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专题3.3 方差和标准差
1.掌握方差、极差和标准差的相关计算；
2.掌握利用方差做决策题型的技巧；
知识点01 方差的相关计算
【知识点】
在一组数据中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即来描述这组数据的离散程度，并把叫做这组数据的方差．
一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小．
知识点：方差与平均数的性质
若的方差是，平均数是，则有：
①的方差为，平均数是；
②的方差为，平均数是；
③的方差为，平均数是．
【典型例题】
例1．
（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）
1．已知一组数据：3，4，6，7，那么这组数据的方差为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
例2．
（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）
2．现有两组数据：甲：12，14，16，18；乙：2023，2022，2020，2019，它们的方差分别记作，，则 （用“>”“=”“<”）．
例3．
（江苏省常州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）
3．2022年江苏省中学生田径运动会（苏南）暨江苏省中学生田径锦标赛选拔赛在常州市第五中学举行．常州市某中学想要从甲、乙两名运动员中选出一名参加100m比赛，对这两名运动员进行了8次测试，成绩如表（表Ⅰ）所示（单位：s）：
甲
乙
现根据上表数据进行统计得到下表（表Ⅱ）：
运动员 甲 乙
平均数 ___________
(1)根据表Ⅰ的数据填写表Ⅱ中所缺的数据；
(2)老师计算了甲的测试成绩的方差：
．
请计算乙的测试成绩的方差．根据测试成绩，你认为选派哪一名运动员参赛更好？为什么？
【即学即练】
（2022秋·广西贵港·九年级统考期末）
4．已知一组数据：3，4，5，6，5，7．那么这组数据的方差是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）
5．若一组数据，，，…，的平均数为5，方差为4，则对于数据，，，…，，平均数和方差分别是（ ）
A．2，1 B．2，4 C．5，4 D．5，1
（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考开学考试）
6．若甲组数据，乙组数据，则 （填“甲”或“乙”）组方差大．
（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）
7．甲，乙两名老师参加“学习党的二十大报告精神”系列专项答题意赛，甲五次比赛成绩的平均分是90分，方差为，乙五次比赛成绩依次为88分，89分，90分，91分，92分，则成绩较为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
（2023秋·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期末）
8．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会()重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办．“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，将成为国际范围的热点关注内容．为广泛宣传生物多样性，某校组织七、八年级各200名学生对《生物多样性公约》白皮书相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：
72，84，72，91，79，69，78，85，75，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：
85，72，92，84，80，74，75，80，76，82
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
成绩
七年级 1 5 2 a
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 72 66.6
八年级 80 80 c
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)计算八年级同学测试成绩的方差，并估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？
(3)按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？
(4)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由(至少写出两条理由)．
知识点02 利用方差做决策
【知识点】
根据方差的概念，判断数据的稳定性，从而做出决策；
【典型例题】
例1．
（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）
9．从甲，乙，丙，丁四人中选一人参加区里举办的垃圾分类知识大赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是92.5分，方差分别是，，，．你认为最合适的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
例2．
（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）
10．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均亩产量相同，为了保证产量稳定，该团队决定推广乙品种，由此可知，甲品种的亩产量方差 乙品种的亩产量方差．
例3．
（2023秋·山东济南·八年级统考期末）
11．某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请寒，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级 七年级 八年级
平均数 8.3 8.3
中位数 8
众数 9
方差 1.41 1.61
优秀率
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进入复赛的学生人数．
【即学即练】
（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）
12．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如下表所示，若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 9.5 9.6 9.5 9.6
方差 0.25 0.25 0.27 0.28
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
（2023秋·河北保定·八年级校考期末）
13．为庆祝世界杯夺冠，学校开展球赛知识抢答活动．经过几轮筛选，八（1）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位： 分2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 99 96 97 99
方差 1.2 0.6 0.6 0.8
如果要选出一名成绩好且状态稳定的同学，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
（2021·浙江宁波·校考三模）
14．甲、乙、丙、丁四名短跑运动员进行百米测试，每人5场测试成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
10 10.1 10 10
2 1.6 2.5 1.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）
15．小林和小方参加射击预选赛，他们每人10次射击环数的平均数都是9.2，方差分别为，，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参加亚运会，那么会选 （填“小林”或“小方”）．
（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）
16．为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示：
众数 中位数 平均数 方差
八年级竞赛成绩 7 8 8
九年级竞赛成绩 a b 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：表中的______， ______；
(2)该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？
(3)现要给成绩突出的年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请说明理由（写出一条理由即可）．
知识点03 极差的相关计算
【知识点】
极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差．
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小．
【典型例题】
例1．
（2023秋·山东济南·八年级统考期末）
17．如图是某班去年1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读数量的众数是83 B．每月阅读数量的中位数是58
C．每月阅读数量的平均数是50 D．每月阅读数量的极差是65
例2．
（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）
18．数据2，x，4，2，8，5的平均数为5，这组数据的极差为 ．
例3．
（2021春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）
19．已知2014年3月份在某医院出生的20名新生婴儿的体重如下(单位：)
4.7 2.9 3.2 3.5 3.8 3.4 2.8 3.3 4.0 4.5
3.6 4.8 4.3 3.6 3.4 3.5 3.6 3.5 3.7 3.7
(1)求这组数据的最大值与最小值的差；
(2)若以为组距，对这组数据进行分组，制作了如下的“某医院2014年3月份20名新生婴儿体重的频数分布表”（表格不完整），请在频数分布表的空格中填写相关的量．
频数分布表
组别(kg) 划记 频数
3.55~3.95 正一 6
合计 20
(3)经检测，这20名婴儿的血型的扇形统计图如图所示（不完整），求：
①这20名婴儿中是A型血的人数；
②表示O型血的扇形的圆心角度数．
【即学即练】
（2023秋·河北保定·八年级统考期末）
20．在学校数学竞赛中，10名学生的参赛成绩统计如图所示，则这10名学生的参赛成绩的极差是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．4
（2023秋·山东济南·八年级校考期末）
21．某班级开展好书伴成长读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法不正确的是（ ）
A．每月阅读课外书本数的众数是58本 B．每月阅读课外书本数的中位数是58本
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降 D．从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是50
（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）
22．为参加校运会，小强同学进行立定跳远训练，其中6次的成绩如下（单位：）：2.2，2.6，2.4，2.5，2.4，2.4，这6次成绩的极差是 ．
（2022春·江西赣州·七年级统考期末）
23．一个样本含有下面10个数据：52，51，49，50，47，48，50，51，48，54．其中最大值是 ，最小值是 ，若组距为1.5，则应分成 组．
（2021·宁夏银川·统考一模）
24．2009年某市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能（耐力）类项目和速度（跳跃、力量、技能）类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、50米跑等6项中任选一项．某校九年级共有200名女生在速度类项目中选择了立定跳远，现从这200名女生中随机抽取10名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形统计图．（另附：九年级女生立定跳远的计分标准）
九年级女生立定跳远计分标准
成绩（cm） 197 189 181 173 …
分值（分） 10 9 8 7 …
(1)求这10名女生在本次测试中，立定跳远距离的极差和中位数，立定跳远得分的众数和平均数．
(2)请你估计该校选择立定跳远的200名女生中得满分的人数．
知识点04 标准差的相关计算
【知识点】
方差的算术平方根，即用来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差．
【典型例题】
例1．
（2022秋·八年级单元测试）
25．某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（ ）
A． B．2 C． D．6
例2．
（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）
26．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ．
例3．
（2022春·八年级课时练习）
27．世界最大的水利枢纽三峡工程，在年5月日大坝下闸蓄水前，大坝库区内的巴东、巫山、万县等8个地点的水位的海拔分别为（m）：
．
而在6月1日下闸后半月内上述地点的水位的海拔分别为（m）：
．
(1)分别求出上述两组数据的平均数、方差和标准差（精确到）．
(2)利用什么统计量可以说明大坝不闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象？这种景象在下闸前后有哪些主要的变化？
【即学即练】
（2023春·八年级课时练习）
28．如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）
29．已知一组数据，，，……，的平均数是50、方差是1，则另一组数据，，，……，的平均数和标准差分别是（ ）
A．53，2 B．103，2 C．100，4 D．103，4
（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）
30．已知数据，，…的方差是4，则，，…，的标准差为 ．
（2022秋·八年级课时练习）
31．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，数据的标准差是 ．
（2021秋·八年级课时练习）
32．某商场新进了一批直径为12mm的螺丝，从中抽取了20个螺丝，并规定它们的标准差若大于0.2mm，就可要求退货，这20个螺丝的直径（单位：mm）如下：
11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1，
12.0，12.2，11.9，11.7，11.9，12.1，12.3，12.4，11.8，11.9
该商场是否可以要求退货？
题组A 基础过关练
（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）
33．对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得，，，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人的短跑成绩一样稳定 B．乙比甲的短跑成绩稳定
C．甲比乙的短跑成绩稳定 D．无法确定谁的短跑成绩更稳定
（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）
34．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法正确的是（　　）
A．方差是3.6 B．众数是10 C．中位数是3 D．平均数是6
（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）
35．某地统计最近五年报名参加中考人数增长率分别为：3.9%，4.3%，3.7%，4.3%，4.7%，业内人士评论说：“这五年中考人数增长率相当平稳”，从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据（　　）比较小
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）
36．中国的射击项目在世界上居于领先地位．某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示，射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是（ ）
甲 乙 丙 丁
/环
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）
37．扬州某日天气预报显示最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为 ．
（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）
38．某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一名参加禁毒知识比赛，三人选拔测试成绩的相关数据如下表所示，则成绩比较稳定的同学是 ．
甲 乙 丙
平均分 95 95 95
方差
（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）
39．为庆况神舟十五号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 98 96 98 95
方差 0.4 2 1.6 0.4
若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择 ．
（2022秋·山东济南·八年级校考期末）
40．农科院计划为某地选择合适的水果玉米种子，通过试验，甲、乙、丙、丁四种水果玉米种子每亩平均产量都是1500千克，方差分别为，，，，这四种水果玉米种子中产量最稳定的是 种水果玉米种子．
（2023·全国·九年级专题练习）
41．为做到学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，某校组织了“学党史、强信念、跟党走”党史知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分）整理成下表：
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)七年级学生竞赛成绩的平均数是___________分，八年级学生竞赛成绩的平均数是___________分；
(2)请通过计算说明哪个年级的竞赛成绩较为整齐？
(3)已知该校七、八年级共名学生参加了此次竞赛活动，若规定成绩分及以上为优秀，请估计这名学生中成绩优秀的学生人数．
（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）
42．为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：
射击次序（次） 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8
乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10
(1)经计算甲和乙的平均成绩都是8环，请求出表中的a＝　 　；
(2)甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？
(3)若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
题组B 能力提升练
（江苏省南京市联合体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）
43．一组数据，，，，中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
（2023秋·福建三明·八年级统考期末）
44．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次，测试成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，则测试成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）
45．某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是是0.21．则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同 D．无法确定谁的成绩更稳定
（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）
46．在一次数学测试，某小组五名同学的成绩（单位：分）如下表
组员 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩
得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80、2 B．80、10 C．78、2 D．78、10
（2022秋·广东梅州·八年级校考期末）
47．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方差分别为 （分），（分）；，，那么成绩较为稳定的是 ．
（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期中）
48．已知一组数据，2，0，1，，那么这组数据的方差是 ．
（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）
49．已知a，b，c为非负整数，，则当a，b，c方差最小时， ．
（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）
50．已知样本、，…，的平均数是5，方差是3，则样本，，…，的平均数是 ；方差是 ．
（2023秋·湖南永州·九年级统考期末）
51．某县实验中学为了庆祝党的二十大胜利召开，举行“党史知识”竞赛，向党的二十大献礼，八年级和九年级各选出5名选手参加比赛，成绩如图所示．
年级 平均数（分） 中位数 众数
八年级 85 a 85
九年级 85 80 b
(1)根据图中数据填写上表中的 ， ．
(2)计算两个年级竞赛成绩的方差，并说明哪个年级的成绩较稳定．
（2023秋·广东佛山·八年级统考期末）
52．某校八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛，并从其中分别随机抽取了20名学生的成绩（用x表示），共分成四组：，，，．其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90
九年级 90 100
(1)直接写出上述a、b、c的值：___________，__________，__________．
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1000人参加了此次航天科普知识竞赛活动，参加此次活动成绩优秀的九年级学生大约有多少人？
题组C 培优拔尖练
（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）
53．一组数据，，，，的平均数是4，方差是3，则，，，，的平均数和方差是（ ）．
A．13、48 B．13、45 C．16、45 D．16、48
（2023·全国·八年级专题练习）
54．甲组数据，，…，的方差是3，那么乙组数据，，…，的方差是（ ）
A．3 B．9 C．27 D．无法确定
（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）
55．在一次体育测试中，小明记录了本班10名同学一分钟跳绳的成绩，如下表：
成绩 150 160 170 180 190
人数 2 3 2 2 1
对于这10名学生的跳绳成绩，小亮通过计算得到以下数据：众数150，中位数165，平均数160，方差是104，对于小亮计算的数据，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022·山东泰安·模拟预测）
56．下列说法正确的是（ ）
A．九年级某班的英语测试平均成绩是，说明每个同学的得分都是分
B．数据，，，，的中位数和众数都是
C．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查
D．若甲、乙两组数据中各有个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定
（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）
57．已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是 ．
（2021春·浙江宁波·八年级校考期中）
58．已知5个正数的标准差为2，则另一组数据的方差为 ．
（2023秋·四川达州·八年级校考期末）
59．已知一组数据的平均数是3，方差为，那么另一组数据的平均数和方差分别是 ， ．
（2022秋·北京朝阳·九年级日坛中学校考开学考试）
60．随着北京冬奥会的成功举办，越来越多的人喜欢上冰雪运动．为了解当地一家滑雪场的经营情况，小聪对该滑雪场自2022年1月31日至2月13日共两周的日接待游客数（单位：千人）进行了统计，并绘制成下面的统计图．
根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①按日接待游客数从高到低排名，2月6日在这14天中排名第4；
②记第一周，第二周日接待游客数的方差分别为s12，s22，则s12＞s22；
③这14天日接待游客数的众数和中位数都是2.0千人．
其中所有正确结论的序号是 ．
（2023秋·河北保定·八年级统考期末）
61．甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的折线统计图，两幅图均有部分被污染．
将两名队员10次的成绩整理后，得到下表：
姓名 平均数 中位数 众数 方差
甲 a 7 b 1.8
乙 7 c 8 4.2
请根据图表信息回答：
(1)你认为__________队员的发挥更稳定，理由是____________________．
(2)__________，__________，__________；
(3)乙队员补射一次后，成绩为m环，发现他11次射箭成绩的中位数比c小0.5，则m的最大值为__________．
（2023秋·河北保定·八年级校考期末）
62．北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校组织全校七、八年级学生举行了“冬奥知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取 名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级 名同学测试成绩统计如下：
八年级 名同学测试成绩统计如下：
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
成绩
七年级
八年级
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)求七年级同学成绩的方差，试估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？
(3)按照比赛规定分及其以上为优秀，若该校七年级学生共 人，八年级学生共 人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数．
(4)该校想让一半以上的学生得到分及以上，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由
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参考答案：
1．B
【分析】首先求出平均数，然后根据方差的计算方法求解即可．
【详解】解：平均数为：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了数据的方差，解题的关键是熟练掌握方差的计算方法．
2．
【分析】先求出各自的平均数，然后根据方差公式计算即可求解．
【详解】解：甲组平均数为：，
∴，
乙组平均数为：，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查方差问题，熟练掌握方差的计算．方差是各数据与其平均数差的平方的平均数，它反映数据波动的大小．
3．(1)
(2)选派运动员乙参赛更好，理由见解析
【分析】（1）计算乙的成绩的平均数即可求解；
（2）计算乙的成绩的方差，继而根据方差越小，成绩越稳定，作出决策即可求解．
【详解】（1）解：甲的成绩的平均数为：
故答案为：．
（2）解：，
∵，
∴选派运动员乙参赛更好
【点睛】本题考查了求平均数，求方差，方差的意义，掌握以上知识是解题的关键．
4．A
【分析】先求出平均数，然后按照方差的计算公式计算方差即可．
【详解】解：这组数据的平均数为，
方差为
，
故选：A．
【点睛】本题考查了求一组数据的方差，掌握方差的计算公式是解题关键．
5．B
【分析】根据平均数和方差的性质及计算公式直接求解可得．
【详解】解：∵数据的平均数为5，
∴数据，，，…，的平均数是；
∵数据的方差为4，
∴数据，，，…，的方差不变，也是4，
故选：B．
【点睛】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有n个数据，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
6．乙
【分析】根据平均数的计算公式先分别求出甲和乙的平均数，再根据方差的计算公式求出甲和乙的方差，然后进行比较即可得出答案．
【详解】解：∵甲的平均数是：，
乙的平均数是：，
∴，
，
∴，
∴乙组方差大．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
7．甲
【分析】先求出乙五次比赛的方差，比较两人的方差大小，即可得出结论．
【详解】解：乙五次成绩的平均数为，
∴乙五次比赛成绩的方差
∵，即乙五次比赛成绩的方差大于甲五次比赛成绩的方差，
∴五次比赛成绩比较稳定的是甲；
故答案为：甲．
【点睛】本题考查方差．熟练掌握平均数和方差的计算公式，是解题的关键．
8．(1)2，78.5，80
(2)八年级
(3)60人
(4)八年级，理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级
【分析】（1）把七年级抽样成绩重新排列后，即可求出a的值，根据中位数的概念可求出b的值，根据众数的概念即可求解八年级成绩的众数；
（2）先根据方差的定义计算出八年级的方差，再比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案；
（3）用各年级人数乘以对应的优秀学生占的比例，然后相加即可；
（4）答案不唯一，合理均可．
【详解】（1）解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个，
故．
中位为b=(分)，
将八年级的成绩出现次数最多是80分，共出现2次，
∴众数(分)，
故答案为：2，，80；
（2）解：．
∵七年级同学测试成绩的方差是66.6， 八年级同学测试成绩的方差是33，
∴，
∴估计八年级学生的竞赛成绩更整齐些．
（3）解：由题意得(人)，
∴这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共约60人．
（4）解：可以推断出八年级学生的数学水平较高，
理由为两班平均数相同，八年级的中位数高于七年级；八年级的众数高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好(答案不唯一)．
【点睛】此题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意．
9．B
【分析】根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定．
【详解】解：∵，，，，
∴，
又∵他们的平均成绩都是92.5分，
∴我认为最合适的选手是乙．
故选：B
【点睛】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解本题的关键．
10．＞
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】解：甲、乙两种水稻的平均亩产量相同，
为了保证产量稳定，该团队决定推广乙品种，
乙的方差较小，
，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
11．(1)8.5，7，45
(2)七年级，理由见详解
(3)225
【分析】（1）根据条形统计图求得中位数、众数、优秀率；
（2）根据优秀率或方差比较即可求解；
（3）根据样本估计总体，用900乘以满分人数的占比即可求解．
【详解】（1）解：∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10，
∴中位数．
根据条形统计图，可知八年级成绩的众数为．
八年级的优秀率是．
故答案为：8.5，7，45；
（2）根据表中可得，七、八年级的优秀率分别是：、，且七年级成绩的方差较小，
故七年级的学生初赛成绩更好．
（3）（人），
答：估计八年级进入复赛的学生为225人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、中位数、众数、方差的意义、样本估计总体等知识，从统计图获取信息是解题的关键．
12．B
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的数量，方差越小，数据越稳定；平均数越大，成绩越好，据此作答即可．
【详解】∵乙的平均数最大，方差最小，
∴乙的成绩较好且状态稳定，
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数和方差，正确理解平均数和方差的意义是解题的关键．
13．D
【分析】根据平均数越大，成绩越好，方差越小，成绩越稳定进行求解即可．
【详解】解：从平均数看，甲，丁的成绩相同且都比乙，丙好；从方差看，乙，丙的方差小于丁的方差，丁的方差小于甲的方差，
∴如果要选出一名成绩好且状态稳定的同学，那么应该选择丁，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平均数和方差，熟知平均数越大，成绩越好，方差越小，成绩越稳定是解题的关键．
14．丁
【分析】根据平均数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
【详解】甲、丙、丁的平均数较小，
丁的方差甲的方差丙的方差，
丁比较稳定，
成绩较好状态稳定的运动员是丁，
故答案为：丁．
【点睛】本题重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．小林
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】解：因为小林=1.2，小方=2.1，
所以小林＜小方，
所以小林的成绩比较稳定，
故答案为：小林．
【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
16．(1)8，8
(2)228
(3)九年级，理由见解析
【分析】（1）根据众数和中位数的意义，即可；
（2）用1900乘以满分人数所占的百分比，即可；
（3）从众数和方差两方面分析，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：九年级得8分的人数14人，最多，
∴，
位于正中间的两个得分均为8，
∴，
故答案为：8，8
（2）解：人，
答：满分有228人；
（3）解：如果从众数角度看，八年级的众数为7，九年级的众数为8，
所以应该给九年级颁奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，
所以应该给九年级颁奖，
故如果分别从众数和方差两个角度来分析，应该给九年级颁奖；
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、方差，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
17．B
【分析】根据众数的定义，可判断A；根据中位数的定义，可判断B；根据平均数的计算方法，可判断C；根据极差的定义，可判断D．
【详解】解：A、出现次数最多的是58，故众数是58，本选项说法错误，不符合题意；
B、将8个数据由小到大排列为：28，36，42，58，58，70，78，83，中位数是，故本选项说法正确，符合题意；
C、该班学生去年1～8月份课外阅读数量的平均数是：，故本选项说法错误，不符合题意；
D、，故每月阅读数量的极差是55，本选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了折线统计图、平均数、众数、中位数以及极差等知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
18．7
【分析】由平均数公式求出x的值，再根据极差的公式：极差=最大值-最小值求解即可．
【详解】解：∵数据2，x，4，2，8，5的平均数为5，
∴，
∴，
∴这组数据的极差为．
故答案为7．
【点睛】本题考查平均数和极差的求法．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
19．(1)
(2)见解析
(3)①9人；②
【分析】（1）根据求极差的方法用这组数据的最大值减去最小值即可；
（2）根据所给出的数据和以为组距，分别进行分组，再找出各组的数即可；
（3）①用总人数乘以A型血的人数所占的百分比即可；②用减去A型、B型和型的圆心角的度数即可求出O型血的扇形的圆心角度数．
【详解】（1）解：这组数据的最大值与最小值的差为
（2）解：补全频数分布表，如下：
组别() 划记 频数
┬ 2
正┬ 7
正一 6
┬ 2
┬ 2
一 1
合计 20
（3）解：①这20名婴儿中是A型血的人数为人；
②表示O型血的扇形的圆心角度数为．
【点睛】此题考查了频数（率）分布表、扇形统计图以及极差的求法，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
20．A
【分析】根据极差的定义即可求解．
【详解】解：由图可知，这10名学生参赛成绩的最高分为95，最低分为80，
因此极差为：，
故选A．
【点睛】本题考查求一组数据的极差，解题的关键是掌握极差的定义：极差是指一组数据中的最大值与最小值的差．
21．C
【分析】从折线图中获取信息，通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．
【详解】A：因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是58，故选项A不符合题意；
B：每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的数字为58，所以该组数据的中位数为58，故选项B不符合题意；
C：从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，故选项C符合题意；
选项D：从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值28多50，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，解题的关键是掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息．
22．##
【分析】根据极差的定义，求解即可．
【详解】解：这6次成绩的极差是：．
故答案为：
【点睛】本题考查了极差，解本题的关键在熟练掌握极差的定义．极差是指一组数据中的最大值与最小值的差．
23． 54 47 5
【分析】根据要求写出数据中的最大值与最小值，极差除以组距，取不小于该值的最小的整数即为组数．
【详解】解：∵数据中最大的值是54，最小的值是47，
∴它们的差为；
∵如果组距为，且,
∴可分为5组，
故答案为：①53；②47；③5．
【点睛】本题考查了数的大小及频数（率）分布表，涉及给数据分组，计算出极差是解题的关键．
24．(1)极差是；中位数是；众数是10分，平均数是9.3分
(2)200名女生中得满分的人数约是120人．
【分析】（1）根据题中数据直接计算即可；
（2）根据10名女生中有6名得满分，计算200名满分人数即可．
【详解】（1）解：立定跳远距离的极差=205-174=31（cm），
立定跳远距离的中位数，
根据计分标准，这10名女生的跳远距离得分分值分别是：
7，9，10，10，10，10，8，10，10，9，
10分的次数最多，
∴立定跳远得分的众数是10（分），
立定跳远得分的平均数是=9.3（分）；
（2）解：因为10名女生中有6名得满分，
所以估计200名女生中得满分的人数是200×=120（人）．
即200名女生中得满分的人数约是120人．
【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
25．B
【分析】设三位男生的成绩分别为a、b、c，可求得3位男同学考试分数的平均数，再由三位男生的方差为6，求得这个学习小组5位同学考试分数的方差，从而求得标准差．
【详解】解：∵两位女生的成绩分别为17分、15分，
∴两位女生的成绩的平均数是（分），
∴三位男生成绩的平均数是16分．
三位男生的方差，
，
这个学习小组5位同学考试分数的方差
，
标准差是，
故选：B．
【点睛】本题考查标准差，计算标准差需要先算出方差，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
26．4
【分析】先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差．
【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为，
则原来的方差，
现在的方差
.
所以方差不变，标准差为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．
27．(1)下闸蓄水前平均数为，方差为，标准差为；下闸蓄水后平均数为，方差为，标准差为
(2)平均数，这种景象在下闸前后海拔明显增加
【分析】（1）根据平均数，方差，标准差的定义计算即可；
（2）根据平均数的定义解决问题即可．
【详解】（1）下闸蓄水前：
平均数，
方差，
标准差；
下闸蓄水后：
平均数，
方差，
标准差．
（2）利用平均数可以说明大坝下闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象，这种景象在下闸前后海拔明显增加．
【点睛】本题考查统计量的选择，平均数，方差，标准差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
28．B
【分析】根据平均数的定义，标准差的意义判断即可．
【详解】解：观察图象可知：样本A的数据在2.5到10之间，样本B的数据在10到15之间，且样本B的数据波动比样本A的数据波动小．
∴，．（的波动比较大，标准差比较大）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据折线统计图估计和比较样本的平均数和标准差，熟练掌握平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
29．B
【分析】根据平均数和方差的定义解答即可．
【详解】解：∵一组数据，，，……，的平均数是50，
∴另一组数据，，，……，的平均数是2×3+3=103．
∵一组数据，，，……，的方差是1，
∴另一组数据，，，……，的方差是22×1=4，
∴另一组数据，，，……，的标准差是2．
故选：B．
【点睛】此题考查了方差的特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
30．6
【分析】先根据数据，，…的方差计算出，，…，的方差，方差的算术平方根即为标准差．
【详解】解：数据，，…的方差是4，
，，…的方差是，
，，…，的方差为36，
，，…，的标准差为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查方差和标准差的计算，解题的关键是掌握“当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以同一个数，新数据的方差等于原方差乘以这个数的平方”．
31．
【分析】根据已知条件得出这组数据为2、3、3、4，先求出这组数据的平均数，再代入方差公式求出方差，然后根据若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，得出数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的方差，然后再开方即可得出标准差．
【详解】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
则这组数据的平均数是，
数据2，3，3，4的方差是：，
数据，，，的方差是，
数据，，，的标准差是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了方差和标准差，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
32．可以要求退货
【分析】先求出平均数,再求出方差，进而求出标准差,即可判断是否需要退货．
【详解】解:由题意得, 这20个螺丝的直径平均值为:×(11.8+11.7+12.0+12.1+12.3+12.2+12.0，11.5+···+11.8+11.9)=12（mm）
S2==0.048
∴S0.22（mm）＞0.2（mm）
∴可以退货．
【点睛】本题考查了标准差的计算方法，熟练掌握标准差的计算方法是解题的关键．
33．B
【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察数据可知乙队的方差小，故乙比甲短跑成绩稳定．
【详解】∵，，，
∴，
∴乙比甲的短跑成绩稳定
故选：B
【点睛】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
34．D
【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
【详解】解：平均数为；
方差为；
数据中5出现2次，所以众数为5；
数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
35．A
【分析】根据方差的意义:是反映一组数据波动大小，稳定程度的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立，故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小．
【详解】根据方差的意义知，数据越稳定，说明方差越小，
故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定;反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
36．D
【分析】根据射击比赛时，平均成绩代表平均水平，越大成绩越好；方差代表稳定性，越小越稳定．
【详解】解：从平均成绩看甲、丁最好，但是丁的方差更小，
所以选拔丁，
故选：D．
【点睛】本题考查了运用平均数和方差做决策；解题的关键是理解平均数和方差的意义．
37．9
【分析】最大值与最小值的差叫做极差，根据极差定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴该日的气温极差为，
故答案为：
【点睛】此题考查了极差，熟练掌握极差的定义是解题的关键．
38．甲
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的人参加即可．
【详解】解：从平均数看，三人的平均数相同，
从方差看，甲方差最小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了平均数和方差的含义，熟悉平均数和方差的意义并利用方差作决策是解题的关键．
39．甲
【分析】先比较平均数得到甲同学和丙同学成绩较好，然后比较方差得到甲同学的状态稳定，于是可决定选甲同学去参赛．
【详解】解：甲、丙同学的平均数比乙、丁同学的平均数大，
应从甲和丙同学中选，
甲同学的方差比丙同学的小，
甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了根据平均数和方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
40．甲
【分析】根据方差可进行求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴这四种水果玉米种子中产量最稳定的是甲种水果玉米种子，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键．
41．(1)；
(2)七年级的竞赛成绩较为整齐
(3)
【分析】（1）根据平均数的计算方法即可求解；
（2）比较两个班的方差判断两个班的整齐情况，方差越小越整齐；
（3）计算出分及以上人数的比值乘以即可．
【详解】（1）解：七年级的平均分为：
，
八年级的平均分为：
．
（2）解：七年级的方差为：
，
八年级的方差为：
，
∵，
∴七年级的竞赛成绩较为整齐．
（3）解：七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩中分及以上的人数有人，则，
∴（人）．
【点睛】本题主要考查数据统计中的相关概念，掌握平均数的计算方法，方差的计算公式及比较，样本中的优秀率估算整体的优秀率等知识是解题的关键．
42．(1)a＝8
(2)甲成绩的中位数是8，乙成绩的众数是7
(3)乙成绩的方差为1.8，甲的成绩更为稳定
【分析】（1）依据甲的平均成绩是8 (环)即可得到a的值；
（2）依据中位数以及众数的定义进行判断即可；
（3） 依据方差的计算公式，即可得到乙成绩的方差，根据方差的大小，进而得出甲、乙两人谁的成绩更为稳定；
【详解】（1）解：（1）∵甲的平均成绩是8环，
；
解得：a＝8，
（2）甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8，
所以甲成绩的中位数是（8+8）＝8；
乙成绩中出现次数最多的为7，故乙成绩的众数是7，
（3）乙成绩的方差为：
[（7-8）2×4+（9-8）2×2+（10-8）2×2+（6-8）2+（8-8）2]＝1.8，
∴1.2<1.8
∵甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，
∴甲的成绩更为稳定．
【点睛】本题考查了方差、中位数以及众数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
43．B
【分析】根据最后一个数字一定是个2位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解．
【详解】解：依题意，最后一个数字一定是个2位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，极差都要知道最后一个数，
故这组数据不受影响的统计量是中位数，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，极差，掌握以上知识是解题的关键．
44．A
【分析】根据方差最小的成绩最稳定，即可求解．
【详解】解：∵测试成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，
，
∴甲的方差最小，则测试成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
45．B
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，
，
乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：B．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，解题的关键是掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
46．C
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【详解】解∶根据题意得：丙的得分为；
方差．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．
47．乙班
【分析】根据方差越小，数据波动越小，进行判断即可．
【详解】解：∵（分），（分），，，
∴，
∴成绩较为稳定的是：乙班；
故答案为：乙班．
【点睛】本题考查利用方差判断稳定性．熟练掌握，方差越小，数据波动越小，越稳定，是解题的关键．
48．2
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求解即可．
【详解】解：这组数据的平均数为，
则这组数据的方差为
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平均数和方差，关键是熟记方差公式：设n个数据为，，…，，平均数为，则方差．
49．34
【分析】根据方差的意义得出时，方差最小，即可得出答案．
【详解】解：∵非负整数a，b，c满足，
∴当a，b，c方差最小时，，
故答案为：34．
【点睛】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．
50． 20 27
【分析】根据平均数和方差的性质及计算公式直接求解可得．
【详解】解：∵数据、，…，的平均数是5，
∴数据，，…，的平均数是；
∵数据、，…，的方差为3，
∴数据，，…，的方差是，
∴数据，，…，的方差是27．
故答案为：20；27．
【点睛】本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．
51．(1)85，100
(2)八年级竞赛成绩的方差为70，九年级竞赛成绩的方差为160；八年级成绩更稳定
【分析】（1）观察图分别写出八年级班和九年级班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数以及众数的求法，求解即可；
（2）根据方差公式计算，再根据方差的意义，求解即可．
【详解】（1）解：由图可知八年级5名选手的竞赛成绩为：75、80、85、85、100，
九年级班5名选手的竞赛成绩为：70、100、100、75 、80，
∴八年级5名选手的竞赛成绩位于正中间的是85分，即中位数是85分，
∴，
九年级的竞赛成绩出现次数最多的为100分，即众数为100分，
∴，
故答案为：85，100；
（2）解：八年级成绩的方差为：
，
九年级成绩的方差为：
，
∵，
∴八年级成绩更稳定．
【点睛】本题考查了中位数、众数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．
52．(1)40，96，92.5
(2)九年级的成绩相对更好，理由见解析
(3)估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数为700人
【详解】（1）解：由题意知，
九年级成绩为C的学生所占百分数为：，
因此；
八年级20名学生的成绩中96出现的次数最多，因此；
将九年级20名学生的成绩从低到高排序，第10位和第11位分别为92，93，
因此；
故答案为：40，96，92.5．
（2）解：九年级的成绩相对更好．理由如下：
九年级测试成绩的众数大于八年级；九年级测试成绩的方差小于八年级．
（3）解：（人），
答：估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数为700人．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、中位数、众数、方差、利用样本估计总体等知识点，难度不大，解题的关键是熟练掌握中位数、众数的定义，理解方差的意义．
53．A
【分析】根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，，，的平均数是，方差是，再进行计算即可．
【详解】解：∵数据，，，，的平均数是4，
∴另一组数据，，，，的平均数是；
∵数据，，，，的方差是3，
∴另一组数据，，，，的方差是，
∴另一组数据，，，，的方差是48；
故选：A．
【点睛】本题考查了方差和平均数：关键是掌握方差和平均数的变化规律；一般地设个数据，，，…，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
54．C
【分析】根据方差的定义即可进行解答．
【详解】解：设甲组数据的平均数为，
∴，
∵，
∴乙组数据的平均数，
，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．即如果一组数据，，…，的方差是，那么另一组数据，，…，的方差是．
55．A
【分析】分别求出平均数、中位数、众数、方差进行判断即可解答．
【详解】根据表格可知：
这组数据中出现次数最多，则众数为：，
这组数据的中位数为：，
这组数据的平均数为：，
这组数据的方差为：=161，
∴小亮计算的数据，正确的个数是：
故选：A．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差，熟知平均数、中位数、众数、方差的计算方法，数据较大，正确计算是解答的关键．
56．D
【分析】根据选项内容逐一进行剖析，判断正误即可．
【详解】解：A．九年级某班的英语测试平均成绩是，说明这个班的英语成绩的平均水平是分，并不是每个同学的得分都是分，故此选项A不符合题意；
B．数据4，4，5，5，0的中位数是4，众数是4和5，故选项B不符合题意；
C．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用抽样调查的方式，不能采用全面调查，故选项C不符合题意；
D．若甲、乙两组数据中各有20个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定，说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查、抽样调查的定义、中位数、众数、平均数及方差的意义，理解这些概念是解题的关键．
57．21
【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有7个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念可得答案．
【详解】解：由方差的计算算式可知，这组数据共有7个，且这组数据的平均数为3，
所以这组数据的和为．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了方差的知识，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义．
58．36
【分析】根据标准差求出5个正数的方差，再根据数据经过变形后的方差是原来数据的方差的倍，进行求解即可．
【详解】解：∵5个正数的标准差为2，
∴5个正数的方差为：，
∴另一组数据的方差为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查方差．熟练掌握标准差是方差的算术平方根，以及一组数据经过变形后的方差是原来数据的方差的倍，是解题的关键．
59． 7 3
【分析】根据一组数据的平均数是，方差为，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，进行计算即可．
【详解】解：∵数据的平均数是3，
∴数据的平均数是；
∵数据的方差为，
∴数据的方差是；
故答案为：7，3．
【点睛】本题考查平均数和方差．熟练掌握一组数据的平均数是，方差为，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，是解题的关键。
60．①②
【分析】①根据统计图数据判断即可；②根据数据的波动情况判断即可；③根据众数和中位数的定义判断即可．
【详解】解：①按日接待游客数从高到低排名，2月6日在这14天中排名第4，说法正确；
②记第一周，第二周日接待游客数的方差分别为s12，s22，则s12＞s22，说法正确；
③这14天日接待游客数的众数为2.0千人，中位数为1.90千人，原说法错误．
所以正确结论的序号是①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了折线统计图，涉及中位数，方差，众数等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
61．(1)甲；方差越小稳定性越好，而甲的方差小于乙的方差，所以甲队员的发挥更稳定
(2)7，7，7.5
(3)7
【分析】（1）根据方差的大小与稳定性的大小的关系判断即可；
（2）根据条形统计图确定成绩为7环的次数为4，然后根据平均数的计算公式求解a值即可；观察甲队员成绩环数出现次数最多的即为b值；根据折线统计图以及平均数确定被污染的两个数值的和为15，然后根据众数为8确定被污染的两个值，最后对乙的10次成绩从大到小依次排序，求出第5和第6位数值的平均数即为c值；
（3）根据题意确定乙队员11次射箭成绩的中位数，然后根据中位数是成绩依次排序中的第6位进行判断即可．
【详解】（1）解：∵，
∴甲队员的发挥更稳定，理由是方差越小稳定性越好，而甲的方差小于乙的方差，所以甲队员的发挥更稳定．
（2）解：由条形统计图可得成绩为7环的次数为（次），
∴平均数；且众数；
由折线统计图可得剩余两次的成绩和为，
∵众数为8，
∴剩余两次的成绩为7和8，
将乙的10次成绩从大到小依次排序为，
∴中位数，
∴．
（3）解：由题意知，乙队员11次射箭成绩的中位数为，
即乙的11次成绩从大到小依次排序中第6次成绩为7，
∴，
∴m的最大值为7．
【点睛】本题主要考查了统计图、平均数、众数、中位数以及方差等的知识．解题的关键在于正确的处理统计图中的信息以及平均数、众数、中位数的求解．
62．(1)；或；．
(2)八年级的竞赛成绩更整齐．
(3)人．
(4)八年级的学生知识竞赛成绩更好．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的概念求解即可．
（2）先根据方差的定义计算出七年级的方差，再比较七八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案．
（3）用各年级的人数乘以对应比例，然后相加即可．
（4）平均数相同，中位数和众数都大于平均数，即可得到八年级学生的知识竞赛成绩更好一些．
【详解】（1）解：将七年级的抽样成绩重新排列为：；
∴中位数：，
∴众数：或者，
将八年级的抽样成绩重新排列为：，
∴平均数；
故答案为：，72或79，80
（2）解：七年级的方差是：，
∴，
∴八年级的竞赛成绩更整齐．
（3）解：∵七年级以上所占比例为，八年级分以上所占比例为，
∵(人)
∴这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数人．
（4）解：八年级的学生知识竞赛成绩更好，理由如下：
∵平均数是，八年级的中位数和众数都等于
∴八年级的学生知识竞赛成绩更好．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
答案第1页，共2页
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