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第五单元 平行四边形和梯形
（思维导图+知识梳理+典型精讲+真题演练）
知识点一：平行与垂直
1、认识平行与垂直。
（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和不相交两种。不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
（2）相交的两条直线的位置关系有垂直和不垂直两种。如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另- “条直线的垂线 ,这两条直线的交点叫做垂足。
2、垂线的画法。
画垂线有两个重合:一是三角尺的一条直角边与已知直线重合;二是点在直线上时,三角尺的顶点与这一点重合;点在直线外时,三角尺的另- - 条直角边与这一点重合。
3、垂线和平行线的性质及作用。
垂线与平行线的性质:
（1）点到直线的距离即点到直线的垂直线段的长度。
（2）平行线间的距离处处相等。
4、垂画长方形的方法。
画长方形的方法:
（1）画一条线段作长方形的长;
（2）从画出的线段两端画两条与这条线段垂直的线段,使画出的两条线段长度相等;
（3）把所画的两条线段另外的端点沿直尺连起来。
知识点二：平行四边形与梯形
1、认识平行四边形。
（1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，它有无数条高。
（2）平行四边形的底和高是对应的。
（3）画高的步骤:选取顶点-→向对边作垂线-→标垂直符号→确定高。
2、平行四边形的特性。
平行四边形易变形，具有不稳定性。
3、认识梯形。
（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
（2）梯形的高是从上底的一个点向下底所作的垂直线段。平行四边形有两种长度的高，梯形只有一种长度的高。
4、四边形之间的关系。
正方形是特殊的长方形，长方形和正方形是特殊的平行四边形，平行四边形和梯形是特殊的四边形。
考点一：平行与垂直
【典例一】下列四组直线中，两条直线相互平行的有（ ）组。
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
【详解】四组直线中，两条直线相互平行的有第1、2、4组，共三组。
故答案为：C
【分析】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。
【典例二】如图，点P是直线外的一点，点A，B，C在直线上，且PB的长度是点P到直线的距离，下列说法不正确的是（ ）。
A．线段PB是点P到这条直线的垂线段 B．线段AC的长是点A到直线PC的距离
C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短。 D．线段AP的长是点A到直线PC的距离
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离；依此判断并选择即可。
【详解】A．线段PB是点P到这条直线的垂线段，即原说法正确。
B．线段AC的长＝线段AB的长度＋线段BC的长度，即原说法不正确。
C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短，即原说法正确。
D．线段AP的长是点A到直线PC的距离，即原说法正确。
故答案为：B
【分析】此题考查的是点到直线的距离，应熟练掌握垂直的特点。
【典例三】黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。
（1）裁判员会以（ ）脚落地点（ ）来确定她的立定跳远成绩。
（2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。
【分析】（1）应测跳远时起跑线与身体接触沙坑最后落脚点之间的垂直长度；
（2）垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。根据垂线段的性质，即可解答。
【详解】（1）裁判员会以右脚落地点C来确定她的立定跳远成绩。
（2）作图如下：
【分析】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。
考点二：平行四边形与梯形
【典例一】已知平行四边形的两条高分别长3厘米和5厘米，这个平行四边形的周长可能是（ ）厘米。

A．8 B．14 C．16 D．20
【分析】平行四边形的周长＝（较长边＋较短边）×2，观察图形发现平行四边形的较长边大于5cm，较短边大于3cm，据此解答即可。
【详解】（5＋3）×2
＝8×2
＝16（cm）
所以平行四边形的周长大于16cm。
故答案为：D
【分析】本题主要考查平行四边形的周长公式，要灵活运用。
【典例二】两个完全相同的梯形，上底长3cm，下底长5cm，高4cm，把它们拼成一个平行四边形，则这个平行四边形的底是( )cm，高是( )cm。
【分析】根据平行四边形和梯形的特点可知，所拼的平行四边形的底为（上底长＋下底长），高等于原来其中一个梯形的高，依此解答。
【详解】
3＋5＝8（cm），由此可知，这个平行四边形的底是8cm，高是4cm。
【分析】此题考查的是平面图形的拼接，应熟练掌握梯形、平行四边形的特点，以及它们的高的画法。
【典例三】按要求操作。
（1）在下面空白处把平行四边形画完整（大小自定）。
（2）画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。
（3）量出的度数并标明。
【分析】（1）根据平行四边形的特征，平行四边形的对边平行且相等可画出平行四边形；
（2）如下图过点A作线段AF交BC与F，线段AF把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形；
（3）利用量角器即可量出∠1的度数。
【详解】（1）画出的平行四边形如图；
（2）把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形，如图；
（3）经度量，∠1＝。
【分析】本题主要考查平行四边形的画法，图形划分以及用量角器度量角。
一、选择题
1．（2023秋·福建龙岩·四年级统考期末）看到下图，你想到了电动门、升降机都是利用了平行四边形（ ）的特点。

A．稳定性 B．易变形 C．应用性 D．有无数条高
2．（2021春·浙江金华·四年级统考期末）四边形、平行四边形、长方形、正方形之间的关系是（ ）。
A． B．
C．
3．（2021春·浙江温州·四年级统考期末）如图中等腰梯形的高可能是（ ）。
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
4．（2021秋·陕西渭南·四年级统考期末）四年级（2）班举办元旦晚会，将桌子摆成如图所示OC、OB的形状，静静要从A点出发，去BO桌面上拿糖果，走（ ）路线最快。
A．① B．② C．③ D．④
5．（2022秋·陕西西安·四年级统考期末）如图，点P是直线外的一点，点A，B，C在直线上，且PB的长度是点P到直线的距离，下列说法不正确的是（ ）。
A．线段PB是点P到这条直线的垂线段 B．线段AC的长是点A到直线PC的距离
C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短。 D．线段AP的长是点A到直线PC的距离
6．（2021秋·浙江湖州·四年级统考期末）如图是一个平面图形，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形。那么图中共有（ ）个梯形。

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋·江西吉安·四年级统考期末）在同一平面内，经过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（ ）条。
A．1 B．2 C．0 D．无数
8．（2023春·四年级统考期末）已知平行四边形的两条高分别长3厘米和5厘米，这个平行四边形的周长可能是（ ）厘米。

A．8 B．14 C．16 D．20
二、填空题
9．（2020秋·天津·四年级统考期末）跳远成绩是运动员落脚点到起跳线的距离。丁丁跳了一次后，裁判员给他试量了三次，分别是118厘米、116厘米、121厘米，从中找到了丁丁的跳远成绩，丁丁的跳远成绩是( )厘米。
10．（2022秋·江西吉安·四年级统考期末）四边形中，两组对边分别平行且相等的图形有( )( )和( )。
11．（2023秋·甘肃陇南·四年级统考期末）在如图所示的四边形中，和边①互相平行的是边( )，和边③互相垂直的是边( )。
12．（2021秋·浙江台州·四年级统考期末）下图中给出了平行四边形CD上的高是( )厘米。

13．（2023秋·辽宁鞍山·四年级统考期末）只有一组对边平行的四边形叫做( )。某单位大门安装的伸缩门应用的是平行四边形( )的特点。
14．（2023春·北京通州·四年级统考期末）下图的画框，上下两条边互相( )，相邻两条边互相( )。（在括号里填“平行”或“垂直”）

15．（2022秋·贵州安顺·四年级统考期末）如图中有( )个平行四边形，( )个梯形。
16．（2021秋·浙江台州·四年级统考期末）平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。
三、判断题
17．（2022秋·陕西渭南·四年级统考期末），图是一个平行四边形。( )
18．（2023秋·辽宁葫芦岛·四年级统考期末）只有一组对边平行的四边形是梯形。( )
19．（2020秋·天津·四年级统考期末）如下图，已知，则图中有2个梯形。( )
20．（2023秋·山西忻州·四年级统考期末）在同一平面内给一条直线画两条不同的垂线，这两条垂线一定互相平行。( )
四、作图题
21．（2023秋·陕西商洛·四年级统考期末）如图，一头牛在点A处，它口渴了要到河边去喝水，请你帮它设计一条到河边最短的路线，在图中画出来。

22．（2023秋·福建厦门·四年级校联考期末）爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画出最佳路线。

23．（2023秋·甘肃陇南·四年级统考期末）画出如图所示图形所标底边上的高。
24．（2023秋·甘肃陇南·四年级统考期末）过点A画一条射线，把此射线记作AB，以AB为一条边，画一个直角。
五、解答题
25．（2023秋·河南洛阳·四年级统考期末）体育课上进行立定跳远测评活动。如图（缩小版）是高航同学第一次跳远留下的脚印，本次成绩应测量哪段距离？请在图中画出来。
26．（2023秋·浙江绍兴·四年级统考期末）一块平行四边形的草地，已知相邻两条边
分别是25米、19米，要在它的外面围篱笆（接头处不算），篱笆长多少米？
27．（2022秋·浙江宁波·四年级统考期末）将一个平行四边形分割成两个完全相同的等腰梯形，如图所示。每个等腰梯形的周长是多少？
28．（2023秋·海南省直辖县级单位·四年级统考期末）一块菜地是一个等腰梯形，它的腰长7米，上底长12米，下底比上底长4米，如果在菜地四周围上篱笆，至少需要篱笆多少米？
29．（2023秋·贵州黔东南·四年级统考期末）
（1）量一量，上图∠1是（ ）度，是一个（ ）角。
（2）用上面方格图中给定的两条边作为平行四边形的两条邻边，先把平行四边形画完整，再过其中的一个顶点给这个平行四边形画一条高。
30．（2023秋·安徽黄山·四年级统考期末）按要求画图并回答问题。
（1）画出直线AB，画出射线BC。
（2）画出C点到直线AB的垂线。
（3）画好的图形中有哪几种角？
参考答案
1．B
【分析】根据平行四边形的易变形的特点，解答此题即可。
【详解】电动门、升降机都是利用了平行四边形易变形的特点。
故答案为：B
【分析】熟练掌握平行四边形的易变形的特点，是解答此题的关键。
2．B
【分析】长方形、正方形、平行四边形都是四边形，长方形和正方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形，依此选择即可。
【详解】根据分析可知，四边形、平行四边形、长方形、正方形之间的关系是：
故答案为：B
【分析】解答此题的关键是要熟练掌握四边形的分类及其关系。
3．A
【分析】图中等腰梯形的两条腰相等，长5cm。这个等腰梯形的高小于腰的长度，据此逐项分析解答。
【详解】A．4cm＜5cm，符合题意；
B．5cm＝5cm，不符合题意；
C．6cm＞5cm，不符合题意；
D．7cm＞5cm，不符合题意；
故答案为：A
【分析】本题考查等腰梯形高的认识，关键是明确梯形的高小于腰的长度。
4．B
【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；据此解答即可。
【详解】静静要从A点出发，去BO桌面上拿糖果，走②路线最快。
故答案为：B
【分析】熟悉垂线段的定义，是解答此题的关键。
5．B
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离；依此判断并选择即可。
【详解】A．线段PB是点P到这条直线的垂线段，即原说法正确。
B．线段AC的长＝线段AB的长度＋线段BC的长度，即原说法不正确。
C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短，即原说法正确。
D．线段AP的长是点A到直线PC的距离，即原说法正确。
故答案为：B
【分析】此题考查的是点到直线的距离，应熟练掌握垂直的特点。
6．C
【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。根据梯形的定义在图中不重不漏的找出所有梯形即可。
【详解】图中的梯形有：梯形ABED，梯形BGFE，梯形BCFE。所以图中共有3个梯形。
故答案为：C
【分析】本题主要考查组合图形的计数，知道梯形的定义是解答本题的关键。
7．A
【详解】在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，如下图：
故答案为：A
8．D
【分析】平行四边形的周长＝（较长边＋较短边）×2，观察图形发现平行四边形的较长边大于5cm，较短边大于3cm，据此解答即可。
【详解】（5＋3）×2
＝8×2
＝16（cm）
所以平行四边形的周长大于16cm。
故答案为：D
【分析】本题主要考查平行四边形的周长公式，要灵活运用。
9．116
【分析】在测量跳远成绩的时候，应该量从运动员身体最后点到起跳线的垂直距离比较准确；因为点到直线所有连线中，垂直线段短，即垂线段最短，因此把运动员的落脚点看作“点”，起跳线看作一条“直线”，依此解答。
【详解】116厘米＜118厘米＜121厘米，则丁丁的跳远成绩是116厘米。
【分析】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。
10． 长方形 正方形 平行四边形
【详解】平行四边形的两组对边分别平行且相等；长方形的两组对边分别平行且相等，四个角是直角；正方形的两组对边分别平行，四条边相等，四个角都是直角；如下图：
11． ③ ④
【分析】通过观察可知上面的图形为直角梯形，所以和边①互相平行的是边③，和边③互相垂直的是边④，由此解答即可。
【详解】和边①互相平行的是边③，和边③互相垂直的是边④。
【分析】此题考查了直角梯形的有关知识，结合垂直和平行知识解答即可。
12．10
【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底；由此可知。
【详解】平行四边形CD上的高等于AB边上的高，即平行四边形CD上的高是10厘米。
【分析】熟练掌握平行四边形的高及画法，是解答此题的关键。
13． 梯形 易变形
【分析】梯形只有一组对边平行。平行四边形的不稳定性又叫做易变形性，是指平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。据此解答。
【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。某单位大门安装的伸缩门应用的是平行四边形易变形的特点。
【分析】本题考查了梯形及平行四边形的特征，梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边平行。
14． 平行 垂直
【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；依此填空即可。
【详解】画框中，上下两条边互相平行，相邻两条边互相垂直。
【分析】熟练掌握平行与垂直的特点，是解答此题的关键。
15． 2 4
【分析】两组对边平行且相等的四边形是平行四边形。一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，据此分别数出对应图形的数量即可。
【详解】如图中有2个平行四边形，4个梯形。
【分析】此题主要考查了图形的计数，要按顺序分类计数，防止遗漏。
16． 无数 4
【分析】根据平行四边形、梯形的特征可知：平行四边形和梯形都有无数条高，上下底之间的距离就是平行四边形和梯形的高；据此解答。
【详解】根据分析：平行四边形和梯形都有无数条高，如图的梯形中，高为4厘米。
【分析】本题考查了平行四边形及梯形的特征。
17．×
【分析】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，中有两条边是曲线，不是四边形，所以也不是平行四边形，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，不是平行四边形。
故答案为：×
【分析】本题主要考查学生对平行四边形概念的掌握和灵活运用。
18．√
【详解】只有一组对边平行的四边形是梯形。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。
故答案为：√
19．×
【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；根据图示可知，单个的梯形有2个，由2个小梯形组成的大梯形有1个，依此计算并判断。
【详解】2＋1＝3（个）
已知，则图中有3个梯形。
故答案为：×
【分析】解答此题的关键是要熟练掌握梯形的特点。
20．√
【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，据此解答。
【详解】由分析可知，在同一平面内给一条直线画两条不同的垂线，这两条垂线一定互相平行，原题说法正确。
故答案为：√
【分析】本题主要考查了平行和垂直的性质，需熟练掌握。
21．见详解
【分析】把河岸看成一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题。
【详解】
【分析】此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用。
22．见详解
【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使煤气管道最短，则从幸福小区向煤气管道作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】
【分析】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。
23．图见详解
【分析】根据梯形高的意义，梯形两底间的距离叫做梯形的高，从梯形的上底选一个点，向对边作垂线，则个点到垂足的距离是梯形的高，梯形有无数条高。据此作图即可。
【详解】作图如下：
（答案不唯一）
【分析】此题考查的目的是理解掌握梯形高的意义及高的画法。
24．图见详解
【分析】根据题意，过点A画一条射线，然后根据角的画法，以AB为一条边，画一个直角即可。
【详解】作图如下：
【分析】本题考查了射线及角的画法知识，结合题意分析解答即可。
25．见详解
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，及跳远比赛的规则作出分析和解答即可。
【详解】画图如下：
答：本次成绩应测量图中垂线段的距离。
【分析】解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则。
26．88米
【分析】篱笆长度就是平行四边形的周长，平行四边形的周长＝一组邻边的和×2，把数据代入公式计算即可。
【详解】（25＋19）×2
＝44×2
＝88（米）
答：篱笆长88米。
【分析】此题主要考查平行四边形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
27．53厘米
【分析】观察上图：每个等腰梯形的腰长是14厘米，上底与下底的和是25厘米；等腰梯形的周长＝腰长＋腰长＋上底＋下底，代入数据即可解答。
【详解】14＋14＋25
＝28＋25
＝53（厘米）
答：每个等腰梯形的周长是53厘米。
【分析】熟练掌握等腰梯形的特征是解答此题的关键。
28．42米
【分析】等腰梯形的两腰相等，根据题意可知，上底长＋4米＝下底长，上底长＋下底长＋腰长×2＝等腰梯形的周长，依此计算并解答。
【详解】12＋4＝16（米）
12＋16＋7×2
＝12＋16＋14
＝28＋14
＝42（米）
答：如果在菜地四周围上篱笆，至少需要篱笆42米。
【分析】此题考查的是等腰梯形的周长的计算，应熟练掌握等腰梯形的特点。
29．（1）135；钝
（2）见详解
【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。再判断这个角的类型。
（2）平行四边形的两组对边平行，从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此画图即可。
【详解】（1）量一量，上图∠1是135度，是一个钝角。
（2）
【分析】用量角器画角时注意两重合，即量角器的中心和射线的端点重合，0度刻度线和射线重合。熟练掌握平行四边形高的画法。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。
30．（1）（2）图见详解过程
（3）直角、锐角、钝角、平角
【分析】（1）直线没有端点，两边可无限延长，不能度量，连接AB并向两端延长，即可画出直线AB；射线只有一端有端点，另一端可无限延长，不能度量，连接BC并向C点的一端延长，即可画出射线BC；
（2）把三角形板的一直角边靠紧直线AB，沿直线AB滑动三角形板，当另一直角边经过C点时，没这条直角边画直线，所画直线就是过C点的直线AB的垂线；
（3）根据锐角、直角、钝角的定义可知，锐角是大于0度小于90度的角；直角是等于90度的角；钝角是大于90度小于180度的角；平角是等于180度的角；据此解答即可。
【详解】（1）（2）作图如下：
（3）画好的图形中有直角、锐角、钝角、平角。
【分析】本题主要考查直线、射线的含义和特点，过直线外一点作直线的垂线的方法以及角的分类，结合题意分析解答即可。

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