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专题4.4 平行四边形的判定定理
1．掌握平行四边形的判定条件；
2．掌握平行四边形的性质定理；
3、根据平行四边形的性质与判定综合来证明；
知识点01 添一个条件成为平行四边形
【知识点】
1．平行四边形的判定 ：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
符号语言：∵，，∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB=DC，AD=BC ∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵，AB=DC ∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB ∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言：∵OA=OC，OB=OD ∴四边行ABCD是平行四边形．
【典型例题】
例1
1．在中，点D，E分别是，上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件后，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
例2
2．已知：四边形中，，要使四边形为平行四边形，需添加一个条件是： （只需填一个你认为正确的条件即可）．
例3
3．如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA．
(1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个）
(2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形．
【即学即练】
4．在四边形中，，分别添加下列条件：①；，其中能使四边形成为平行四边形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．如图，在四边形ABCD中，ADBC且AD＝9cm，BC＝7cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，Q运动到B处停止运动， 秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程．
知识点02 求与已知三点组成平行四边形的个数
【知识点】
注意要分情况讨论，将已知的一条边当做平行四边形的一条边或对角线来理解即可；
【典型例题】
例1
7．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
例2
8．在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是 ．
例3
9．如图，在平面直角坐标系内，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三点为顶点画平行四边形．
(1)可以画多少个平行四边形？
(2)写出每个平行四边形第四个顶点D的坐标．
【即学即练】
10．以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作(　　)
A．0个或3个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为 ．
12．如图，平面直角坐标系中的网格由边长为1的小正方形构成．中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
(1)边BC的长为 ；
(2)的形状为 三角形；
(3)若以点A，B，C及点D为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合条件的平行四边形，并直接写出点D的坐标为 ．
知识点03 利用平行四边形的性质与判定进行求解
【知识点】
1．平行四边形的性质：
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【典型例题】
例1
13．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角互补
C．有两组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线平分每一组对角
例2
14．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，若小正方形的边长为1，则的长为 ．
例3
15．如图，在平面直角坐标系中，轴，，且，，，求四边形的面积．
【即学即练】
16．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，．点对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）．
A．96 B． C．192 D．
17．如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则的长度等于 ．
18．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．
(1)求证：；
(2)若平行四边形的面积为，，直接写出线段的长为 ___________．
知识点04 平行四边形的性质与判定的应用
【典型例题】
例1
19．如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
例2
20．如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
例3
21．如图 ，在8×8的正方形网格中 ，三角形和四边形的所有顶点都在格点上．请你仅用一把无刻度的直尺按要求作图 ，并保留作图痕迹．
(1)在图1中找一个格点D ，使四边形ABCD是平行四边形．
(2)在图2中作一个平行四边形 ，使其面积是四边形面积的2倍 ，且顶点，，，落在平行四边形的边或顶点上．
【即学即练】
22．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
23．如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为 ．
24．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的风网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度．
(1)使三边的长度都是有理数的直角三角形．
(2)使三边的长度都是无理数的直角三角形．
(3)使一边长为且面积为6的平行四边形．
题组A 基础过关练
25．如图，已知，，与交于点O，则图中全等三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
26．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
27．下列说法不正确的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角相等，邻角互补
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对角互补的四边形是平行四边形
28．如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（ ）
A．， B．，
C．， D．，
29．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ．
30．如图，在四边形中，若 ， ，则四边形为平行四边形．
31．下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是 将命题的序号填上即可．
32．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=13时，线段BC的长为 ．
33．已知四边形，，，四边形是平行四边形吗？
34．如图，在中，，点 ， 分别是 ， 的中点，延长 至点 ，使，连接 、 、 ，求证：四边形 是平行四边形．
题组B 能力提升练
35．如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
36．如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形为平行四边形，下列判断正确的是( )
甲：，；乙：
A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以
C．两人都可以 D．两人都不可以
37．如图所示的中，为上一点．在上取一点，在上取一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）连接，作的中垂线分别交、于、点，点、即为所求．
（乙）过分别作与、平行的直线交、于点，，点、即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两人皆错误 D．两人皆正确
38．如图，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
39．命题“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是： ，它是 命题．
40．把一张长方形纸按如图所示折叠，所得的四边形是 四边形．
41．如图，在中，过对角线上一点P作，且，则 ．
42．如图，平分，交于，于点，若，，则的长为 ．
43．如图，在平行四边形中，点E，F分别是的中点．
求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
44．如图，在四边形中，，与交于点E，点E是的中点，延长到点F，使．连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
题组C 培优拔尖练
45．如图，在中，的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
46．如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）．
A．24 B．17 C．18 D．10
47．如图，中，，，．作出共于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
48．如图，在中，以各边为边分别作三个等边三角形，，，若，，，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
49．两条宽为纸条如图交叉以角重叠在一起，则重叠部分的面积为
50．在中，M是的中点，，则 ．
51．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒．
52．某风力发电设备如图1所示，其示意图如图2，已知三个叶片均匀地分布在支点O上，垂直地面．当光线与地面的夹角为，叶片与光线平行时，测得叶片影子的长为12米，则叶片的长为 米；当转动过程中叶片OB垂直光线（这片刻时间忽略不计，光线与地面的夹角还是60°），则叶片影子的长度是 米．
53．已知：如图，中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求：的度数和的长．
54．如图，是的角平分线，点，分别在，上，且，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求平行四边形的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故A不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故B不符合题意；
C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故C符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
2．（答案不唯一）
【分析】由于，根据同一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得添加即可．
【详解】添加的．
理由：∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形（同一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题难度不大，注意掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．
3．(1)BE＝DF；
(2)见解析
【分析】（1）本题答案不唯一，可以添加BE=DF；
（2）根据平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，然后求出EO＝FO，再利用平行四边形判定定理证明．
【详解】（1）添加BE＝DF，使四边形AECF是平行四边形；
故答案为：BE＝DF；
（2）证明：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
4．B
【分析】由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可．
【详解】解：①，，
四边形是平行四边形；
由，，不能判定四边形是平行四边形；
③，，
四边形是平行四边形；
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
⑤，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
其中能使四边形成为平行四边形的条件有，共个，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．或
【分析】分别利用①当BQ=AP时以及②当CQ=PD时，列方程得出答案．
【详解】解：设点P，Q运动的时间为ts.依题意得：CQ=2t,BQ=7-2t,AP=t,PD=9-t.
∵ADBC，
①当BQ=AP时，四边形APQB是平行四边形．
即7-2t=t,
解得t=．
②当CQ=PD时，
四边形CQPD是平行四边形，即2t=9-t,
解得：t=3．
所以经过秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
故答案是：或3．
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
6．①，证明见解析
【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题．
【详解】①或②．
添加①BE＝DF，理由如下：
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
添加②AE∥CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
7．C
【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解.
【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形.
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线.
8．或或
【分析】分两种情况：①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的坐标．
【详解】解：①当为平行四边形的边时，，
∵，，，
∴点C坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，，
故答案为：或或．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解．
9．(1)可以画3个平行四边形；
(2)（0，5）或（6，5）或（2， 3）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，将平行四边形画出来即可；
（2）根据所作平行四边形可直接得出点D的坐标．
【详解】（1）解：可以画3个平行四边形，如图所示：
（2）由图可得：平行四边形第四个顶点D的坐标为（0，5）或（6，5）或（2， 3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．A
【分析】连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形．
【详解】解：①当A、B、C三点共线时，以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，不能作形状不同的平行四边形；
②已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，
分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，
可构成的平行四边形有三个：ACBD，ACEB，ABCF；
综上所述，可以作0个或3个平行四边形，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．
11．（3，6），（-1，-2），（7，2）
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2），
故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况．
12．(1)
(2)直角
(3)图见解析，（0，4）或或，
【分析】（1）利用勾股定理求出线段长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）画出图形，分三种情况，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：，
，
，
∴，
∴的形状为直角三角形，
故答案为：直角．
（3）解：如图：
当AC为对角线时，四边形ABCD是平行四边形，点D的坐标为(-4，2)；
当AB为对角线时，四边形ACBD是平行四边形，点D的坐标为(0，4)；
当BC为对角线时，四边形ABDC是平行四边形，点D的坐标为(4，-4)；
综上所述，D的坐标为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形性质、勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
13．C
【分析】由平行四边形的判定与性质分别对各个说法进行判断即可．
【详解】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B．平行四边形的对角相等，
∴B错误，不符合题意；
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确，符合题意；
D．平行四边形的对角线互相平分但不一定平分每一组对角，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键．
14．3
【分析】连接，证明四边形是平行四边形得，由勾股定理得，从而有，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，进而可得．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．28
【分析】由，，得到轴，，进而证明四边形为平行四边形，再由，，得到与的距离为，由此利用平行四边形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴轴，，
∵轴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴与的距离为，
∴四边形的面积．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
16．B
【分析】根据勾股定理出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：在中，，
则，
由平移的性质可知：， ，
四边形为平行四边形，
点对应直尺的刻度为12，点对应直尺的刻度为0，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，得出四边形为平行四边形是解题的关键．
17．3
【分析】通过证明四边形是平行四边形，即可得出．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
18．(1)见解析；
(2)3．
【分析】（1）直接根据已知条件，利用正方形和平行四边形的性质求解即可．
（2）由平行四边形的面积公式求出高，然后即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即；
（2）解：平行四边形的面积为，，四边形为正方形，
，，，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并能灵活运用．
19．C
【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
20．4
【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求．
共能作出4个平行四边形．
故答案为：4．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形．
（2）利用数形结合的思想解决问题，画出面积为18的平行四边形即可．
【详解】（1）如图，点D即为所求．
（2）连接BD，过点A、C作BD的平行线，如图，平行四边形AMNG即为所求．
【点睛】本题考查格点作图，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
22．A
【分析】已知AC和BD是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即AO＝CO，BO＝DO）的四边形是平行四边形．
【详解】解：由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
23．
【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，然后确定四边形ABCD为平行四边形，从而根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，
由题意，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AE⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠AEB=90°，∠BAE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
由题意，AE=AF=4，
∴AB=4，
∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法，理解题中的实际意义是解题关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图1中，即为所求作．
AB=4，BC=3，AC==5，
故△ABC符合要求；
（2）解：如图2中，即为所求作．
AB=，AC=，BC=，
故△ABC符合要求；
（3）解：如图，四边形即为所求作．
∵AD=BC=2，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD=，
，
故四边形ABCD符合要求；
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握利用勾股定理进行网格作图是解题的关键．
25．D
【分析】由题意根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴共有四对．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定方法等基本知识．
26．B
【分析】作出图形，结合图形进行分析可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，
将向左平移各单位得到，
此时；
将向右平移各单位得到；
此时；
将先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到，
此时；
综上所述，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移；解题的关键是通过平移得到平行四边形．
27．D
【分析】由平行四边形的判定与性质，依次判断即可．
【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角相等的四边形是平行四边形，所以D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
28．D
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
29．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可．
【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木，
由题意，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可证，四边形等均为平行四边形，
∴
∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了，
∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
30． ## ##
【分析】利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”分析求解即可．
【详解】解：当，时，
，，
所以此时四边形为平行四边形．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
31．②③④
【分析】根据平行四边形的判定方法对各选项分别进行判断．
【详解】解：一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以正确；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以正确．
故答案为．
【点睛】本题考查了命题、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
32．13
【分析】由条件可知ABCD，ADBC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC．
【详解】解：由条件可知ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=13．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形 平行四边形，②两组对边分别相等的四边形 平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形 平行四边形，④两组对角分别相等的四边形 平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形 平行四边形．
33．四边形是平行四边形，见解析
【分析】由可证得结合，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得结论
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
答：四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
34．证明见解析
【分析】三角形的中位线平行且等于底边的一半， ，可以求出 与 的关系，即可证明四边形 是平行四边形．
【详解】证明：∵在 中点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ 是的中位线，即，，
∵， ， ， 共线，
∴，．
故四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判断．熟练掌握平行四边形判定方法是解题的关键．
35．A
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可解决问题．
【详解】解：A、根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，，四边形内角和为，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
36．B
【分析】甲可以按照举例子来判断，乙根据对角相等来判断即可．
【详解】解：，，四边形为平行四边形，也可能是等腰梯形，故甲不可以．
，
，，
符合两组对角分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，所以乙可以．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．
37．D
【分析】甲的做法根据垂直平分线的性质可得，结合公共边，再利用即可证明三角形全等，乙的做法根据对边分别平行的四边形为平行四边形，即可得知，结合公共边，再利用即可证明三角形全等，故可得出结论．
【详解】解：如图1，
垂直平分，
，
又，
，
故甲的做法正确；
如图2，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
故乙的做法正确，
故选：D．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学的知识解决问题．
38．B
【分析】先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了平行线的性质．
39． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 真
【分析】将原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题，根据平行四边形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形；
根据平行四边形的判定，知该逆命题是真命题．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，真．
【点睛】本题考查逆命题，平行四边形的判定．熟练掌握逆命题的定义，以及平行四边形的判定方法，是解题的关键．
40．平行
【分析】长方形对边平行，有；由折叠知根据“有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”作出判断．
【详解】解：纸片为长方形，
∴．
∴，
由叠法知，
．
∴，
∴，
是平行四边形．
故答案为：平行．
【点睛】此题考查了平行四边形的判断，折叠的性质，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
41．2
【分析】根据，可得四边形为平行四边形，从而得到，同理，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理，
∴，
即．
∵，
∴，
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
42．
【分析】根据平行，角平分线的性质，可知，过点作于，在中，，证明四边形是平行四边形，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵，平分，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，平行四边性的判定和性质的综合，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，平行四边性的判定和性质是解题的关键．
43．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得，又由点E，F分别是的中点，得到，即可判定；
（2）由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，又由，即可证得．根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
44．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据中点的定义和平行线的性质可得、，然后通过证明即可得到结论；
（2）先证四边形是平行四边形可得，进而得到，最后结合即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握相关判定和性质定理是解答本题的关键．
45．C
【分析】先证明图中的平行四边形，再根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵是平行四边形的对角线，
∴，
∵是平行四边形的对角线，
∴．
∴，即，
∴，
同理．
即：，，．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个面积相等的三角形．
46．C
【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，
∵F是的边上的点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算．
47．D
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，继而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵中，，，．
∴,,
∴,
∵作出共于点A成中心对称的，
∴,，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形是平行四边形是解题的关键．
48．B
【分析】由，得出，则①正确；由等边三角形的性质得，则，由证得，得，同理，得，得出四边形是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得，则③正确；，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果．
【详解】解：，
，
，
，故①正确；
，都是等边三角形，
，
又，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③正确；
，
过点作于点，
，
故④不正确；
正确的个数是3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
49．
【分析】过点A作于F，过点C作于E，证明四边形是平行四边形，然后求出的长，即可解决问题．
【详解】如图，过点A作于F，过点C作于E，
由题意可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即重叠四边形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．
50．##90度
【分析】根据平行四边形的性质和已知推出，，，得到平行四边形，推出，然后推出，，由此即可求解．
【详解】解：取的中点F，连接，
∵平行四边形，，M为的中点，
∴，，
∴，
∴，，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，能求出是解此题的关键．
51．或
【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】设点P运动了t秒，
∴，，，，
①当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴；
②当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴，
综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
52． 6
【分析】延长交延长交于点E，通过证明四边形为平行四边形，为等边三角形，即可求解；根据题意画出叶片OB垂直光线的图形，延长交于点D，过点P作于点F，通过证明四边形为平行四边形，得出，最后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：延长交延长交于点E，
∵，
∴，
∵与光线平行，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，则，
∴，解得，
如图：当垂直光线时，延长交于点D，过点P作于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，即，
解得．
故答案为：①6，②．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关定理内容，正确作出辅助线求解．
53．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）由平行四边形的性质即可证出；
（2）根据题意可判断出是的中位线，得出即可求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形．
∴，
∵ ．
∵，．
∴四边形是平行四边形．
∴ ．
（2）①∵四边形是平行四边形，且 ．
∴四边形是菱形
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
②
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，，熟练掌握平行四边形对边平行且相等，菱形的对角线垂直平分是解题的关键．
54．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由是的角平分线，，易证得是等腰三角形，且；又由，可得，即可证得四边形是平行四边形；
（2）首先过点作于点，过点作于点，由，是的平分线，可求得的长，继而求得的长，则可求得答案．
【详解】（1）解：证明：是的角平分线，
，
，
，
，
；
，
；
四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，过点作于点，
，是的平分线，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
，
四边形的面积为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握辅助线的作法．
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