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专题8-带余除法
小升初数学思维拓展数论问题专项训练
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
2、一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r。
当r=0时，我们称a能被b整除
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．
3、对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法。
【典例一】有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有　　个．
A．13 B．19 C．61 D．121
【分析】2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．
【解答】解：2、3、4三个数的最小公倍数是，
，13不满足5个5个地数却少4个；
，25不满足5个5个的数却少4个；
，37不满足5个5个的数却少4个；
，49不满足5个5个的数却少4个；
，61满足5个5个的数却少4个．
答：这堆苹果最少有61个．
故选：．
此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
【典例二】某小学四、五、六年级学生是星期六下午参加劳动，其中一个班学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余的学生到校办工厂劳动，到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍．各个班级参加劳动人数如下表．留下来打扫卫生的是　 　班．
班级 四（1） 四（2） 四（3） 四（4） 五（1） 五（2） 五（3） 五（4） 六（1） 六（2） 六（3）
人数 55 54 57 55 54 51 54 53 51 52 48
【分析】根据“到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动的人数的2倍”，可得到这两个地方去的10个班的学生数之和应是3的倍数个班的学生总数是584人，而584除以3余2，因此留下来打扫卫生的这个班的学生人数应除以3余2，而各班人数中只有53除以3余2，故留下来打扫卫生的是五（4）班．
【解答】解：人，
，
各班人数中，只有53除以3余数是2，所以留下来打扫卫生的是五（4）班．
故答案为：五（4）．
本题主要考查带余的除法问题，根据到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍，可知这些人数的和是3的倍数是解答本题的关键．
【典例三】桌子上有七个纸盒，分别装有3，4，5，6，8，9，15千克糖，小明和小丽共拿走了六个纸盒，已知小明拿走糖的重量是小丽的3倍．剩下的一个纸盒有多少千克糖？
【分析】根据题意，小明拿走糖的重量是小丽的3倍，那么小明和小丽拿走糖的重量是4的倍数，我们可以先从这一组数字，去掉一个除以4余2的数即可，只有6符合题意，由此列式解答即可．
【解答】解：7个纸盒共重：（千克），
（千克）（千克），
只有6除以4余2，所以剩下一个纸盒是6千克．
答：剩下的一个纸盒有6千克．
解答此题的关键是分析出小明和小丽拿走糖的重量是4的倍数，然后再将7个数相加除以4，结果有余数，就找那个除以4是与余数相同的，也就是剩下的一个纸盒．
一．选择题（共3小题）
1．一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是　　
A．3 B．6 C．2 D．1
2．两个自然数同时除以13，所得的余数分别是6和9，它们之积除以13的余数为　　
A．9 B．7 C．6 D．2
3．所有被4除余1的两位数的和为　　
A．1200 B．1208 C．1210 D．1224
E．1229
二．填空题（共13小题）
4．一个整数除以8余7，除以12余11，那么这样的数中，最小的一个是　 　，在小于1000的数中，这样的整数有　 　个．
5．一个数除以2余1，它的商除以5余4，再用得到的商除以6余1，那么原来这个数除以60余　 　．
6．把这2005个自然数依次写下来得到一个多位数，这个多位数除以9的余数是　　。
7．有一个自然数，用它分别去除25，38，43，所得三个余数的和是18，这个自然数是　 　．
8．的和除以7的余数是 　　
9．有一列数，前两个数是3和4，从第3个数起每个数是前两个数的和，这一列数中第2007个数除以4余　　。
10．一筐苹果，如果每10个一堆剩8个，如果每15个一堆剩13个，如果每17个一堆剩16个，则这筐苹果至少有　 　个．
11．连续写出从1开始的自然数，写到2000时停止，得到一个多位数：123456781911……19992000，这个多位数除以3，得到的余数是 　 　。
12．有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和．已知前两个数是0和1，则最后一个数除以6的余数是　 　．
13．在计算有余数除法时，一时大意把被除数325错写成235，结果商比原来少6，但余数恰好相同，问这道题的除数是　　。
14．若一个数最多可以有9个数位，个位可以为，十位可以为，百位可以为，千位可以为，以此类推．例如，110，100，3020．则第200个数除以2019的余数是　　．
15．老师将一些苹果和梨平分给全班同学．分完后，苹果剩下2个，梨剩下7个，且每个同学分得的梨的个数是分得的苹果个数的2倍．如果先分给其中11名同学每人两种水果各7个，剩下的平分给余下同学，恰好分完，且余下这些同学每人分得的梨的个数是分得的苹果个数的3倍．那么苹果和梨共有 　　个．
16．一堆棋子，3个3个数，余下1个；5个5个数，余下2个；7个7个数，余下3个，这堆棋子最少有　　个。
三．解答题（共9小题）
17．甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？
18．若某数被2009除，余数是1234．若该数的两倍被2009除，余数是多少？
19．有些自然数，它们除以7的余数与除以8的商的和等于26，那么所有这样的自然数的和是多少？
20．某校9个课外兴趣小组，各组人数如下表．一天下午有8个小组同学听数学课或作文讲座．其中听数学讲座的人数是听作文讲座人数的，剩下的一个组外出活动．问这个外出活动的小组是第几组？
组别 一 二 三 四 五 六 七 八 九
人数 5 7 9 10 11 13 14 17 23
21．有两个自然数相除，商是19，余数是12，已知被除数、除数、商与余数之和等于343，则被除数是多少？
22．方方和圆圆用同一个数做被除数，方方用12去除，得商10还余1，圆圆用11去除，圆圆计算的结果应该是多少？
23．给出一列数，，，，为正整数），这2015个数的和除以14的余数是多少？
24．幼儿园买来一批糖，把它们分成若干份．如每份5块余下4块；每份4块余下3块；每份3块余下2块，问一批糖至少有多少块？
25．小青有一瓶巧克力，7粒一数还少3粒，5粒一数又多2粒，3粒一数正好，这瓶巧克力至少有多少粒？
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【分析】一个数被7除，余数是3，假设商是，根据余数性质，被除数等于商乘除数加余数，这个数等于；要求这个数的3倍被7除时余数是多少，代入计算式，得到，是整数，，所以商是，余数是2，因此得解．
【解答】解：假设一个数被7除，余数是3，商是，则这个数是：，
这个数的3倍被7除时余数是：
，
所以余数是2，
故选：．
根据余数的性质，假设出未知数，进一步计算即可得解．
2．【分析】设两数分别为，，，都是整数，则两数之积为，因为，都是整数，所以前三个都是13的整数倍，最后剩下54，用54除以
13，求出余数即可．
【解答】解：设两数分别为，，，都是整数，则两数之积为：
，
因为，都是整数，169、117、78都是13的倍数，所以前三个都是13的整数倍，
最后剩下54，
因为：，
所以它们之积除以13的余数为2．
故选：．
根据题意，进行推导，得出它们之积除以13的余数，即54除以13的余数，是解答此题的关键．
3．【分析】本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：．除以4后余1的最大两位数是：．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：．然后利用公式求它们的和就行了．
【解答】解：除以4后余1的最小两位数是：，
除以4后余1的最大两位数是：，
那么除以4后余1的两位数一共有：（个，
所有除以4后余1的两位数的和为：
．
答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．
故选：．
本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．
二．填空题（共13小题）
4．【分析】一个整数除以8余7，除以12余11，通过观察可以发现，这个自然数比8、12的最小公倍数少1，求出这两个数的最小公倍数减去1求得最小的一个；再依此求得在小于1000的数中，这样的整数的个数即可．
【解答】解：，
，
8，12的最小公倍数是24，
则最小的一个是；
，
故在小于1000的数中，这样的整数有41个．
故答案为：23，41．
本题巧用求几个数的最小公倍数去解决问题．
5．【分析】设这个整数为，因为它除以2余1，所以设，又除以5余4，所以设，又除以6余1，设，所以所以所以这个整数除以60，商为，余数是19．
【解答】解：设这个整数为，由题意可知，它除以2余1，
所以设；
又除以5余4，所以设；
又除以6余1，所以设；
即；
所以；
所以这个整数除以60，商为，余数是19．
故答案为：19．
完成本题要细心分析所给条件，一步一步认真推理出结论．
6．【答案】1。
【分析】分析题意，首先明确：各位数字之和能被9整除的数一定能被9整除；设相邻9个数中的第一个数为，则其他数分别为，，一直到，再分析可知每相邻9个数之和必可被9整除；接下来用2005除以9，确定余数只能由后面7个数即1999，2000，2001，，2005组成的数决定；然后求出后面7个数的和，再除以9，求出余数即可。
【解答】解：根据题意和分析可得：
设相邻9个数中的第一个数为，则其他数分别为，，一直到，
所以能被9整除，
每相邻9个数之和必可被9整除。
余数只能由后面7个数即1999，2000，2001，，2005组成的数决定。
答：这个多位数除以9的余数是1。
故答案为：1。
解题关键：一个自然数除以9的余数等于这个自然数的各个数位上的数字之和除以9的余数。
7．【分析】一个自然数去除25，38，43，都有余数，如果用这三个数减去各自的余数，这样这三个数就可以被这个自然数整除，这三个数的和也一定能被这个自然数整除，然后把这三个数的和分解质因数即可解答．
【解答】解：，
，
；
则：88能被这个自然数整除，把88分解质因数是：
，
因为余数的和为18，而余数不可能大于除数，
所以除数不可能是2，
所以只能是．
故答案为：11．
考查了带余除法，本道题是把有余数的除法和分解质因数两部分知识结合的综合应用，需要逆向思维，本题的突破口是：先让原来的三个数变为能被所给自然数整除的数．
8．【答案】5。
【分析】观察算式可得，123一直加到，可以同时提取一个公因数123出来，然后括号里边是一个等差数列，根据等差数列求和公式，求出括号里边的数，然后进行计算即可。
【解答】解：
。
所以的和除以7的余数是5。
故答案为：5。
此题考查带余数的除法。找到规律是解答此题的关键。
9．【答案】3。
【分析】根据前两个数是3与4，从第3个数起每一个数都是前两个数的和，这一列数可以写成：3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，，观察它们除以4的余数为：3，0，3，3，2，1，3，0，3，3，2，，6位重复一次，用2007除以6，看余数是几，就和第几位上的余数相同，据此解答即可。
【解答】解：这一列数可以写成：3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，，
它们除以4的余数为：3，0，3，3，2，1，3，0，3，3，2，，
所以这一列数中第2007个数除以4余3。
答：这一列数中第2007个数除以4余3。
故答案为：3。
本题主要考查数列中的规律和有余数的除法，找出余数出现的规律是解答本题的关键。
10．【分析】本题我们可假设这筐苹果加上两个，那么每10个一堆或每15个一堆都正好分完没有剩余，即这筐苹果的个数比10与15的公倍数少2，再参照每17个一堆剩16个这一条件即可解答．
【解答】解：因为如果每10个一堆剩8个，如果每15个一堆剩13个，
所以这筐苹果的个数比10与15的公倍数少2，即可能为28，58，88，，
当为28时，，不符合题意，
当为58时，，不符合题意，
当为88时，，不符合题意，
当为118时，，符合题意，
即这筐苹果至少有118个．
故答案为：118．
本题主要考查有余数的除法问题，将问题转化为有关公倍数的问题是解答本题的关键．
11．【答案】0。
【分析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除；利用等差数列求和公式求出原数各个数位上的数的和，至此问题不难解答。
【解答】解：（1+2+3+……+2000）
＝（1+2000）×2000÷2
＝2001000
（2+1）÷3＝1
答：得到的余数是0。
故答案为：0。
本题主要考查能被3整除的数的特征，同时明确余数的定义是关键。
12．【分析】如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大．
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？
继续往下写数列，0、1、3、8、21、55、144、377、987，被6除的余数依次是：0，1，3，2，3，1，0，5，3，
结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，
可以看出余数12个数一段，将重复出现．
，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数．
【解答】解：根据分析：此数列被6除余数会出现0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，这12个数一组循环，
，也就是第70个数除以6的余数是位于余数第六组的第10个数，这个数是4，所以最右边的一个数被6除余4．
答：最右边的一个数被6除余4．
故答案为：4．
因数列太长和大，所以就去寻找数列中的规律，然后利用规律解决问题．
13．【答案】15。
【分析】根据被除数除数商余数，余数不变，商减少6，则被除数减少的数是除数的6倍，据此计算即可。
【解答】解：
答：除数是15。
故答案为：15。
本题主要考查了带余除法，需要学生熟练掌握除数、被除数、商以及余数之间的关系。
14．【分析】首先，想一位数有2个．两位数有4个分别是10、11、20、21．三位数开始理解做题主要思路．百位假定为1，因为百位有数，所以个位和十位都可以是0，所以个位2种选择，十位3种选择．那么有种可能．百位有3种可能1、2、3．因此三位数的个数是个．其次、四位数有多少个呢？当千位是1时，有种可能．千位可能是1、2、3、4．因此有种可能．到此为止，一位数2个，两位数4个，三位数18个，四位数96个．个．最后，万位是1有种可能．求第200个数．去掉前面的120个，还剩80个，而万位是1，有120种可能．所以，本题万位必然是1．从小到大找80个数就能找到答案．万位是1，千位是0时，有24种可能．千位是1时，有24种可能．千位是2时，有24种可能．．到这里为止，再找8个数就可以了．万位是1，千位是3的数从小到大，依次是：13000、13001、13010、13011、13020、13021、13100、13101.13101是第8个．也就是所求的第200个数．余987．
【解答】解：一位数有2个．
两位数有4个分别是10、11、20、21．
三位数开始理解做题主要思路．百位假定为1，因为百位有数，所以个位和十位都可以是0，所以个位2种选择，十位3种选择．那么有种可能．百位有3种可能1、2、3．因此三位数的个数是个．
四位数：当千位是1时，有种可能．千位可能是1、2、3、4．因此有种可能．到此为止，一位数2个，两位数4个，三位数18个，四位数96个．个．
五位数：万位是1有种可能．求第200个数．去掉前面的120个，还剩80个，而万位是1，有120种可能．
所以，万位必然是1．从小到大找80个数即可．
万位是1，千位是0时，有24种可能．
千位是1时，有24种可能．
千位是2时，有24种可能．
．
万位是1，千位是3的数从小到大，依次是：13000、13001、13010、13011、13020、13021、13100、13101．
13101是第8个，也就是所求的第200个数．
．
答：第200个数除以2019的余数是 987．
故答案为：987．
本题主要考查带余除法，关键利用列举法求出第200个数是多少．
15．【答案】苹果和梨共有474个。
【分析】设全班同学人数为人，第一次平分时每个同学分得的苹果个数为个，每个同学分得的梨的个数为个，则梨的总数为个，苹果的总数为个，那么苹果和梨的总数和为个，由题意列出方程即可。
【解答】解：设全班同学人数为人，第一次平分时每个同学分得的苹果个数为个。
去分母得：
解得：
所以（个
答：苹果和梨共有474个。
本题主要考查带余除法，能根据题意设出未知数，列出方程是解题关键。
16．【答案】52。
【分析】3个3个数，余下1个；5个5个数，余下2个，最少是7个，因为3和5的最小公倍数是15，所以15的整数倍加7都可满足3个3个数，余下1个；5个5个数，余下2个，但还要满足7个7个数，余下3个，因为没余数，余数是1，所以要余数是3就要加3个15，也就是45，那么结果就是。
【解答】解：3和5的最小公倍数是
（个
所以这堆棋子最少有52个。
本题考查了最小公倍数的求法以及带余除法的问题，熟练掌握最小公倍数的求法以及带余除法的思考方法是解答此题的关键。
三．解答题（共9小题）
17．【分析】根据“被除数除数商余数”，甲数加上乙数，则它们除以5的余数和为，5里面又有一个5，所以最后它们的和除以5的余数就是，甲数减去乙数，则它们除以5的余数是；甲、乙两数的积除以5余数是，5里面又有一个5，所以最后它们的积除以5的余数就是由此解答即可．
【解答】解：，；
；
，；
答：甲乙两数的和除以5余 0，甲乙两数的差除以6余 1，甲、乙两数的积除以5余数是1．
此题应根据被除数、除数、余数和商之间的关系进行解答．
18．【分析】根据在有余数的除法里，除数不变，被除数缩小（或都扩大）相同的倍数，商和余数都随之缩小（或扩大）相同的倍数”；由此解答即可．
【解答】解：若某数被2009除，余数是1234．
若该数的两倍被2009除，则商是原来的2倍，余数也是原来的2倍，即余数是，因为余数总比除数小，所以余数为：；
答：余数是459．
明确在有余数的除法里，除数不变，被除数缩小（或都扩大）相同的倍数，商和余数都随之缩小（或扩大）相同的倍数；是解答此题的关键．
19．【分析】可以分除以7的余数的不同情况得到除以8的商，再得到除以8的余数，从而得到所有这样的自然数，再相加即可求得所有这样的自然数的和．
【解答】解：若除以7余0，那么除以8的商是26，，则该数为；
若除以7余1，那么除以8的商是25，，则该数为；
若除以7余2，那么除以8的商是24，，则该数为；
若除以7余3，那么除以8的商是23，，则该数为；
若除以7余4，那么除以8的商是22，，则该数为；
若除以7余5，那么除以8的商是21，，则该数为；
若除以7余6，那么除以8的商是20，，则该数为 或．
因此所有这样自然数的和是．
答：所有这样的自然数的和是1476．
考查了带余除法，注意分类思想的运用，本题的难点是得到这样的自然数除以8的商和余数，本题的难度较大．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】因为听数学讲座的人数是听作文讲座人数的，那么这两组的人数之和必然能被7整除，求出9个兴趣小组的总人数，看一下除以7余几，再找一下哪个组除以7也余几即可解答．
【解答】解：，
，
9个小组人数中只有11除以7余4，
所以这个外出活动的小组是第五组．
答：这个外出活动的小组是第五组．
本题主要考查带余数的除法，正确理解这个小组的人数与总人数除以7余数相同是解题关键．
21．
【分析】设除数为，根据“被除数商除数余数”得：，解这个方程，求出除数，进而根据“被除数商除数余数”解答即可．
【解答】解：设除数为，则：
答：被除数是297。
根据在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数四者之间的关系，进行解答即可．
22．【分析】分析方方的条件可以知道，除数、商、余数，根据被除数商除数余数，可以求出被除数，即：；又因为方方和圆圆的被除数是同一个数，因此用即可得到圆圆计算的结果．
【解答】解：
，
答：圆圆计算的结果应是11．
本题是对被除数商除数余数这个等量关系的考查，知道这个等量关系，然后代入数字进行求解即可．
23．【答案】5。
【分析】因为一列数为，，，，为正整数），这2015个数的和为，而，所以最终的余数即是除以14的余数，计算即可。
【解答】解：
答：这2015个数的和除以14的余数是5。
本题考查带余除法，本题关键是化简2015个数的和，然后分开讨论与14的商找到突破口。
24．
【分析】如每份5块余下4块，即是每人5块少1块；每份4块余下3块即每人4块少1块；每份3块余下2块，即每人3块少1块，所以糖的块数应是比5，4，3的公倍数少1的数，问至少有多少块，就是比它们的最小公倍数少1的数．据此解答．
【解答】解：5、4和3的最小公倍数
（块
答：这批糖至少有59块．
本题的关键是把题意转化为每份5块少1块，每份4块少1块，每份3块少1块，再进行解答．
25．【分析】把“5粒一数又多2粒，”看作“5粒一数还少3粒，”这样就相当于求7、5、3的最小公倍数减去3；7、5、3的最小公倍数是：，那么这瓶巧克力至少有粒，据此解答．
【解答】解：根据分析可得：
，
，
（粒；
答：这瓶巧克力至少有102粒．
本题实际考查了中国剩余定理，关键是统一缺少的粒数即把“5粒一数又多2粒，”看作“5粒一数还少3粒，”，然后在求最小公倍数的基础上，求出最少数．

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