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专题10-同余定理
小升初数学思维拓展数论问题专项训练
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的．因为他们都有相同的余数1。
【典例一】有甲、乙、丙、丁四个数．甲数除以4商2011余2，乙数除以8商2011余4，丙数除以12商2011余6，丁数除以16商2011余8．那么甲、乙、丙、丁四个数的总和除以4的商是　 　．
【分析】根据商除数余数被除数，分别表示出甲、乙、丙、丁四个数，又因为除数都是4的倍数，可以进行巧算；然后再用它们的和除以4即可．
【解答】解：
．
答：商是20115．
故答案为：20115．
本题关键是根据有余数的除法，分别表示出四个数，然后再根据数据特点进行巧算得出结果．
【典例二】如果13511、13903、14589这3个自然数除以一个自然数，所得的余数相同，那么这个自然数最大是多少？
【答案】98。
【分析】根据据同余定理，13511、13903、14589这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数最大为这三个差的最大公因数；然后用短除法即可找出这个最大自然数。
【解答】解：
答：这个自然数最大是98。
本题是一道有关短除法求最大公因数和最小公倍数、带余除法（中国剩余定理）的题目。
【典例三】有一堆苹果，3个3个地数多1个，4个4个地数多1个，5个5个地数少4个．这堆苹果最少有多少个？
【分析】5个5个地数少4个，也就是多一个，这样就是求出3、4、5三个数的最小公倍数多1的数；由此解答即可求解．
【解答】解：
（个
答：这堆苹果最少有61个．
此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数．
一．选择题（共3小题）
1．一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是　　
A．78 B．88 C．98 D．90
2．一堆彩色玻璃球，二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个，则这一堆玻璃球至少有　　个．
A．11 B．16 C．21 D．31
3．某数分别被2、3、5除，都余1，那么这个数最小是　　
A．11 B．16 C．31
二．填空题（共13小题）
4．1958，2010，2088除以同一个整数时，余数都相同，那么这个除数最大是　 　．
5．两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被13除余　 　．
6．把一篮鸭梨分给一些同学，每人3个多2个，每人4个少2个，鸭梨至少有　 　个．
7．有一个数除以3余2，除以4余3，这个数除以12余　 　．
8．一个数去除68、131、250所得的余数相同，这个数应是　　．
9．一堆苹果，2个2个地拿，3个3个地拿，5个5个地拿，最后都余1个。这堆苹果至少有 　　个。
10．一个两位的自然数除以12和8都余3，这个数最小是　 　．
11．六（1）班同学分组游戏，每组3人多1人，每组4人少3人，每组5人少4人，这个班至少有　 　人．
12．一个数去除551、745、1133、1327这4个数，余数都相同．这个数最大是　　．
13．有一个整数，除500，278，93，得到相同的余数．这个整数是　 　．
14．442，297，210分别除以某个大于1的自然数，能得到相同的余数，则该自然数是 　　。
15．小丽有一些画片，比20张多，比40张少，如果按5张一组来数，剩4张；如果按3张一组来数，剩1张．小丽有画片　　张．
16．小明的妈妈去市场买了葡萄、雪梨、苹果和芒果4种水果，每种都买了不止1斤，共花了34元．葡萄、雪梨、苹果和芒果每斤的单价分别是1.4元、2.2元、2.8元和4.2元，则小明的妈妈买了　　斤雪梨．
三．解答题（共7小题）
17．在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？
18．用自然数去除498、450、414，得到相同的余数，最大是多少？
19．有一袋苹果，数量在之间，每2个一盘余1个，每3个一盘余1个，每5个一盘也余1个，这袋苹果至少多少个？
20．用一个数去除52，余4，再用这个数去除40，也余4，这个数最大是多少？
21．有一些糖果，不足60块．平均分给7个小朋友或8个小朋友，都剩下1块，这些糖果有多少块？
22．有一堆苹果，如果3个3个地数，最后余2个；如果5个5个地数，最后余4个；如果7个7个地数，最后余6个．这堆苹果最少有多少个？
23．古代数学中有这样一道题目：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物有几何？你知道吗？
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【分析】除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．
【解答】解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；
、；
15是3的倍数，所以78是3的倍数，故错误；
、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故错误；
、而这个数的末尾应是3或8；和都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．
；
；
88除以3余1，所以88符合要求．
故选：．
解决本题也可以这样想：这个两位数是3和5的公倍数减2，由此得这个两位数是．
2．【分析】“二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个”，说明这堆玻璃球的个数是2、3、5的公倍数加1，求这堆玻璃球最少有多少个，先求出2、3、5的最小公倍数，然后加上1，由此解决问题即可．
【解答】解：2、3、5是互质数，它们的最小公倍数是：
；
玻璃球的个数就是（个；
答：这一堆玻璃球至少有31个．
故选：．
此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数互质，它们的最小公倍数是它们的积，并用此决解实际问题．
3．【分析】由题意可知：要求的数即比2、3、5的最小公倍数多1的数，先求出2、3、5的最小公倍数，然后加1即可．
【解答】解：因为2、3、5三个数两两互质，
所以2、3、5的最小公倍数是：，
所以这个数最小是：；
答：这个数最小是31；
故选：．
此题属于同余定理习题，明确要求的数即比2、3、5的最小公倍数多1的数，是解答此题的关键．
二．填空题（共13小题）
4．【分析】根据据同余定理，1958，2010，2088这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数最大为这三个差的最大公因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个除数最大是多少．
【解答】解；
所以三个差的最大公因数为：
答：这这个除数最大是26．
故答案为：26．
本题解答的依据是同余定理之一：、对于模同余的充要条件是：与的差能被整除．
5．【分析】根据同余的定理可知：对于同一个除数，两个数之（或差）与它们的余数之和（或差）同余；由此求解．
【解答】解：
7与10和除以13的余数4，所以这两个数的和被13除余 4．
故答案为：4．
解决本题也可以设这两个数分别是和，为自然数，则两个数的和是
所以被13除余4．
6．【分析】每人3个多2个，每人4个少2个，即这些鸭梨减去两个就是3的倍数，加上两个就是4的倍数，由于求鸭梨至少有多少个，因此根据3、4的最小公倍数即求出至少有多少个鸭梨．
【解答】解：
，
（个．
故答案为：14．
由它们的余数得出鸭梨个数与所分个数最小公倍数的关系是完成本题的关键．
7．【分析】一个数除以3余2，除以4余3，，，所以假设这个数再加上1就能被3和4整除；即这个自然数就是比3、4的公倍数少1的数；根据同余定理可知，这个数除以12的余数，就是比3、4的最小公倍数少1的数除以12的余数．据此解答即可．
【解答】解：假设这个数再加上1就能被3和4整除，
比3、4的最小公倍数少1的数是：
因为11小于12，所以11除以12的余数可以看作是11，
根据同余定理可知，这个数除以12余11．
答：这个数除以12余11．
故答案为：11．
本题考查了公倍数问题与同余定理的综合应用，关键是理解这个数是比3、4的公倍数少1的数；难点是明确这个数除以12与谁同余．
8．
【分析】根据同余定理，68，131，250这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数．
【解答】解：，
，
；
所以这个整数为三个差的公有因数：7；
答：这个整数为7．
故答案为：7．
本题解答的依据是同余定理之一：、对于模同余的充要条件是：与的差能被整除．
9．【答案】31。
【分析】根据2个2个地拿余1个，3个3个地拿余1个，5个5个地拿还余1个，求出2、3、5的最小公倍数，再加上1即可求出这堆苹果最少有多少个。
【解答】解：2、3、5两两互质，
所以2、3、5的最小公倍数是：
（个
答：这堆苹果至少有31个。
故答案为：31。
本题考查了灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。
10．【分析】根据一个数除以12或8都余3，可知如果这个数减去3就可以被12和8整除，即这个数减去3就是12和8的公倍数，要求这个数最小就是12和8的公倍数的最小公倍数加上3，据此解答．
【解答】解：12的倍数有：12，24，36，48，，
8的倍数有；8，16，24，32，40，48，，
12和8的公倍数的最小公倍数是24，
；
答：这个数最小是27．
故答案为：27．
解答本题关键是理解这个数减去3就是12和8的公倍数，要求这个数最小就是12和8的公倍数的最小公倍数加上3．
11．【分析】每组4人少3人，即每组4人多1人；每组5人少4人，即每组5人多1人，根据每组3人、4人、5人都多1人，可知这个班的至少人数应是3、4、5的最小公倍数再加上1；求出3、4、5的最小公倍数再加上1即可．
【解答】解：因为3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是：
答：这个班至少有61人．
故答案为：61．
此题主要考查同余定理，根据“每组4人少3人，每组5人少4人”转化为“每组4人多1人，每组5人多1人”是解答本题的关键．
12．
【分析】根据同余定理，551、745、1133、1327这4个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这四个差的因数；然后把这四个数的差分解质因数，即可找出这个整数．
【解答】解：由题意得：这四个数两两的差是：
，
，
，
，
，
，
所以这四个数的差的最大公因数是194，则这个数最大是194．
答：这个数最大是194．
故答案为：194．
本题解答的依据是同余定理之一：、对于模同余的充要条件是：与的差能被整除．
13．【分析】根据同余定理知：这个数能整除500，278，93，任意两个数的差，求出这几个数差的公约数，就是这个整数．据此解答．
【解答】解：根据以上分析得：
，
，
，
，
，
．
因222，407，185的公因数是37，所以这个整数是37．
故答案为：37．
本题主要考查了学生对同余定理的掌握情况．
14．【答案】29。
【分析】结合同余定理分析可知，因为442，297，210分别除以某个大于1的自然数，能得到相同的余数，则，，都能被该自然数整除，而，，，则这个除数为29。
【解答】解：
则这个除数为29。
故答案为：29。
本题考查同余定理。将有余数的问题转化为最大公约数问题解决即可。
15．
【分析】如果按5张一组来数，剩4张，符合条件的数有24，29，34，39四个，再找出符合按3张一组来数，剩1张的数即可解答．
【解答】解：因为如果按5张一组来数，剩4张，且图片张数比20张多，比40张少，
所以这些图片可能有24，29，34，39张；
24，39是3的倍数，不符合题意，
，不符合题意；
，符合题意；
故答案为：34．
本题主要考查同余定理，熟练掌握3和5的倍数特征是解答本题的关键．
16．
【分析】通过观察，如果将葡萄、苹果和芒果每斤的单价扩大10倍，他们都是7的倍数，雪梨每斤的单价被7除余1，小明的妈妈花的钱也扩大10倍，则有等式，将上式两边同除以7，所以，所以，小明的妈妈买了4斤雪梨．
【解答】解：设葡萄、雪梨、苹果和芒果各买了、、、斤，
则有等式，将上式两边同除以7，
所以，
因为，每种水果都不止1斤，
所以，小明的妈妈买了4斤雪梨．
答：小明的妈妈买了4斤雪梨．
故答案为：4．
此题解答起来有一定的难度，须认真思考，灵活解答．
三．解答题（共7小题）
17．
【分析】根据题意，根据题意，利用列举法，找到符合题意的数：除以4余3，那么这个数是奇数，除以5余2，尾数是2或者7，所以这个数尾数是7．小于1000的尾数是7的比较大的数有：997、987、977、967、957、最大的除以4余3，除以5余2，除以7余4的数刚好是907．据此解答．
【解答】解：除以4余3，那么这个数是奇数，除以5余2，尾数是2或者7，所以这个数尾数是7．
小于1000的尾数是7的比较大的数有：997、987、977、967、957、
最大的除以4余3，除以5余2，除以7余4的数刚好是907．
答：在小于1000的自然数中，被4除余2，被5除余3，被7除余5的最大自然数是907．
本题主要考查同余定理，关键把除以4余3，除以5余2，除以7余4转化为这个数比4、5、7的公倍数少2，再进行计算．
18．【答案】8000元，6500元。
【分析】因为498、450、414除以所得的余数相同，所以它们两两之差应能被整除，据此求出三个差的最大公因数即可。
【解答】解：，，
所以最大是，36，
答：最大是12。
本题考查了同余问题，关键是明确它们两两之差应能被整除。
19．【分析】每2个一盘余1个，每3个一盘余1个，每5个一盘也余1个，就是求出2、3、5三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、5的公倍数，然后加上1，再找到满足数量在之间的最小的数即可求解．
【解答】解：2、3、5三个数的最小公倍数是，
（个
（个
（个
答：这堆苹果最少有121个．
此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
20．【分析】根据题意可知，是这个数的倍数，同理，也是这个数的倍数，求这个数最大是多少，就是求48和36的最大公因数．
【解答】解：
，
，
36和48的最大公因数是，
答：这个数最大是12．
解答本题关键是理解求这个数最大是多少，就是求48和36的最大公因数．
21．
【分析】如果糖果的数量少1块，那么平均分给7个小朋友或8个小朋友都不会有余数，所以糖果的数量是7和8的公倍数多1，由此找出60以内的7和8的公倍数，再进一步求解．
【解答】解：7和8是互质数，它们的最小公倍数是：，
那么其它的公倍数就要大于60；
所以糖果有（块
答：这些糖果有57块．
本题关键是根据总数量除以7、8之后的余数都是1，先求出7和8在60以内的公倍数，再加上1即可求解．
22．
【分析】可以把原题改一下说法，“有一堆苹果，如果3个3个地数，最后差1个；如果5个5个地数，最后差1个；如果7个7个地数，最后差1个．这堆苹果最少有多少个”这样，就可以求出3、5、7的最小公倍数，减去1个，就求出了这堆苹果最少有多少个．由此得解．
【解答】解：3、5、7都是质数，它们的最小公倍数就等于：（个，
（个；
答：这堆苹果最少有104个．
此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
23．
【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；
第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．
【解答】解：我们首先需要先求出三个数：
第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；
第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；
第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；
然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：．
最后，再减去3、5、7最小公倍数的若干倍，即：．
答：物最少有23个，或者是个为正整数）．
本题考查的是带余数的除法，根据题意先求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．

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