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1.2空间向量基本定理
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【学习目标】
1.掌握空间向量基本定理的相关概念；
2.能找出出基底和基向量的区别与联系；
3.掌握空间向量的正交分解；
4.能运用空间三个不共面的向量作为基底表示任意向量.
【自学天地】
知识点1 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点2　单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为1，那么这个基底叫做 ，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量 ．
题型 1　基底的判断
例1　已知{i，j，k}是空间的一个基底，且＝i＋2j－k，＝－3i＋j＋2k，＝i＋j－k，试判断{}能否作为空间的一个基底．
巩固训练1　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组是(　　)
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
题型 2　用基底表示向量
例2　如图，在三棱柱ABC A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量.
巩固训练2　在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，若＝a，＝＝c.用基底{a，b，c}表示向量.
题型 3　空间向量基本定理的应用
例3　如图，已知在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
巩固训练3　如图，正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别为C′D′，A′D′的中点．求证：EF∥AC.
【课堂检测】
1.在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（ ）
A．1 B． C．0.5 D．
3.以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．向量，，共面，即它们所在的直线共面
4.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则______.
5.如图，在正四面体中，是棱的中点，，分别记为．
(1)用表示；
(2)若，求．

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