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专题11-完全平方数性质
小升初数学思维拓展数论问题专项训练
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．
2、性质。
性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9． 性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．
【典例一】假如有一个数，唯一能整除它的平方数是1，则我们称此数为“无平方”数．例如，6是个“无平方”数而12则不是．请问在从90到100（包括90和共有　　个“无平方”数．
A．4 B．5 C．6 D．7
E．8
【分析】根据题意，“无平方”数是无平方数的因数，故质数必然是无平方数，对于其余数分解因数即可．
【解答】解：97是质数，故97是无平方数．
故选：．
本题难度不大，最主要的要理解“无平方”数的意义．
【典例二】某煤矿要将一批煤炭运往某发电厂，如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；如果每天运吨，恰好天运完为自然数），则　 　．
【分析】根据如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；可求煤的重量的范围，再根据完全平方数性质求解．
【解答】解：设共有吨煤，则
且，
解得，
，
在区间内的完全平方数只有，
所以．
故答案为：67．
考查了完全平方数性质，本题关键是得到煤的重量的范围，在煤的重量的范围之间找到完全平方数．
【典例三】已知，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．
（1）请再找出一个“好数”．
（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？
（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．
【分析】（1）因为，所以；则，等都可以是“好数”．
（2）据完全平方数的性质可知，平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．因此可从平方末位数是 1，4，9，6，5几种情况进行讨论验证所有“好数”的个位数字可能是多少．
（3）假设存在超好数，设为；则有：不可能被4整除；也就是不可能得到倒数第四位为4；故假设不成立．即：不存在超好数．
【解答】解：（1）因为，所以；则，等都可以是“好数”．
（2）根据完全平方数的性质可知，完全平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．
末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；
对于1，设的平方满足；而的平方；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
对于9，设的平方满足；而平方，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
又设平方满足；而的平方；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
对于6，设平方满足；而的平方平方，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；
设的平方满足；而的平方；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；
故好数的个位数字只能是4．
（3）假设存在超好数，设为；则有：平方平方平方平方不可能被4整除；
也就是不可能得到倒数第四位为4，故假设不成立．
即：不存在超好数．
完成本题要在了解完全平方数性质的基础上，根据数据的特点，针对不情况进行分析，从而得出结论．
一．选择题（共3小题）
1．如果一个自然数能够表示成两个相同自然数的乘积，就称这个自然数为“完全平方数”，例如：1，4，，如果一个自然数能够表示三个相同自然数的乘积，就称这个自然数为“完全立方数”，例如：1，8，请观察下列一堆数：2，3，5，6，7，10，11，12，13，14，15，17，18，其中既没有完全平方数，又没有完全立方数，那么，这样的数的第100个数是　　
A．110 B．112 C．114 D．115
2．在中国历史长河中，人们喜欢用到数字“6”，比如秦始皇以六为国数、六谷、六畜等。数字“6”之所以熠熠生辉，是因为像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：。下面各数中是完全数的是　　
A．8 B．12 C．20 D．28
3．毕达哥拉斯研究发现：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6有4个因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余三个数相加，，所以6就是“完全数”。按照这样推理，下面的数是“完全数”的是　　
A．16 B．28 C．36 D．以上都是
二．填空题（共11小题）
4．，，，，数学上把1、4、9、这样的数称为“平方数”，36和64都是平方数，它们的和为100，你能找出两个和为13的平方数吗？它们分别是　　和　　．
5．已知、为正整数，并且为不超过1768的完全平方数，最大为　　
6．小军读一本书，如果每天读80页，需要4天多读完；如果每天读90页，需要3天多读完；如果每天读页，刚好天读完，则每天应读　　页．
7．一个自然数可以分解为三个质因数的积，如果三个质因数的平方和是7950，这个自然数是　　．
8．一本书，如果每天读50页，8天读不完，9天又有余；如果每天读60页，7天读不完，8天又有余；如果每天读页，又恰好用天读完是自然数），这本书共　　页．
9．著名的数学家斯蒂芬巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份的算术平方根（该年的年份是他该年年龄的平方数）．则他出生的年份是　 　，他去世时的年龄是　 　．
10．下面的三张图，哪两张图可以拼成“平方数”？
①图 　　和图 　　可以拼成“平方数”　　；
②图 　　和图 　　可以拼成“平方数”　　。
11．一个自然数减去51或者加上52都是完全平方数，这个自然数是　 　．
12．46305乘以一个自然数，积是一个完全平方数，则最小的是　 　．
13．甲、乙两人合买了个篮球，每个篮球元，付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲 　　元
14．若是一个完全平方数，则最小是　 　．
三．解答题（共11小题）
15．能否找一个自然数是完全平方数，且也是完全平方数？
16．用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
17．一个两位数，在它的左边添上适当的两个数码变成四位数时恰是原数的平方，试求所有这样的两位数．
18．矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积．
19．从1到16这16个正整数中，至多取出多少个数使得取出的这些数里面任意两个不同数之和都不是完全平方数。
20．如图，从1开始的连续自然数排成了一个数表，现在用一个“”字型套中五个数，把这五个数相加的和比一个完全平方数少2，那么这个完全平方数最小可能是　 　；如果这个完全平方数是离1000最近的一个，那么它可能是　 　．
21．“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
22．合理凑数．四位数中，两位数是一个质数，是一个完全平方数，而又是一个质数．满足上述条件的四位数可能有哪些？如果将题中条件“又是一个质数“改为” 又是一个完全平方数“，其它条件不变，这个四位数是什么？
23．有3对相邻的自然数，它们的平方数字相同，只是顺序不同。例如：13和14这两个相邻的数，它们的平方是：，，两个数的平方都是由数字1、6和9组成。还有两对相邻的数具有这个性质，请你判断一下，157和158、913和914是不是这两对相邻的数？
24．某年级组织同学去春游．如果租35个座位的客车需要4辆，如果租42个座位的客车需要3辆．到达景点后要求分组活动，且分的组数跟每组的人数恰好相等，则此年级共有多少人参加春游活动？
25．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【答案】
【分析】首先考虑的完全平方数有10个1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，且立方数有4个分别为1、8、27、64，去掉重复的还有个数，进一步考虑下一个完全平方数是121，完全立方数是125，所以从101开始，再数出12个数就可以得出答案为112．
【解答】解：的完全平方数有10个：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，
完全立方数有4个，分别为：1、8、27、64，
去掉两种数剩下个，
下一个完全平方数是121，完全立方数是125，
，
所以既没有完全平方数，又没有完全立方数，那么，这样的数的第100个数是112．
故选：。
解决此题的关键，是理解题意，找出在一定范围内完全平方数以及完全立方数的个数．
2．【答案】
【分析】求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出8、12、20、28的因数，然后根据题中的方法分析找出，即可得出答案。
【解答】解：的因数有：1、2、4、8，，所以本选项不符合题意；
的因数：1、2、3、4、6、12，，所以本选项不符合题意；
的因数：1、2、4、5、10、20，，所以本选项不符合题意；
的因数有：1、2、4、7、14、28，，所以本选项符合题意。
故选：。
本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后根据“完全数”的含义分析。
3．【答案】
【分析】先列出这个数的所有因数，再除去这个数本身的因数，将其余的因数相加，若得数为其本身，则其为完全数。
【解答】解：．16的因数有：1、2、4、8、16，除去它本身的16，其余数相加：，不等于16，所以不是完全数；
．28的因数有：1、2、4、7、14、28，除去它本身的28，其余数相加：，等于本身，所以28是完全数；
．36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，除去它本身的36，其余数相加：，不等于它本身，所以不是完全数。
故选：。
本题考查求一个数的因数，明确完全数的含义是解题的关键。
二．填空题（共11小题）
4．【答案】4，9。
【分析】根据平方数的定义，我们知道，，所以9和4是平方数，据此解答即可。
【解答】解：因为，，
，
所以：4和9是和为13的平方数。
故答案为：4，9。
本题通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况。
5．【答案】65。
【分析】对提取公因数可得；再根据为不超过1768的完全平方数可得；要使最大，则，，至此即可解答题目
【解答】解：因为，且它是不超过1768的完全平方数，
所以，
当，时，的最大值为65。
故答案为：65。
本题主要考查了完全平方数的性质，关键是得出。
6．
【分析】根据题意可知，这本书的页数大于页，小于页，如果每天读页，刚好天读完，说明这本书的页数是一个完全平方数，进而求出每天应读多少页．据此解答．
【解答】解：（页，
（页，
这本书的页数在320与360之间，如果每天读页，刚好天读完，说明这本书的页数是一个完全平方数，只有18的平方在320与360之间，所以每天读18页．
答：每天读18页．
故答案为：18．
此题解答关键是确定这本书的页数所在范围，再根据这本书的页数是一个完全平方数进行解答即可．
7．
【分析】此题首先分析一个数平方的个位数字，从而推出其中两个质数只能是2和5，那么求另外一个数就好解决了．
【解答】解：一个数的平方，个位只能是1，4，5，6，9；
三个数的平方数的和的个位为0，只能是1，4，5；
所以其中两个质数只能是2和5，
，
；
这个自然数；
答：这个自然数是890．
故答案为：890．
此题也可这样解答：一个奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数；而三个数的平方和是7950（偶数），所以这三个数是“两奇一偶”或“三偶”．而偶质数只有2，显然三偶不可能，那么只可能是“两奇一偶”，其中的“一偶”就是2．另两个质因数的平方和就是7946．则可得：5与89的平方和，即，这三个数分别为：2、5、89，三个质因数的积也就是这个自然数是．
8．
【分析】“每天读50页，8天读不完，9天又有余”说明页数在之间；“要是每天读60页，7天读不完，8天又有余”，说明页数在之间；每天读页，恰好用天读完，说明页数是7的倍数，且总页数除以7后，剩下的数字是一个完全平方数；在和之间，即在之间，是7的倍数的只有427、434、441、448，据此解决问题．
【解答】解：“每天读50页，8天读不完，9天又有余”说明页数在之间；
“要是每天读60页，7天读不完，8天又有余”，说明页数在之间；
每天读页，恰好用天读完，说明页数是7的倍数，且总页数除以7后，剩下的数字是一个完全平方数；
在和之间，即在之间，
是7的倍数的只有427、434、441、448，
，不符合题意；
，不符合题意；
，不符合题意；
，，符合题意；
答：这本书有448页．
故答案为：448．
根据题意推出这本书的页数范围，以及页数是7的倍数，且总页数除以7后，是完全平方数，这是解答此题的关键．
9．【分析】首先找出在小于1945，大于1845的完全平方数，依此可得只有1936符合实际，从而得到出生的年份和去世时的年龄．
【解答】解：小于1945，大于1845的完全平方数有，，
显然只有1936符合实际，所以斯蒂芬巴纳赫在1936年为44岁．
那么他出生的年份为年．
他去世的年龄为岁．
故答案为：1892，53岁．
要点是：确定范围，另外要注意的“潜台词”：年份与相应年龄对应，则有年份年龄出生年份．
10．【答案】①，，；②，，。
【分析】两个图形只要能拼成一个正方形即可。
【解答】解：①图和图可以拼成“平方数” ；
②图和图可以拼成“平方数” 。
故答案为：，，；，，。
本题主要考查了“平方数”，解题的关键是把两个图形拼成正方形。
11．【分析】设这个自然数为，则为完全平方数，为完全平方数，故这两个完全平方数的差值为，计算出的值，进而求出这个自然数是多少即可．
【解答】解：设这个自然数为，
则为完全平方数，为完全平方数，
故这两个完全平方数的差值为：
，
解得，
故是51的平方，
是52的平方，
故该这个自然数为2652．
故答案为：2652．
此题主要考查了完全平方数的性质，解答此题的关键是求出的值．
12．【分析】把46305分解质因数，根据质因数里面质因数的单数的个数，来确定少的因数的个数．问题得以解答．
【解答】解：，
所以该数为；
所以的最小值是105．
故答案为：105．
本题的关键是把46305分解质因数，再根据平方数的特征进行解答
13．
【分析】篮球的总价为．由题意“首先由甲付10元，然后乙付10元，甲再付10元，乙再付10元，直到某次甲付10元后，乙只需要再付不足10元“可知，每轮他们付20元，最后一轮甲付了10元后乙没付够10元，所以他们支付的总价格的十位上必定是奇数。
由下面可以推出十位上是奇数个位必定是
假设一个数为，其中和是整数，且，于是，我们有：
如果的十位数字是奇数，那么的平方十位数字是奇数，由此推得：
的平方等于16或36。
所以的平方个位数字是6。
所以最后乙付的钱肯定是6元，由此可以作答。
【解答】解：总价为，由题意得，总价的十位数上为奇数，所以个位数上必定为6。
所以最后一轮乙支付了6元，甲支付了10元。
所以乙需要给甲（元
答：按照约定，乙需要再给甲2元。
故答案为：2。
本题考差了平方数的一些规律，灵活运用即可作答。
14．【分析】因为，根据完全平方数的性质，即可推出的最小值．
【解答】解：因为，
所以最小是34．
故答案为：34．
解答此题，首先对1224进行分解，把它分解成几个完全平方积的形式，剩余的部分即为的最小值．
三．解答题（共11小题）
15．【分析】设，，所以，然后根据和的数的性质来分析判断出和的值，再求的值即可．
【解答】解：设，，
所以，
，
所以，，
所以．
此题解答有一定难度，通过设未知数，以及对数的性质的分析，得出问题的答案．
16．【分析】无论如何，组成的数各位数字和，显然，组成的数必被3整除，一定不能被9整除，因此用300个2和若干个0组成的整数没有可能是完全平方数．
【解答】解：设由300个2和若干个0组成的数为，则其数字和为600
，所以
此数有3的因子，故．但9不能整除600，所以矛盾．
故不可能有完全平方数．
此题考查了完全平方数的性质，根据用300个2和若干个0组成数的数字和能否被9整除来加以判断．
17．【分析】此题可以设添上的两个数码为，，记．按题意有，即．欲使是一个四位数，必须．又与互素，所以由可得：或者，；或者，．然后针对这两种情况进行讨论解决．
【解答】解：设添上的两个数码为，，记．按题意有，即．欲使是一个四位数，必须．又与互素，所以由可得：或者，；或者，．
当，时，必为奇数．这就是说必是大于32且为的倍数的奇两位数，这样的两位数可能取的值只有75，但此时，74，所以，此时无解．
同理，当，时，这时可能取的值只有75，此时，所以．
这就解得只有76这一个两位数满足所说性质：．
此题通过设添上的两个数码为，，列出关系式，得出两种情况，通过讨论，解决问题．
18．
【分析】此题可设长方形的边长为、，则四位数可证得，从而得出是一个完全平方数，经试算即可解答．
【解答】解：设矩形的边长为，，则四位数：
因为是完全平方数，11为质数，所以能被11整除．
又由分析可得．
所以，所以是一个完全平方数，验算知满足条件．
又由，得．所以（平方厘米）．
答：这个矩形的面积是28平方厘米．
此题主要考查完全平方数的特征，正确列出代数式是解题的关键．
19．【答案】9个。
【分析】依据完全平方数的性质和抽屉原理解答即可。
【解答】解：依据完全平方数的性质和抽屉原理解答：
至多取8个数，取出2，4，6，8，9，11，13，15它们满足题目要求，其次可以证明若取9个数则其中必有两数之和为平方数。
构造8个“抽屉”， ，，，，，，，，从1至16中任取9个数，必有两个数在同一抽屉里，它们的和就是完全平方数。
掌握完全平方数的性质是解题关键。
20．【分析】该“”字型套中五个数，假设最小的是，那么另外4个分别是，，，，那么这五个数的和是：
，根据题意这个和再加上2正好是一个完全平方数，所以是完全平方数，也就是该平方数减去34恰好是5的倍数，而5的倍数特征是末尾是0或者是5，所以该平方数减去34的末尾是0或者是5，该平方数的末尾就是4即可．
【解答】解：①设用一个“”字型套中五个数分别是，，，，，
这五个数的和是，根据题意即为是平方数，
该平方数去掉34后必须是5的倍数，而5的倍数特征是个位是0或者是5，
经过论证得：平方数的个位上是4，
最小的平方数是49即为
所以平方数最小的是49．
②因为，，，根据上述分析，只要该平方数的个位上是4即可，
离100最近的是1024，
故答案为：49，1024．
考查对数字规律的得到及运用；发现相应规律是解决本题的关键．
21．
【分析】此题首先想到加上的三位数的最小值和最大值，这个平方数在最小值和最大值之间，根据已有经验，而，所以从46算起，，而，所以这个数小于55，故这些数是从46到54的数．
【解答】解：1993与一个三位数的和肯定大于等于，小于等于．
估算出，，，，所以这样的三位数只有个．
答：这样的三位数有9个．
找到取值范围，寻求满足条件的数，如45的平方为2025，需要平时的积累和经验．
22．
【分析】（1）是一个完全平方数，所以，01，04，09，16，25，36，49，64，81；若是偶数，则不可能是质数，由此排除00，01，04，09，25，49，64，81，从而找出符合条件的四位数；
（2）是质数，说明是奇数且不能为5，只能取1，3，7，9；是完全平方数，说明不能取5，7，9；所以为1或者3，这个完全平方数为16或36，得到为6；是完全平方数，，那么．从而这个四位数．
【解答】解：（1），01，04，09，16，25，36，49，64，81；
若是偶数，则不可能是质数，
所以00，01，04，09，25，49，64，81不可能，
所以，或36，
所以，，
因为是质数，十位是6的质数，只有61和67，
所以，为1或7，
这个四位数为：1161、1361、7167、7367。
（2）是质数，说明是奇数且不能为5，只能取1，3，7，9．
是完全平方数，说明不能取5，7，9，
所以为1或者3，这个完全平方数为16或36，得到为6，
是完全平方数，，那么．
所以这个数为4164或者4364．
此题解答起来有一定难度，需慎重考虑，考查了学生分析推理能力．
23．【答案】是。
【分析】先分别求出157和158、913和914平方，再看平方数字是否相同；据此判断即可。
【解答】解：，，
157和158的平方数字相同，只是顺序不同，
，，
913和914的平方数字相同，只是顺序不同。
答：157和158、913和914是这两对相邻的数。
本题主要考查了完全一平方数的性质，解题的关键是分别求出两对相邻数的平方。
24．【分析】由第一个条件可知，人数在人之间；由第二个条件可知，人数在人之间；所以，春游人数在人之间；又由第三个条件可知，参加春游的人数是一个完全平方数，因此是121人，据此解答即可．
【解答】解：因为（人，（人，
所以参加春游的人数在106人人之间；
又因为（人，（人，
所以参加春游的人数在85人人之间；
综上，参加春游的人数在106人人之间；
因为分的组数跟每组的人数恰好相等，春游的人数每组的人数组数，
所以参加春游的人数是一个完全平方数，
因为之间只有121是一个完全平方数，
所以此年级共有121人参加春游活动．
答：此年级共有121人参加春游活动．
此题主要考查了完全平方数性质问题的应用，解答此题的关键是判断出此年级参加春游的人数在106人人之间．
25．
【分析】第一个平方数为，第二个平方数为；则有，，，然后利用和差公式求出、的值，进而求出这个完全平方数．
【解答】解：第一个平方数为，第二个平方数为，由题意得：
，
，
即：
根据和差公式，可知，，
这个数为；
答：这个数是424．
此题考查了完全平方数的性质，以及利用数的奇偶性解答问题的能力．

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