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第10讲 平行与垂直
四年级上册数学知识点汇总与错题专练
（易错梳理+易错举例+易错题演练）
【易错梳理】
1、 平行。
在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。a与b互相平行，记作a//b，读作a平行于b。
2、垂直。
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。
3、用三角尺画已知直线的垂线的方法。
先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再沿着另一条直角边画一条直线，就能画出已知直线的垂线。
温馨提示：可以借助三角尺或量角器来画垂线。
4、点到直线的距离。
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这一点到直线的距离。
5、画长方形的方法。
先画出长方形的长，再以这条长的两个端点为垂足，向同一方向画两条长度相等且与这条长垂直的线段作为长方形的两条宽，最后把这两条宽的另外两个端点连接起来画出长方形的另外一条长。
6、无论是平行还是垂直，都是指在同一个平面内两条直线的位置关系。
7、只有两条直线相交成直角时，才能说这两条直线互相垂直。
8、把直线外一点与直线上任意一点的连线误认为是点到直线的距离。
9、用三角尺画垂线时，要沿直角边画线。
10、画长方形时，先画出长方形的长（或宽），再用画垂线的方法画出长方形。
【易错举例】
易错点1：对平行的概念理解不透彻。
判断：在同一平面内不相交的两条线叫平行线。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】本题错在对线的认识，平行是针对直线而言，不能是曲线，如，就不能算是平行线。因此说，在同一平面内不相交的两条直线叫平行线。
【正确解答】错误
易错点2：对垂直的定义理解不全面。
判断：两条直线相交，它们就互相垂直。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】本题考查学生的是相交和垂直的定义，垂直是相交的特殊形式。两条直线垂直必须具备的两个条件是：①相交；②成直角。而题中只说两条直线相交，并未说成直角，所以表述错误。
【正确解答】错误
【易错题演练】
一、选择题
1．下列图中，直线a与直线b互相垂直的是（ ）。
A． B． C．
2．在运动会中，小明跳远落脚点是A，线段（ ）的长度表示他的成绩比较合理。
A．BD B．AB C．AC D．AD
3．在同一平面内，经过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（ ）条。
A．1 B．2 C．0 D．无数
4．在同一平面内，如果直线a⊥b，直线b∥c，那么直线a和c（ ）。
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交
5．两条直线相交得4个角，如果其中一个角是直角，那么另外3个角一定是（ ）。
A．直角 B．锐角 C．钝角
6．如下图，将这幅画调正所应用的数学原理是（ ）。
A．从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
B．与平行线垂直的所有线段的长度都相等。
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
D．有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
二、填空题
7．文文和明明外出游玩自觉遵守交通规则，如下图所示( )过马路的路程更短。
8．李村长想挖一条水渠将河水引到菜地，有如图的三种方案，工人按水渠的长度收费。李村长基于费用最后选择的方案是( )，这是因为从直线外一点到这条直线所画的( )最短。
9．下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。
两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两条直线是相交的有( )。
10．两条互相垂直的直线可以组成( )个直角，这几个直角拼成一个( )角。
11．图中，在之间作一条垂线段，垂线段长是6cm。与之间的距离是( )cm。

12．下面这排字母中，只有互相垂直线段的字母是( )；没有互相垂直线段的字母是( )；既有互相平行，又有互相垂直的线段的字母是( )。
三、判断题
13．同一平面内，两条直线不互相平行就互相垂直。( )
14．同一平面内有直线a和b，且直线a与直线b互相平行，记作a∥b。( )
15．把一张正方形的纸折两次，可以得到互相垂直的两条折痕。( )
16．在两条平行线之间画10条垂线，其中第7条长7cm，那么第9条长9cm。( )
四、作图题
17．（1）画出直线。
（2）画出射线。
（3）过点画出直线的垂线。
五、解答题
18．摆一摆。
（1）把两根小棒都摆成和第三根小棒互相平行，这两根小棒互相平行吗？
（2）把两根小棒都摆成和第三根小棒互相垂直，这两根小棒有什么关系？
19．下图中，a∥b，量一量∠1、∠2的度数，你能发现什么？

20．丹丹如果从A点穿过马路，怎样走路线最短？为什么？把最短的路出来。
21．如图是一组平行线，请你在一条直线上任意选几个点，过这些点分别向另一条直线画垂线，量一量点到垂足间的距离，有什么发现吗？把你的发现写下来。
我的发现：
22．黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。
（1）裁判员会以（ ）脚落地点（ ）来确定她的立定跳远成绩。
（2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。
23．桃花村在荷沙公路南侧。为了方便村民，村里决定从A处修一条路通往荷沙公路，怎样修路线最近？请你画出这条最近的路线。
24．溺水是孩子的头号杀手，防溺水教育刻不容缓。一个小孩落水后浮在水面上动弹不了（如下图），救生员选样尽快将小孩救上岸？画出救生员的救生路线，并说明理由。
我这样画的理由是： 。
参考答案
1．B
【分析】如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，只有B图是相交成直角，据此解答即可。
【详解】下列图中，直线a与直线b互相垂直的是。
故答案为：B
【分析】本题考查的是垂直的定义。
2．C
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离，这个点与垂足之间的线段叫做垂线段；跳远量的是起跳线到沙坑落地点的垂线距离，据此解答。
【详解】根据分析：线段AC的长度表示他的成绩比较合理。
故答案为：C
【分析】掌握垂线段的概念是解答本题的关键。
3．A
【详解】在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，如下图：
故答案为：A
4．B
【分析】
根据垂直和平行的性质可知，同一平面内，如果直线a⊥b，直线b∥c，那么直线a⊥c。据此解答。
【详解】在同一平面内，如果直线a⊥b，直线b∥c，那么直线a和c互相垂直。
故答案为：B
【分析】熟练掌握平行和垂直的定义是解决本题的关键，画图能帮助学生更好的理解。
5．A
【分析】等于90°的角是直角，因此先画一条直线，然后过这条直线上的任意一个点作这条直线的垂线，即可得到另一条直线，1平角是180°，依此解答。
【详解】根据分析，画图如下：
180°－90°＝90°，由此可知，两条直线相交得4个角，如果其中一个角是直角，那么另外3个角一定是直角。
故答案为：A
【分析】解答此题的关键是熟练掌握垂直的特点，以及直角与平角的特点。
6．B
【分析】要想将这幅画调正，则画的长边应与横杆互相平行。悬挂的两条绳子分别与横杆、画的长边互相垂直。根据与平行线垂直的所有线段的长度都相等，只需要这两条绳子长度相等即可。
【详解】由分析得：
将这幅画调正所应用的数学原理是与平行线垂直的所有线段的长度都相等。
故答案为：B
【分析】本题考查平行和垂直的性质，需熟练掌握。
7．明明
【分析】要走过人行横道，把人行横道的另一端看成一条直线，根据点到直线的距离可知，点到直线的距离，垂线段最短。据此解答。
【详解】由分析可知，文文和明明外出游玩走，明明过马路走的路程更短。
【分析】本题主要考查点到直线的距离，属于基础知识，要熟练掌握。
8． b 垂直线段
【分析】根据“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短”进行解答即可。
【详解】观察图中三种方案，发现b方案是菜地到河边的垂直线段，根据分析可知，李村长基于费用最后选择的方案是b，这是因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【分析】本题主要考查点到直线的距离，属于基础知识，要熟练掌握。
9． （2）、（4） （3） （1）、（3）
【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；在同一平面内，两条直线无限延长后相交于一点，则这两条直线相交，依此填空。
【详解】根据分析可知，两条直线是互相平行的有（2）、（4）；
两条直线是互相垂直的有（3）；
两条直线是相交的有（1）、（3）。
【分析】熟练掌握平行、垂直、相交的特点，是解答此题的关键。
10． 4 周
【分析】在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，如果同一平面内的这样的两条直线不平行，说明它们一定相交。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，1周角＝360度＝4直角。
【详解】
两条互相垂直的直线可以组成（4）个直角，这几个直角拼成一个（周）角。
【分析】两条直线互相垂直时形成四个直角，任意相邻的两个直角组成一个平角；4个直角拼成一个周角。
11．6
【分析】平行线的特征：两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离；平行线之间的距离处处相等；据此解答。
【详解】根据分析：在之间作一条垂线段，垂线段长是6cm。与之间的距离是6cm。
【分析】本题考查的是对平行概念的认识，和对垂线段的认识。
12． L Z、X E、H
【分析】在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；依此选择即可。
【详解】根据分析可知，只有互相垂直线段的字母是：L；
没有互相垂直线段的字母是：Z、X；
既有互相平行，又有互相垂直的线段的字母是：E、H。
【分析】熟练掌握平行与垂直的特点，是解答此题的关键。
13．×
【分析】同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交。据此解答。
【详解】在同一平面内，两条直线只有相交和平行两种位置关系，垂直是一种特殊的相交；
故答案为：×
【分析】此题主要考查在同一平面内，两条直线的位置关系。
14．√
【分析】同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。如下图a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。
【详解】根据分析可知，同一平面内有直线a和b，且直线a与直线b互相平行，记作a∥b，原说法正确。
故答案为：√
【分析】熟练掌握平行的特征与性质是解答本题的关键。
15．√
【分析】把一张正方形的纸沿着一个方向对折两次，能得到互相平行的折痕，若沿着不同的方向对折，则可以得到互相垂直的折痕。
【详解】根据分析这句话是对的。
故答案为：√
【分析】两条直线相交所成的4个角是直角，那么这两条直线互相垂直。
16．×
【分析】平行线的特征：两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离；平行线之间的距离处处相等；据此解答。
【详解】根据分析：两条平行线之间的10条垂线长度相等。
故答案为：×
【分析】掌握平行线之间的垂线距离处处相等是解答本题的关键。
17．见详解
【分析】直线没有端点，两端可以无限延伸，因此过点A和点B用直尺画一条直的线，即可得到直线AB；射线只有一个端点，另一端可以无限延伸，因此以点B为端点，过点C画一条直的线，即可得到射线BC；过直线外一点画直线的垂线：把三角板的一直角边紧靠直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过直线外的那一点时，沿这条直角边画的直线就是过该点画的直线的垂线。
【详解】经过分析，画图如下：
【分析】熟练掌握直线、射线和垂线的画法是解答本题的关键。
18．（1）画图见详解；互相平行；
（2）画图见详解；互相平行；
【分析】（1）（2）同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；依此画图即可。
【详解】（1）摆放如下：
由此可知，把两根小棒都摆成和第三根小棒互相平行，这两根小棒互相平行。
（2）摆放如下：
由此可知，把两根小棒都摆成和第三根小棒互相垂直，这两根小棒互相平行。
【分析】熟练掌握平行与垂直的特点，是解答此题的关键。
19．∠1＝∠2＝40°；一条直线和互相平行的两条直线相交时，所组成的同一个方向上的两个角相等；验证见详解
【分析】先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量并根据测量出的结果进行解答即可。
【详解】经过测量可知，∠1＝∠2＝40°，我发现：一条直线和互相平行的两条直线相交时，所组成的同一个方向上的两个角相等。
验证：

∠3＝∠4＝140°。
【分析】解答此题的关键是要熟练掌握角的度量方法，以及平行的特点。
20．画图见详解；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。
过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。
【详解】画图如下：
理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【分析】此题考查的是过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握垂直的特点，是解答此题的关键。
21．图见详解过程
平行线间的距离处处相等（答案不唯一）
【分析】在第一条直线上先选两点M、N，把三角板的一直角边靠紧第一（或二）条直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点M时，沿这条直角边画直线，这条直线就是这两条平行线的垂线；用同样的方法即过点N画出这两条平行线的垂线。
同一条垂线与这两条平行线的垂足间的线段，就是这两条平行线间的距离。通过度量，可以发现平行线间的距离处处相等。
【详解】根据分析，作图如下：
（画法不唯一）
我的发现：平行线间的距离处处相等。（答案不唯一）
【分析】求已知直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线，三角板的正确、熟练使用是关键。
22．（1）右；C
（2）图见详解过程
【分析】（1）应测跳远时起跑线与身体接触沙坑最后落脚点之间的垂直长度；
（2）垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。根据垂线段的性质，即可解答。
【详解】（1）裁判员会以右脚落地点C来确定她的立定跳远成绩。
（2）作图如下：
【分析】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。
23．过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。图见详解
【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。
【详解】过A点作公路这条直线的垂线段，如下：
答：过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。
【分析】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。
24．见详解
【分析】根据两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。由此画出即可。
【详解】由分析得：
理由是：两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。
【分析】此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。

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