量的概念；
2.结合课本例题能准确理解向量的数量积、模长及夹角区分异面直线所对角；
3.利用向量的数量积，求解投影向量，空间距离；
4.能在空间几何体中利用向量的数量积解决垂直关系的证明.
自学天地
知识点一　空间向量的夹角
定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 ≤〈a，b〉≤
向量垂直 如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a b
知识点二　空间向量的数量积运算
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
2.投影向量及直线与平面所成的角
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
知识点三　空间向量数量积的性质
(1)若a，b为非零向量，则a⊥b a·b＝0；
(2)a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝；
(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．
例1 空间向量数量积的概念
（1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．
跟踪训练1：设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
B． C． D．
例2 空间数量积运算
如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：
；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
跟踪训练2：如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：
（1）的长；
（2）与夹角的余弦值.
例3 综合应用
如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.
(1)用向量表示向量；
(2)求证.
跟踪训练3：如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．

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