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专题3-质数与合数问题
小升初数学思维拓展数论问题专项训练
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、巧记100以内的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31 和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97。
2、“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数。
3、“1”这个数既不是质数也不是合数。
4、根据定义如果能够找到一个小于Q的质数p（均为整数），使得p能够整除Q，那么Q就不是质数，所以我们只要拿所有小于Q的质数去除Q就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的Q，我们可以先找一个大于且接近Q的平方数K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除Q，如没有能够除尽的，那么Q就是为质数。
5、找n个连续合数的方法：（n+1）!+2，（n+2）!+3，（n+1）!+4，…，（n+1）!+（n+1）这n个数分别能被2、3、4、…、（n+1）整除，它们是连续的n个合数，其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n。
【典例一】五年级有47名志愿者，六年级有50名志愿者，如果每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数，　　这样分配。
A．五年级可以 B．六年级可以
C．五、六年级都可以 D．都不可以
【答案】
【分析】根据题意，每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数，可知4个奇数相加和为偶数，由此判断。
【解答】解：每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数，可知4个奇数相加和为偶数，而47是奇数，50是偶数。
所以五年级不能这样分配，六年级可以这样分配。
故选：。
此题考查了奇数和偶数的问题，要明确：奇数奇数偶数。
【典例二】猜猜我是谁．
（1）“我”是一个两位数，且是偶数，十位上的数字与个位上的数字的积是30．“我”是　　
（2）“我”是一个质数，我与其他任何一个质数的和都是奇数．“我”是　　．
【答案】56；2。
【分析】（1）根据偶数和十位上的数字与个位上的数字的积是30，可以推断这个数56；
（2）根据质数和我与其他任何一个质数的和都是奇数，可以推断这个数是偶数，所以这个数是2。
【解答】解：（1）“我”是一个两位数，且是偶数，十位上的数字与个位上的数字的积是30．“我”是56
（2）“我”是一个质数，我与其他任何一个质数的和都是奇数．“我”是2。
故答案为：56；2。
根据奇数、偶数、质数的定义解答此题即可。
【典例三】桌上放有若干堆糖块，每堆数量互不相同且都是不大于100的质数，其中任意3堆糖块可以平均分给3名小朋友，任意4堆糖块也可以平均分给4名小朋友，已知其中有1堆是17块，则桌上放的糖块总数最多是多少？
【答案】234。
【分析】各堆糖块数被3除都余2，被4除余1，则每堆糖块的数量都是块且是小于100的质数，这些质数只有5，17，29，41，53，89；其和为计算结果即可。
【解答】解：因为任意3堆数量之和能被3整除，所以每堆被3除的余数相同，又因为17倍3除余2，所以各堆糖块数被3除都余2；同理，各堆糖块数被4除余1，所以每堆糖块的数量都是块，且是小于100的质数，这些质数只有5，17，29，41，53，89，其和为：
所以，桌子放的糖块总数最多是234。
答：桌子放的糖块总数最多是234。
本题是一道有关带余除法（中国剩余定理）（奥数）的题目。
一．选择题（共4小题）
1．若数，则不是的约数的最小质数是　　
A．19 B．17 C．13 D．非上述答案
2．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和。”下面与哥德巴赫猜想不符合的是　　
A． B． C． D．
3．著名的哥德马赫猜想指出，任何一个大于2的偶数都可以写为两个质数之和，用这种方法表示126，不同的算式有　　种。“”和“”算同一种）
A．11 B．10 C．9 D．8
4．有一种最简分数，它们的分子与分母的乘积都是140，如果把所有可能的分数从小到大排列，那么，第三个分数是　　
A． B． C．
二．填空题（共12小题）
5．人们通常把数学誉为科学的皇后，而数论是数学的皇冠．著名的“哥德巴赫猜想”指出：任何大于2的偶数都是两个素数之和，比如，　　．
6．在2、3、0、91、0.25、1、65和50中，　　是非自然数，　　是奇数，　　是偶数，　　是质数，　　是合数。
7．，，均为质数且小于1000，为奇数，则最大为 　　．
8．将6个“优秀少先队员”的名额分给六年级的一、二、三班，每个班至少1个名额，共有　 　种不同的分法．
9．1742年，德国数学家哥德巴赫发现了这样一个规律：每个大于4的偶数都是两个奇质数（质数是奇数）的和，如，这个设想被简称为“”，也就是著名的“哥德巴赫猜想”．请你仿照例子填空：　 　　 　，　 　　 　．
10．有一个正方体木块（如图），每个面上有一个自然数，并且每组相对的两个面上的两个数之和相等，现在只能看见三个面上的数，如果看不见的面上的数都是质数，那么这三个质数的和是 　 　。
11．用0、1、2、3四个数字组没有重复的两位数。如果组成的数是质数，则两位数是 　　；如果组成的数是2、3的公倍数，则两位数是 　　。
12．自然数中最小的偶数是 　　，最小的合数是 　　，最小的质数是 　　。
13．三个不同的质数之积恰好等于它们和的7倍，这些质数是　　。
14．一个两位数的素数，交换其个位与十位上的数字所得的两位数仍是素数，则这个数是　　
15．请在100以内找出连续7个自然数，并且它们都是合数。这七个数是　　。
16．小丽和读初三的哥哥的岁数是互为质数，积是144，读初三的哥哥的岁数是　　岁
三．应用题
17．水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。小林绘制了一幅水墨画，这幅水墨画是长方形的，长和宽均为质数，而且这幅水墨画的周长是36分米，这幅水墨画的面积是多少平方分米？
18．甲、乙、丙三位同学向班级图书箱献了一些图书，甲献的是乙的2倍，丙献的比乙少13本，如果把这三个人的图书合在一起，是质数，不超过50本，各位数字的和是11．问甲乙丙各献出多少本图书？三人一共献出多少本？
19．已知、、是三个不同的质数，并且，求用、、组成一个最大的带分数是多少．
20．果园里有几行果树，每行棵数相等．下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？说明理由．
21．四个不同的非零数字2、、1、7随意排成一圈，若某种排法能使得不论顺时针或者逆时针看，相邻两位组成的8个两位数均为合数，试求满足要求的所有的乘积．
22．把14拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，则这几个质数分别是多少？
23．小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数．”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数．”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方．”那么小明今年　　岁．（小明今年年龄小于31岁，且年龄均为整数岁）
24．一个两位素数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位素数，我们称它为“无暇素数”，求所有“无暇素数”之和．
25．和都是质数，十小于100且是7的倍数，如果十又是奇数，那么是多少？
26．一个长方体的长、宽、高分别是两位数，并且长、宽、高的和为偶数，（其中长最大，高最小）．这个长方体的体积是下面4个数中的一个：8735、6864、8967、7853，求这个长方体的长、宽、高各是多少？
27．有人说：“任何7个连续整数中一定有质数。”请你举一个例子，说明这句话是错的。
28．从1999、1989和1979中分别减去同一个四位数，便能得到三个不同的质数．减去的这个四位数是多少？简要说明理由．
29．从2至100的数中划掉2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不划掉）．看一看剩下的数都是什么数？
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【分析】是10、20、30、40、50、60、70、80、90、100、110、120、130这几个因数的乘积，每个因数又可以分解质因数，然后从最小的质因数依次寻找即可．
【解答】解：根据，可知
10有质因数：2，5；
20有质因数：2，5；
30有质因数：2，3，5；
40有质因数：2，5；
50有质因数：2，5；
60有质因数：2，3，5；
70有质因数：2，5，7；
80有质因数：2，5；
90有质因数：2，3，5；
100有质因数：2，5；
110有质因数：2，5，11；
120有质因数：2，3，5；
130有质因数：2，5，13；
所以2，3，5，7，11，13都是的约数；
所以，不是的约数的最小质数为17．
故选：．
本题考查了极值问题与因数问题的综合应用，关键是确定的较小的质因数有哪些．
2．【答案】
【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2，由此解答即可。
【解答】解：、，46是大于2的偶数，17和29是质数，符合哥德巴赫猜想；
、，94是大于2的偶数，41和53是质数，符合哥德巴赫猜想；
、，80是大于2的偶数，43和37是质数，符合哥德巴赫猜想；
、，91不是质数，不符合哥德巴赫猜想；
故选：。
此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，熟记100以内的质数表是解答关键。
3．【答案】
【分析】根据质数的意义，分别写出几个质数的和即可。
【解答】解：。
答：可以写出8种质数和。
故选：。
本题考查了质数、自然数、合数的概念，掌握概念是解题的关键。
4．【分析】因为所以最简分数从小到大排列、、、进而解答．
【解答】解：
最简分数从小到大排列、、、，
所以第三个分数是；
故选：．
解答主要考查最简分数即分子和分母互质的分数以及分数大小的知识解答．
二．填空题（共12小题）
5．【分析】根据题目要求写出两个和为24的质数即可．
【解答】解：哥德巴赫猜想说每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和．那么24可以表示为两个素数 17与 7或者11与13之和．或．
故答案为：或．
解决本题主要根据猜想按要求写数．要注意写出的两个数都要是质数．
6．【答案】0.25；3、91、1、65；2、50；2、3；91、65、50。
【分析】利用自然数、奇数、偶数、质数和合数的概念来解答此题，0.25不符合这六个概念，因为这五个概念都是在整数范围内研究的，1既不是质数也不是合数，据此解答即可。
【解答】解：在2、3、0、91、0.25、1、65和50中，0.25是非自然数，3、91、1、65是奇数，2、50是偶数，2、3是质数，91、65、50是合数。
故答案为：0.25；3、91、1、65；2、50；2、3；91、65、50。
此题考查了自然数、奇数、偶数、质数和合数的概念，注意这些概念都是在整数范围内研究的。
7．
【分析】先根据已知条件判断出为偶数，再由，为质数可知与中必有一个是2，再根据，均小于1000求出另一个数的最大值，进而可求出的最大值．
【解答】解：因为，、为质数，是奇数，
所以为偶数，
因为与中必有一个是偶数，不妨设，为质数且，
所以最大取到997，而的最大值为1995．
故答案为：1995．
本题考查的是质数与合数的概念、奇数与偶数的概念，熟知在所有偶数中只有2是质数这一知识点是解答此题的关键．
8．【分析】由于每个班至少1个名额，所以，本题的分配方案实质上就是对余下3个名额的分配方案：
（1）把3个名额都给一个班级：3种；
（2）将3个名额分成1个和2个进行分配共种分法；
（1）将3个名额分成1、1、1进行分配共1种分法．即平均每班两个名额．
所以共有种分法．
【解答】解：由于每个班至少1个名额，．
在每班保证一个的情况，还剩三个名额：
共有（种．
答：共有10种不同的分法．
先每班确定一个额，将余下的名额进行分配是完成本题的关键．
9．【分析】根据题目要求，将20与28分别写成两个奇质数相加的形式即可，注意答案不唯一．
【解答】解：，．
故答案为：3，17；5，23（答案不唯一）．
本题主要考查了质数与合数的问题，要掌握常见的质数．
10．【答案】42。
【分析】设25对面的数为a，10对面的数为b，4对面的数为c，依题意列出等式，再根据数的奇偶性进行分析即可。
【解答】解：设25对面的数为a，10对面的数为b，4对面的数为c。
依题意，得25+a＝10+b＝4+c，
因为a、b、c为质数，最小的质数为2，
所以b、c为奇数，
所以25+a，10+b，4+c都为奇数，
由25+a为奇数，a为质数可知，a＝2，
由此可得10+b＝4+c＝27，
解得：b＝17，c＝23，
则这三个质数的和是：2+17+23＝42；
答：这三个质数的和是42。
故答案为：42。
本题考查了奇数与偶数的性质，关键是根据题意列出等式，根据相等的数奇偶性相同解题。
11．【答案】13或23或31；12或30。
【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数，据此找出即可；
根据2、3的倍数的特征可知：同时是2和3的倍数，个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数。
【解答】解：用0、1、2、3四个数字组没有重复的两位数。如果组成的数是质数，则两位数是13或23或31；如果组成的数是2、3的公倍数，则两位数是12或30。
故答案为：13或23或31；12或30。
理解掌握2、3的倍数特征以及质数的定义是解答关键。
12．【答案】0；4；2。
【分析】在自然数中，最小的质数是2，最小的合数是4，最小的偶数是0，据此回答问题。
【解答】解：自然数中最小的偶数是0，最小的合数是4，最小的质数是2。
故答案为：0；4；2。
解答此题的关键是牢记这些特殊的数，然后再进一步解答。
13．【答案】3，5，7。
【分析】根据3个质数的乘积是和的7倍，那么3个质数中有1个是7，设另两个质数分别是、，然后根据题意得：，分析探讨即可。
【解答】解：设另两个质数分别是、，
，
解得
分别代入、3、5、7
，
，
由解得这3个质数是：3，5，7；
故答案为：3，5，7。
此题关键是根据3个质数的乘积是和的7倍，得出3个质数中有1个是7，然后根据题意列出方程。
14．【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，列举出即可．
【解答】解：一个两位质数，交换个位和十位上的数字后所得的两位数是另一个质数，
这样的数有11、13、31、17、71、37、73、79、97．
故答案为：11、13、31、17、71、37、73、79、97．
根据质数的意义进行分析解答是完成本题的关键，完成本题要注意将这个两个数的数字倒换之后，分解下质因数看是否是质数．
15．【答案】90，91，92，93，94，95，96。
【分析】除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数叫做合数。
【解答】解：100以内连续7个自然数，并且它们都是合数。这七个数是90，91，92，93，94，95，96。
故答案为：90，91，92，93，94，95，96。
这道题解题的关键就是熟练掌握合数的概念，并会判断哪些数是合数。
16．【答案】16。
【分析】将144分解质因数，把质因数中的偶数与偶数相乘，质数与质数相乘可得到两个自然数即互质数。
【解答】解：因为，
，
，
9和16是互质数，初三哥哥的岁数分别是16岁。
故答案为：16。
此题主要考查的是如何求互质数。
三．应用题
17．【答案】65平方分米或77平方分米。
【分析】根据题意，用36除以2，求出长方形长与宽的和，然后把这个和拆分成两个质数相加的形式，然后再根据长方形的面积公式进行解答。
【解答】解：（分米）
（平方分米）
（平方分米）
答：这幅水墨画的面积是65平方分米或77平方分米。
本题关键是求出长方形长与宽的和，然后把这个和拆分成两个质数相加的形式。
18．【分析】由于乙比丙献的数量多很多，所以可以假设丙只献了1本，那么乙献14本，甲献28本，，所以最少有43本，大于等于43且小于50的质数只有43和47，由于各位数字的和是11，而，不合题意，所以不是43，那么只能是47；所以甲30本，乙15本，丙2本．总数为47本．代入验证，符合要求．
【解答】解：假设丙只献了1本，那么乙献：本，
甲献：本，，所以最少有43本，
大于等于43且小于50的质数只有43和47，
如果总数是43，那么，不合题意，所以不是43，
那么只能是47，丙献出2本，甲献出30本，乙献出15本，
，符合题意；
所以甲30本，乙15本，丙2本；
（本
答：甲乙丙分别献出30本、15本、2本图书；三人一共献出47本．
解答此题的关键是根据题意，进行假设，进而得出总数的取值，然后进一步根据题意，进行验证，进而得出结论．
19．【分析】质数中只有2是偶数，、都是偶数，因此，也必须是偶数，即一定是偶数，只能是2．把代入并化简是，、均为小于10的质数，只有、或时符合题意．最大带分数的整数部分最大，最小的作分子．
【解答】解：由题意可知，为最小的质数2
把代入
只有当、时符合题意
用、、组成一个最大的带分数是．
解答此题的关键，也是难点，是求出这三个质数各是多少．
20．【分析】根据题意，果园里有几行果树，每行棵数相等，可得：果园里果树的总棵数是一个合数，据此判断即可．
【解答】解：因为83的因数只有1和83
所以83是质数；
因为89的因数只有1和89
所以89是质数；
因为
所以87的因数有：1、3、29、87
所以87是合数
所以果园里果树的总棵数是87棵．
答：果园里果树的总棵数是87棵．
此题主要考查了质数、合数的特征和判断，要熟练掌握．
21．【分析】根据题意，要使相邻两位组成的8个两位数均为合数，那么1和7不能相邻，然后列出符合题意的的值，最后计算乘积．
【解答】解：可以如下排列：
2
1 7
这样满足“相邻两位组成的8个两位数均为合数”的的值有：2、5、8．
所以所有的乘积是：．
答：满足要求的所有的乘积是80．
解决本题的关键是找出能满足条件的排法，然后排出所有的的值．
22．【答案】2、5、7。
【分析】首先根据质数的特征，判断出小于14的质数有6个：2、3、5、7、11、13；然后根据把14拆成若干个不同质数之和，只能是或；最后分别求出，以及的大小，再比较大小，判断出要使这些质数的积最大，这几个质数分别是多少即可。
【解答】解：小于14的质数有6个：2、3、5、7、11、13；
或；
，，
因为，
所以如果要使这些质数的积最大，则这几个质数分别是2、5、7，
此时。
此题主要考查了质数与合数问题的应用，考查了逻辑推理能力的应用，解答此题的关键是判断出：把14拆成若干个不同质数之和，只能是或．
23．
【分析】设小红岁，年龄差．则小明岁．由题知质数①，质数②，质数③，所以质数③质数①质数②，即质数③，之间的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、经尝试，小红、小明的年龄差为7岁，小红今年9岁，小明今年（岁，，满足题意，
【解答】解：设小红岁，年龄差．则小明岁．
由题知质数①，质数②，质数③，
所以质数③质数①质数②，即质数③；
通过将之间的质数进行验证可知：
小红、小明的年龄差为7岁，小红今年9岁，小明今年（岁，．
故填：16．
完成本题要根据所给条件将数据进行验证，以求得符合题意的数据．
24．【分析】先根据”无暇素数”的定义，列举出所以的两位数的“无暇素数”，再把它们加起来即可解答问题．
【解答】解：两位“无暇素数”分别是：11，13，17，31，37，71，73，79，97，共有9个
答：所有两位“无暇素数”之和是429．
此题主要考查了素数的定义以及“无暇素数”的定义，关键是正确列举出符合题意的“无暇素数”．
25．【分析】和都是质数，十又是奇数，说明、必有一个是2；不妨设，由于是7的倍数且小于100，所以可以是5、19、47、61、89，进而求出是多少即可．
【解答】解：因为和都是质数，十又是奇数，
所以、中必有一个是2；
不妨设，由于是7的倍数且小于100，
所以可以是5、19、47、61、89，
又因为，，，，，
所以、38、94、122或178．
此题主要考查了质数与合数问题的应用，解答此题的关键是：根据和都是质数，十又是奇数，判断出、必有一个是2．
26．
【分析】由于长、宽、高的和为偶数，根据数和的奇偶性可知，这3个数中只有一个为偶数或3个全为偶数，又长方体的体积长宽高，则其体积一定是偶数，所以符合条件的只有6864，据此将6864分解质因数后重新组合即可．
【解答】解：由题意可知，这3个数中只有一个为偶数或3个全为偶数，
则其体积一定是偶数，所以符合条件的只有6864，
，
，
，
，
．
即这个长方体的长、宽、高可为：48、11、13；16、33、13；16、11、29；12、22、26．
首先根据数的奇偶性确定它的体积是完成本题的关键．
27．【答案】90，91，92，93，94，95，96，这7个连续整数中就没有质数。故“任何7个连续整数中一定有质数。”是错的。
【分析】首先可以结合题意联想到100以内质数，包含小的质数时很难做到任何7个连续整数中一定有质数。故可以从较大的质数出发。例如97，89。则90，91，92，93，94，95，96，这7个连续整数中就没有质数。故这句话错误。
【解答】解：90，91，92，93，94，95，96，这7个连续整数中就没有质数。
故“任何7个连续整数中一定有质数。”是错的。
答：90，91，92，93，94，95，96，这7个连续整数中就没有质数。故“任何7个连续整数中一定有质数。”是错的。
本题考查质数与合数。从100以内最大质数着手思考解决问题。
28．
【分析】根据1999、1989和1979这三个数字的特点，以及减去一个数后它们的差之间的关系，通过验证，得出结果．
【解答】解：1999、1989和1979这三个数分别相差10，减去一个数后，
设得到的最小的质数为，那么其余两个不同的质数便为：，．
根据同余定理：，和这三个数中必有一个是3的倍数，那只能是，
即只有时，才满足，和分别是质数．
故减去的数是：．
此题考查了质数的概念，以及学生的分析推理能力．
29．【分析】根据2、3、5、7的倍数的特征，将2至100中除2、3、5，7外相关的数划划掉，那么剩下的数是质数．
【解答】解：根据2、3、5、7的倍数的特征，划掉的数是：
4，6，8，10，12，14，15，16，18，20，
21，22，24，25，26，27，28，30，32，
33，34，35，36，38，39，40，42，44，
45，46，48，49，50，51，52，54，55，
56，58，60，62，63，64，65，66，68，
69，70，72，74，75，76，77，78，80
81，82，84，85，86，87，88，90，91，
92，93，94，95，96，98，99，100．
剩下的数为：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，57，59，61，67，71，73，79，83，89，97．
由此可以发现，剩下的都是质数．
完成本题首先要明确质数的意义，古希腊科学家就是用这种方法寻找质数的．

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