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专题4.2 提取公因式法
1、掌握公因式的概念和提公因式法分解因式．
知识点01 提公因式法
【知识点】
知识点一、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式．
特别说明：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式．
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式．
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数．②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的．
知识点二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即．
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式．
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号．
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误．
【典型例题】
1．下列各组中，没有公因式的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．多项式中各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算 B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算
5．一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式 ．
6．因式分解： ．
7．已知，则的值是 ．
8．多项式的公因式是 ．
9．因式分解：
(1)；
(2)；
10．把下列多项式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【即学即练】
11．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（ ）．
A． B． C． D．
12．把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则的值为（　　）
A．100 B．120 C．48 D．140
14．计算： ．
15．已知：，，则的结果是 ．
16．已知长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，其代数式的值为 ．
17．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
(5)；
(6)．
18．（1）计算：；
（2）分解因式：；
题组A 基础过关练
19．把因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
20．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．已知，则当时，的值为（ ）．
A．25 B．24 C．23 D．22
22．下列变形错误的是（ ）
A． B．
C． D．
23．分解因式： ．
24．因式分解 ．
25．因式分解： ．
26．单项式与的公因式是 ．
27．分解因式：．
28．分解因式：．
题组B 能力提升练
29．已知，，则 ( )．
A．5 B． C．1 D．6
30．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
31．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．； B．；
C．； D．；
32．在因式分解练习时，小颖做了道题如下，小颖分解不够到位的一题是（ ）
A． B．
C． D．
33．因式分解： .
34．分解因式： ．
35．已知，则的值为 ．
36．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，其步骤为：第一步：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，
第二步：∵大正方形的面积，
∴大正方形的边长．
第三步：列出方程，解得．
∴方程的正数解为．
小明按此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为 ．
37．先化简再求值：，其中，．
38．
(1)已知，求的值．
(2)先化简，再求值：，其中：．
题组C 培优拔尖练
39．把分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
40．已知，则的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
41．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A． B． C． D．
42．对于任意的有理数,我们规定 ,如 ．求的值为（ ）
A． B． C． D．
43．因式分解： .
44．分解因式： ．
45．已知，则的值为 ．
46．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，其步骤为：第一步：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，
第二步：∵大正方形的面积，
∴大正方形的边长．
第三步：列出方程，解得．
∴方程的正数解为．
小明按此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为 ．
47．阅读下列材料．
形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
(1)；
(2)．
48．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6
问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
(1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程；
(2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　；
发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　；
问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】将每一组因式分解，找公因式即可
【详解】A.，，有公因式，故不符合题意；
B.，，没有公因式，符合题意；
C.，，有公因式，故不符合题意；
D. 与有公因式，故不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键
2．B
【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】解：；
多项式的公因式为
故选B
【点睛】本题主要考查公因式的确定，解决本题的关键是掌握找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
3．C
【分析】利用公因式的定义：数字取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式，判断即可．
【详解】解：在多项式中，各系数的最大公因式为5，相同字母的最低次幂为，
则各项的公因式是．
故选：C．
【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的判断方法是解本题的关键．
4．C
【分析】根据整式的混合运算，结合整式乘法与因式分解定义对题中运算进行判定即可得到答案．
【详解】解：①属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；
②属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；
故选：C．
【点睛】本题考查整式混合运算，涉及平方差公式及提公因式法因式分解，熟练掌握整式乘法及因式分解的定义是解决问题的关键．
5．（答案不唯一）
【分析】根据因式分解的结果，乘以一个单项式即可求解．
【详解】解：∵，
∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的联系，掌握因式分解是解题的关键．
6．
【分析】先找出的公因式，再利用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的方法提公因式法，找出各项的公因式是解题的关键．
7．
【分析】将代数式因式分解，然后代入，即可求值．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．
【分析】多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【详解】解：多项式中，
各项系数的最大公约数是6，
各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1，
所以它的公因式是.
故答案为：．
【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）用提公因式法解答；
（2）用提公因式法解答．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；
（3）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；
（4）直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
11．C
【分析】取数字的最大公约数，字母的最小指数的乘积作为公因式，根据定义解答即可．
【详解】解：，
∴应提取的公因式是，
故选：C．
【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，正确掌握公因式的定义是解题的关键．
12．C
【分析】根据题意可得提取即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
【点睛】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
13．B
【分析】根据长方形的周长及面积可得，，再将变形为，即可求解．
【详解】解：由题意知，，，
则，
因此，
故选B．
【点睛】本题主要考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
14．2023
【分析】运用提公因式法进行简便运算．
【详解】解：
故答案为：2023
【点睛】本题主要考查提公因式法简便运算，熟练掌握运用提公因式法进行因式分解是解决本题的关键．
15．
【分析】先将原式用直接提取公因式法分解因式，再将，代入，即可求出结果．
【详解】解：
，
将，代入，
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直接提取公因式法分解因式以及代数式求值，熟练掌握直接提取公因式法分解因式是解题关键．
16．
【分析】根据长方形的周长及面积得到，，将代数式利用提公因式法分解因式后代入计算即可．
【详解】解：∵长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握因式分解的方法及长方形的周长、面积计算公式是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）提出公因式a即可分解因式；
（2）提出公因式即可分解因式；
（3）提出公因式即可分解因式；
（4）提出公因式即可分解因式；
（5）提出公因式即可分解因式；
（6）提出公因式即可分解因式．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：
；
（6）解：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，利用相反数确定的公因式是解题关键．
18．（1）；（2）
【分析】（1）把单项式分别乘以这个多项式的每一项，再把所得的积相加即可；
（2）先确定公因式，再利用提公因式的方法分解因式即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
【点睛】本题考查的是单项式乘以多项式，利用提公因式的方法分解因式，掌握“整式的乘法与多项式的因式分解”是解本题的关键．
19．D
【分析】根据公因式的概念（多项式各项都含有的相同因式），即可求解．
【详解】由题意得应该提取的公因式是：
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解中公因式的概念，解题的关键是掌握公因式的概念．
20．D
【分析】运用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法（常用提公因式，公式法）是解题的关键．
21．C
【分析】先把变形，再整体代入求值．
【详解】∵，
∴，
，
故选：C
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式变形时解题的关键．
22．A
【分析】去括号，化简即可判断．
【详解】解：A． ，变形错误，故符合题意；
B． ，变形正确，故不符合题意；
C． ，变形正确，故不符合题意；
D． ，变形正确，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查去括号，提公因式，掌握去括号的法则是解题的关键．
23．
【分析】直接利用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了运用提公因式法因式分解，正确确定公因式成为解答本题的关键
24．
【分析】利用提公因式法求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键．
25．
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
26．##
【分析】根据公因式的确定方法：①系数取最小公倍数②字母取公共的字母③字母指数取最小的，即可写出答案．
【详解】解：∵与中都含有，
∴与的公因式为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了公因式的确定，关键是正确把握公因式的确定方法．
27．
【分析】提取公因式x，再分解因式即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握“公因式的确定以及提公因式法分解因式”是解本题的关键．
28．
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，重点是正确确定公因式．
29．B
【分析】将因式分解得到，然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
30．B
【分析】分别根据提公因式法和公式法分解因式，逐个判断即可．
【详解】因为，所以A不正确；
因为，所以B正确；
因为不能根据平方差公式分解，所以C不正确；
因为不能根据完全平方公式分解，所以D不正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解，理解平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
31．C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、，右边不是整式的积的形式，故A不符合题意；
B、是整式的乘法，而且原运算错误．故B不符合题意；
C、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、，右边不是整式的积的形式，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
32．D
【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. ，正确，不符合题意；
D. ，原式分解错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，在因式分解的过程中，有公因式一定要先提公因式，分解一定要分到不能再分解为止．
33．
【分析】根据提公因式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
34．
【分析】根据提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．
35．
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据等式得出系数相等，进而求得，将代数式因式分解然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，正确的计算是解题的关键．
36．
【分析】如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，面积为16，中间小正方形的面积为4，再根据题干信息列方程解题即可．
【详解】解：如图，构建如下图形，大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，
∵，即，
∴且，
解得：，
∴方程的正数解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，因式分解的应用，新定义运算，理解题意，列出准确的一元一次方程是解本题的关键．
37．，
【分析】根据提公因式的方法对代数式进行化简，然后代数求解即可．
【详解】解：
，
将，代入可得，原式．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解．
38．(1)
(2)；
【分析】（1）利用提公因式法将化简，然后将代入计算即可；
（2）利用提公因式法将化简，然后将代入计算即可
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴原式．
（2）解：
，
把，代入，
可得：原式．
【点睛】本题考查了代数式化简求值，提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练运用提公因式法分解因式．
39．B
【分析】将变形为，再提公因式即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化．
40．A
【分析】把分组，每三个数作为一组，再每组提取公因式，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，而
∴
故选A
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，因式分解的应用，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“把要求值的代数式进行分组，再提取公因式分解因式”是解本题的关键．
41．A
【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．
【详解】解：底面积为（b﹣2a）2，
侧面积为a （b﹣2a） 4＝4a （b﹣2a），
∴M＝（b﹣2a）2﹣4a （b﹣2a），
提取公式（b﹣2a），
M＝（b﹣2a） （b﹣2a﹣4a），
＝（b﹣6a）（b﹣2a）
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解，灵活提取公因式是本题关键．
42．A
【分析】根据新规定得出再根据提公因式法分解因式即可得出答案．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键．
43．
【分析】根据提公因式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
44．
【分析】根据提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．
45．
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据等式得出系数相等，进而求得，将代数式因式分解然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，正确的计算是解题的关键．
46．
【分析】如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，面积为16，中间小正方形的面积为4，再根据题干信息列方程解题即可．
【详解】解：如图，构建如下图形，大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，
∵，即，
∴且，
解得：，
∴方程的正数解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，因式分解的应用，新定义运算，理解题意，列出准确的一元一次方程是解本题的关键．
47．(1)
(2)
【分析】（1）仿照材料进行因式分解即可；
（2）令仿照材料进行因式分解得，再将代回可得，同理对进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）令，则可得
，
再将代回，得：
同理：，
即：
【点睛】此题考查了因式分解，弄清阅读材料中的规律是解本题的关键．
48．(1)（1+a）4
(2)（1+a）5；（1+a）n+1；47
【分析】（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
（2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式，
发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论；
问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．
【详解】（1）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（2）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
【点睛】此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想．
答案第1页，共2页
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