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专题4.5 三角形的中位线
1.掌握三角形的中位线定理；
2.根据三角形的中位线定理来证明线段、角和面积；
3、掌握三角形中位线的应用；
知识点01 与三角形中位线有关的求解问题
【知识点】
三角形中线的概念和性质
连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线平行且等于第三边的一半．
三角形的中位线与中线的区别
区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点．
联系:三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分．
【典例例题】
1．如图，已知平行四边形中，M，N分别是上的点，E，F分别是的中点，当M在上从A向D移动而N不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
2．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于 ．
3．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【即学即练】
4．如图，四边形中，与不平行，，分别是、的中点，，，则的长可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点，其中点不与点重合，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ．
6．（1）回顾定理：如图1，在中，是的中位线．那么与的关系有___________．
（2）运用定理：如图2，在四边形中，，，点F为的中点，点E为的中点．若，，求的长．
知识点02 三角形的中位线与三角形面积问题
【典型例题】
7．如图，是的中线，点是的中点，若的面积为24cm2，则的面积为（　　）
A．8cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm2
8．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于 ．
9．如图，在中，点为边的中点，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【即学即练】
10．已知：如图中，点、、分别在三边上，是的中点，，，交于一点，，，，则的面积是（ ）．
A．25 B．30 C．35 D．40
11．如图，三边的中线，，的公共点为G，且，若，则图中阴影部分的面积是 ．
12．如图，点A、B、C是4× 4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，在AC上找一点M，使；
（2）在图2中，在△ABC 内部（不含边界）找一点N，使．
知识点03 与三角形中位线有关的证明
【典型例题】
13．已知四边形是平行四边形，对角线、交于点O，E是的中点，以下说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形周长为，则的长为 ．
15．如图，等边的边长是4，D、E分别为、的中点，过E点作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形平行四边形；
(2)求的长．
【即学即练】
16．已知：如图所示：点D，E分别是的边的中点．
求证：，且．
证明：延长到点F，使EF＝DE，连接．∵，∴四边形是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴；②．即；③四边形是平行四边形；④，且．则正确的证明顺序应是（　　）
A．①→③→②→④ B．①→③→④→② C．②→③→①→④ D．②→③→④→①
17．如图，在中，，，，、、分别为、、中点，连接、，则四边形的周长是 ．
18．如图，在中，点是对角线，的交点，点是的中点，点在的延长线上，且，连接，．求证：四边形是平行四边形．
知识点04 三角形中位线的实际应用
【典型例题】
19．如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（ ）
A．36米 B．24米 C．12米 D．6米
20．某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量，如图所示，在地面上取一点，使到、两点均可直接到达，测量找到和的中点、，测得的长为1800米，则隧道的长度为 米．
21．如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出的中点M，N，并测出的长，如果M，N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你的理由．
【即学即练】
22．如图，在平坦的地面上，为测量位于水塘旁的两点，间的距离，先确定一点，分别取，的中点，，量得m，则，之间的距离是（　　）
A．20m B．40m C．80m D．100m
23．如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ．
24．如图，四边形ABCD中，，点E是BC的中点．请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写作法）
(1)在图1中，过点E作四边形ABCD的高；
(2)在图2中，作的中位线．
题组A 基础过关练
25．如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，点D，E，F分别是各边的中点，连接．若的周长为10，则的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
28．如图所示，已知的周长为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，点，分别为，边上的中点，若，则的长为 ．
30．如图，两点被一座山隔开，分别是中点，测量的长度为30米，那么的长度为 米．

31．如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为 ．
32．如图，在四边形中，，，E，F，M分别为边，和对角线的中点．连接，，则 ．
33．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
34．已知：在中，D，E，F分别是边的中点．
求证：四边形的周长等于．
题组B 能力提升练
35．在中，D、E分别是、的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
36．如图，在中，，点，分别是，中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
37．如图，点A、B为定点，定直线，P是l上的一个动点，点M、N分别是、的中点，对下列选项：①线段的长；②的周长；③的面积；④直线，之间的距离：⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③⑤ B．②⑤ C．①③④ D．⑤
38．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，F是边的中点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
39．如图，在中，，动点在边上从点A开始向终点运动，则线段的中点从开始到停止所经过的路线长为 cm．
40．如图，是的中位线，平分，交于，若，则 ．
41．如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连结．若，，则
42．如图，在中，D、E分别是的中点，，F是线段上一点，连接．若，则的长度是 ．
43．如图，，，D，E分别为，的中点，，点F在的延长线上，．
(1)求的长；
(2)求四边形的周长．
44．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的度数．
题组C 培优拔尖练
45．如图，在中，，分别是的中点，是上一点，，连接，若，则的长度为（ ）

A．10 B．12 C．13 D．16
46．如图，在中，分别为的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
47．如图，在中，，M、N分别是的中点，延长至点D，使．连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
48．如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
49．如图，在 中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，的面积是，则的面积为 ．
50．如图，在中，M是的中点，平分，，若，，则的长为 ．
51．图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中为门槛宽度．
(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ．
(2)若双门间隙的距离为寸，点和点距离都为尺(尺寸)，则门槛宽度是 寸．
52．如图，为等边三角形，，于点，为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边三角形，与交于点，连接，为的中点．连接，则线段的长为 ．
53．如图，在中，平分，于点，点是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图2，请直接写出线段、、的数量关系： ．
54．问题情景：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，点，分别是，的中点，连接．
(1)如图（1），当点在上，且点和点恰好重合时，探索与之间的数量关系，并加以证明．
(2)如图（2），当点在上，点在外部时，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得到，进而得到答案．
【详解】解：连接，
∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点N不动，
∴当M在上从A向D移动时，线段的长不改变，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形中位线的判定和性质定理，熟记三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
2．2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵点F是的中点，
∴，
∵中边上的高与中边上的高相等，
∴，
同理，∵E是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴即阴影部分图形的面积为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查利用中线的性质求三角形的面积，解题的关键是掌握“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件可证明，从而可得；
（2）由（1）可知：，然后根据中位线即可求出．
【详解】（1）证明：平分，
．
，
．
在与中，
，
．
（2），
，
．
是的中点，，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．A
【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：连接，取的中点，连接、，
是的中点，是的中点，
，
同理，，
在中，，即，
的长可能是4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
5．
【分析】过点A作于点N，在中，点E为的中点，点F为的中点，得到，当G于点N重合时，最小，即可得出结果．
【详解】解：如图所示，过点A作于点N，
∵，，
在中，
∴，，
在中，
点E为的中点，点F为的中点，
∴，
∵点G是边上的动点（点G不与B，C重合），
∴当G于点N重合时，最小，
∴最小值为，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得的最小值是解题的关键．
6．（1），；（2）
【分析】（1）直接根据三角形中位线定理直接作答；
（2）取的中点H，连接、，根据中位线定理可得，，即有，同理，，，有，即可得，再根据勾股定理即可作答．
【详解】解：（1）在中，是的中位线，
∴，，
故答案为：，；
（2）取的中点H，连接、，
∵点E为的中点，点H为的中点，
∴，，
∴，
同理，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理以及勾股定理，掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
【详解】解：是的边上的中线，的面积为24cm2，
的面积为：（cm2），
点是的中点，
的面积为：（cm2），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
8．2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵点F是的中点，
∴，
∵中边上的高与中边上的高相等，
∴，
同理，∵E是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴即阴影部分图形的面积为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查利用中线的性质求三角形的面积，解题的关键是掌握“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”．
9．图见解析
【分析】根据题意，结合三角形的中位线的性质，可得出点为线段的中点时，，首先以点和点为圆心，以大于的相同长为半径，分别在线段两侧画弧，其弧的交点分布于线段的两侧，连接两交点，交线段于点，此点即为所求点，然后连接．
【详解】解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、尺规作图，解本题的关键在理清题意，通过尺规作图正确的出线段的中点．
10．B
【分析】根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，的大小，进而求出的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用的面积乘以2，求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴；
∵E是的中点，
∴，
∴
，
∵是的中线，
∴的面积是：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．
11．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可知的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【详解】解：∵的三条中线，，交于点G，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据格线的特征找出AC的中点即可；
（2）连接AB、AC的中点，则该线上的任一点都符合要求.
【详解】（1）在图1中，点M即为所求；
（2）在图2中，点N即为所求．
【点睛】本题考查了三角形的面积及三角形的中位线，当三角形的底相同时，三角形的面积与高成正比例关系，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
13．D
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由，得出，选项D错误；即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
选项A、B、C正确，不符合题意；
，
，
选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
14．14
【分析】根据三角形的中位线可得，，判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可求解．
【详解】解：，，分别是边，，的中点，
，，，，
四边形为平行四边形，
四边形周长为，
，
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，判定四边形为平行四边形是解题的关键．
15．(1)见详解
(2)
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出，进而求出答案 ．
【详解】（1）证明：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
为的中点， 等边的边长是4，
，，，
．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、 三角形中位线定理等知识， 正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
16．C
【分析】先正确书写出三角形中位线的证明过程再进行排序．
【详解】先延长到点F，使，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴②，即，
∴③四边形是平行四边形，
∴①，
∴④，且，
∴正确的证明顺序为：②→③→①→④，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线的证明过程是解题关键．
17．7
【分析】根据三角形中位线定理得到四边形BEFD是平行四边形，得到周长．
【详解】解：∵AD=BD，AF=FC，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，
同理EF∥AB，
∴四边形BDFE是平行四边形，
又∵BD=AB=,
同理BE=2，
∴BD=EF=，DF=BE=2，
∴四边形BDFE的周长为2×（+2）=7；
故答案为7．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，在三角形中已知中点构造中位线是常见的解题的思路．
18．见解析
【分析】证明是的中位线，进而根据平行四边形的判定定理即可得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
，
，，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
19．B
【分析】根据题意可知为三角形的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．
【详解】解：如下图，连接，
∵、分别为、的中点，
∴为的中位线，
又∵米，
∴米．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的应用，理解并掌握三角形中位线的性质是解题关键．
20．3600
【分析】根据三角形中位线定理即可作答．
【详解】∵点D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=1800米，
∴AB=1800×2=3600(米)，
即隧道的长度为3600米，
故答案为：3600．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及其应用，三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半，掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键．
21．用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长，解答见详解．
【分析】用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB，利用中位线性质可得DE=，MN=，可得AB=2MN=4DE即可．
【详解】解：用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB，
∵点D、E分别为CM，CN的中点，
∴DE=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
又∵点M，N分别为的中点，
∴MN=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∴AB=2MN=4DE．
∴只要测量出DE长便可求AB．
【点睛】本题考查三角形中位线性质在生活中运用，掌握三角形中位线性质是解题关键．
22．C
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点C，D为OA，OB的中点，CD＝40m，
∴CD是△OAB的中位线，
∴AB＝2CD＝80（m），
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
23．
【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动，
，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键．
24．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）连接AC、BD且交于点O．连接EO并延长，交AD于点F，连接EF，则EF即为过点E的四边形ABCD的高；
（2）连接AE、BD且交于点G．连接AC，交DE于点H．连接GH并延长，交CD于点I．连接EI，交AC于点J．连接DJ并延长，交BC于点K．连接HI、HK、KI，则HI，HK，KI即为的中位线．
【详解】（1）如图，线段EF即为所作；
（2）如图，线段HI，HK，KI即为所作．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，等腰梯形的性质，三角形中位线等知识．解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．D
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为边的中点，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
26．B
【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】解：∵D，E分别为，的中点，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
27．A
【分析】根据三角形中位线定理进行求解即可．
【详解】解：∵D、E分别是的边的中点，
∴是的中位线，
∴
同理，，
∵的周长为10，
∴，
∴的周长，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
28．D
【分析】根据三角形的中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的规律．
【详解】解：的周长为，新的三角形的三条边为的三条中位线，
根据中位线定理，三条中位线之和为三角形三条边的，
所以第个三角形周长为；
第个三角形的周长为；
以此类推，第个三角形的周长为；
所以第个三角形的周长为．
故选：D．
【点睛】本题考查中位线定理，主要是找出每一个新的三角形周长是原三角形周长的的规律，解决问题．
29．6
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：，分别为，边上的中点，
是的中位线，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形中位线，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
30．
【分析】由题意可得，为的中位线，利用中位线的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得，为的中位线，
则，即（米）
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形中位线的性质．
31．2
【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可．
【详解】解：∵点D、E分别是、的中点，
是的中线，
，
，
，
在中，，点E是的中点，，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
32．1
【分析】利用三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵F，M分别为边和对角线的中点，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查三角形中位线定理，关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答．
33．
【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案．
【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
34．见解析
【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ， ，即可求证．
【详解】解：如图，
D，E，F分别是边的中点，
、 是 的中位线，
， ，
四边形的周长
，
即四边形的周长等于．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键．
35．B
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半得，从而求出．
【详解】∵D、E分别是、的中点．
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
36．C
【分析】根据等边对等角求出，利用三角形中位线的判定和性质求出，再根据三角形外角的性质求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
37．B
【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据三角形的面积公式判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．
【详解】解：①∵点M，N分别为、的中点，
∴，即线段的长不会随点P的移动而变化；
②、随点P的移动而变化，
∴的周长随点P的移动而变化；
③∵点M，N分别为、的中点，
∴，，
∵点A，B为定点，
∴的长为定值，
∴线段的长为定值，
∵，，
∴，
∵P是l上的一个动点，
∴点P到的距离为定值，
∴的面积为定值，
即的面积不会随点P的移动而变化；
④∵，
∴直线，之间的距离不会随点P的移动而变化；
⑤的大小随点P的移动而变化；
综上分析可知，会随点P的移动而变化的是②⑤，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理、平行线间的距离、三角形面积的计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
38．D
【分析】根据三角形中位线定理得到，从而得到，
再根据直角三角形斜边中线定理得到，再根据等边对等角得到，最后求出即可．
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴，
∴，
∵，F是边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，等边对等角，解题的关键是熟练运用和角有关的性质定理．
39．5
【分析】取中点M，中点N，连接．再根据点从开始到停止所经过的路线长为的中点到的中点，即为的长，结合三角形中位线定理即可求解．
【详解】如图，取中点M，中点N，连接．
当动点和A点重合时，则点Q与点M重合，
当动点和B点重合时，则点Q与点N重合，
由三角形中位线定理可知．
由题意可知线段的中点从开始到停止所经过的路径即为线段，
∴线段的中点从开始到停止所经过的路线长为．
故答案为：5．
【点睛】本题考查三角形中位线定理．读懂题意，理解点从开始到停止所经过的路线长为的中点到的中点是解题关键．
40．
【分析】根据，平分，得出，进而根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
设，由，，得，
解得：，
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
41．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据平行四边形的性质得出点O为中点，进而得出，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴点O为中点，
又E是边的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理等知识，判断是解题的关键．
42．12
【分析】先由三角形中位线定理得到，再由，求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到．
【详解】解：∵D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，点E是AC的中点，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，正确求出是解题的关键．
43．(1)5
(2)16
【分析】（1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
（2）根据中位线及直角三角形斜边上的中线的性质易证得四边形为平行四边形，对边相等，进而可得到，，，的长，即可得到结果．
【详解】（1）解：∵，为的中点，，
∴；
（2）∵D，E分别为，的中点，
∴，，
由（1）知，，∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形为平行四边形，
∴，，
所以四边形的周长．
【点睛】本题考查了三角形中位线的定理，直角三角形斜边上的中线，平行四边形的判定及性质，解题的关键是找到角之间的关系和边长之间的关系．
44．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边的性质得出，，根据，，可得是的中位线，等量代换得出，可得，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，求得，根据，由等边对等角即可求解．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
45．A
【分析】根据在中，分别是的中点，得到是的中位线，由中位线性质得到，从而得到，再由，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到．
【详解】解：在中，分别是的中点，
由中位线定义可知，
，
，
，
在中，为斜边上的中线，则，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线的定义与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意，结合性质与定义，数形结合是解决问题的关键．
46．A
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：、分别为、的中点，，
，
，
，
为的中点，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
47．C
【分析】根据三角形中位线定理得到，证明四边形是平行四边形，可得，根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可解答．
【详解】解：如图：连接
∵M，N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，M是的中点，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
48．B
【分析】的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
49．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接，如图所示：
点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
，
点是的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形面积相等．
50．2.5
【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长．
【详解】如图，延长交于点D．
∵，平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
∴N是的中点．
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案是：2.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．
51．
【分析】（1）如图所示，延长交于点，则是等边三角形，进而证明是的中位线，即可求解；
（2）取的中点，过作于，在中，，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，延长交于点，
∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴是的中位线，
∴,
故答案为：；
（2）取的中点，过作于，如图所示：
由题意得：，
设寸，
则寸，寸，寸，寸，
在中，，
即，
解得：，
寸，
寸，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，中位线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
52．
【分析】连接，．由勾股定理求出，证，得，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，
是等边三角形，，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
53．(1)见详解
(2)
【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
平分，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
∵，
，
，
．
（2）解：结论：，
理由：如图2中，延长交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
点为的中点，
，
；
故答案为．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
54．(1)，证明见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理，得出得出与的数量关系；
（2）先连接并延长至点F，使，判定，进而运用判定，即可得出，再利用三角形中位线定理，得出与的数量关系，进而得出结论．
【详解】（1）与的数量关系为，
证明：∵点分别是的中点，
∴，
∵等腰，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）成立
证明：如图2，连接并延长至点F，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵点分别是的中点，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了几何变换变换中的旋转变换，解决问题的关键是掌握三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质．解决此类试题时，需要灵活运用等腰直角三角形的性质，并且需要经过中点作辅助线构造全等三角形．
答案第1页，共2页
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