资源简介

专题4.3 用乘法公式分解因式
1、掌握平方差公式分解因式；
2、掌握完全平方公式分解因式；
3、综合提公因式法和公式法分解因式；
4、掌握十字相乘法分解因式；
5、掌握分组分解法分解因式；
6、掌握因式分解的应用；
知识点01 掌握平方差公式分解因式
【知识点】
知识点、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式．
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积．
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式．
【典型例题】
例1．
1．一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：，请问正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
例2．
2．分解因式： ．
例3．
3．分解因式：．
【即学即练】
4．将分解因式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则 ．
6．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”．如：①；②；③，因此8，16，24都是“友好数”．
(1)9和32是“友好数”吗？为什么？
(2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数和（k为正整数）的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗？请用因式分解的方法进行说明．
知识点02 掌握完全平方公式分解因式
【知识点】
知识点、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，．
形如，的式子叫做完全平方式．
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍． 右边是两数的和（或差）的平方．
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件．
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式．
【典型例题】
例1．
7．下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．
8．下列各式：①；②；③；④．能用完全平方公式进行因式分解的是 ．（填序号即可）
例3．
9．小张老师在数学课上拿着A，B，C三张硬纸片，上面分别标着a，b，c三个数字．已知，且三个数字各不相同．
(1)若小刚翻开纸片B，发现该数字为0，求代数式的值．
(2)当时，求这三个数字组成的最大三位数．
【即学即练】
10．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
11．两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成；乙因看错了常数项而分解成，则多项式为 ，因式分解后的正确结果应该是 ．
12．阅读材料：教科书中提到“和这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：分解因式：
求代数式的最小值
∵，∴当时，代数式有最小值．
结合以上材料解决下面的问题：
(1)分解因式：；
(2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？
知识点03 综合提公因式法和公式法分解因式
【典型例题】
例1．
13．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．
14．分解因式： ．
例3．
15．因式分解：
(1)
(2)
【即学即练】
16．如果，那么代数式的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
17．把多项式分解因式的结果是 ．
18．在日常生活中，取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法设计的密码．原理是：如：多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，将3个数字按从大到小的顺序排列，于是可以把“400804”作为一个六位数的密码．对于多项式，当时，写出用上述方法产生的密码，并说明理由．
知识点04 十字相乘法
【知识点】
知识点、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
对于二次三项式，若存在，则
特别说明：
（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若，则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止．
知识点、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式（≠0）中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即．
特别说明：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．
【典型例题】
例1．
19．多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为(　　)
A． B． C．或 D．或
例2．
20．已知：其中代表一个常数，则的值为 ．
例3．
21．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由得，；
利用这个式子可以将某些二次项系数是的二次三项式分解因式．
例如：将式子分解因式．
分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：．
请依照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)若可分解为两个一次因式的积，请写出整数的所有可能的值．
【即学即练】
22．如果多项式可分解为，则m，n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
23．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
24．提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：
(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
(2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：
知识点05 分组分解法
【知识点】
知识点、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法．即先对题目进行分组，然后再分解因式．
特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
知识点：添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解．要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形．
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法．
【典型例题】
例1．
25．下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．
26．分解因式： ．
例3．
27．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
【即学即练】
28．如果实数，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
29．当时，代数式
30．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
知识点06 因式分解的应用
【知识点】
知识点：因式分解的解题步骤
因式分解的方法主要有： 提公因式法， 公式法， 分组分解法， 十字相乘法， 添、拆项法等．
特别说明：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次．
【典型例题】
例1．
31．已知，，，那么，代数式的值是（ ）
A． B．2022 C． D．3
例2．
32．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是，例如：，按照这个规定请你计算：当时，的值是 ．
例3．
33．（1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①______．
（2）【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②______．（结果写成整式的积的形式）
（3）【知识运用】已知，，求的值．
【即学即练】
34．若，则代数式的值是（ ）
A．2019 B．2017 C．2024 D．2023
35．若，则的值 ．
36．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得
则
∴
解得：，
∴另一个因式为，m的值为-21．
问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
题组A 基础过关练
37．把多项式分解因式的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
38．将多项式分解因式正确的结果为（　　）
A． B．
C． D．
39．分解因式：，其中□表示一个常数，则□的值是(　　)
A．7 B．2 C． D．
40．等式成立，括号内应填入下式中的（ ）．
A． B． C． D．
41．分解因式： ．
42．分解因式： ．
43．因式分解： ．
44．若，，则 ．
45．因式分解：
(1)．
(2)．
46．计算或因式分解：
(1)计算：；
(2)因式分解：．
题组B 能力提升练
47．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
48．下列因式分解：①；②；③；④，其中结果正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
49．如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．2560 B．490 C．70 D．49
50．若，则的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
51．分解因式： ．
52．当时，代数式的值为 ．
53．已知，则的值为 ．
54．如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为 ．
55．因式分解：
(1)
(2)
56．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，
（第一步）
（第二步）
（第三步）
． （第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．两数和乘两数差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果并不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：______．
(3)请你模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．
题组C 培优拔尖练
57．将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（　　）
A． B．
C． D．
58．已知实数、y、满足：(，下列式子一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
59．对于两个整式，，有下面四个结论：（1）当时，的值为；（2）当时，则；（3）当时，则；（4）当时，则或；以上结论正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
60．小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　）
A． B．4043 C． D．1
61．分解因式： ．
62．已知，则的值是 ．
63．已知（），则代数式 ．
64．若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为，再如，（，y是正整数），所以M也是“丰利数”．若（其中）是“丰利数”，则 ．
65．阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：．
解：原式
即原式
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：
(1)；
(2)．
66．如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的小长方形．
(1)这张长方形大铁皮的长为____，宽为_____；（用含a、b的代数式表示）
(2)求这张长方形大铁皮的面积S；（用含a、b的代数式表示）
(3)若一个小长方形的周长为，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．
2．##
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
3．
【分析】利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
4．D
【分析】9是3的平方，根据平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
5．3
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，，
．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式，掌握非负数的性质是解题的关键．
6．(1)9不是“友好数”，32是“友好数”，理由见解析
(2)两个连续奇数和（k为正整数）的平方差是8的倍数，理由见解析
【分析】（1）根据题中所给定义直接求解即可；
（2）由题意易得，然后进行因式分解即可求解．
【详解】（1）解：9不是“友好数”，32是“友好数”；理由如下：
∵，但是4不是奇数．
∴9不是“友好数”；
∵，是两个连续奇数的平方差，
∴32是“友好数”；
（2）解：∵
∴两个连续奇数和（k为正整数）的平方差是8的倍数．
【点睛】本题主要考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．C
【分析】对每个选项进行因式分解即可做出判断．
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项不符合题意；
C．不能用完全平方公式分解，故选项符合题意；
D．，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．①④##④①
【分析】直接根据公式求解即可．
【详解】，故能用完全平方公式进行因式分解；
，故不能用完全平方公式进行因式分解；
，故不能用完全平方公式进行因式分解；
，故能用完全平方公式进行因式分解；
故答案为：①④.
【点睛】此题考查因式分解，解题关键是完全平方法进行因式分解的公式为．
9．(1)23
(2)410
【分析】（1）先根据可得，再根据整式的加减、完全平方公式化简所求代数式，然后代入求值即可得；
（2）根据分、和三种情况，再分别求出a、b、c的值即可得．
【详解】（1）解：∵纸片表示的数是0，
∴，即，
∴，
，
，
将代入得：原式；
（2）解：∵，且三个数字各不相同，
∴三个数中必有一个为0，
①当时，
∵，
∴（不合题意，舍去）；
②当时，
∵，，
∴，
解得；
③当时，
∵，，
∴，；
综上所述，它们组成的最大三位数是410．
【点睛】本题考查了代数式化简求值、完全平方公式、二元一次方程组的应用，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
10．D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解：运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11． ； ．
【分析】根据题意可将与分别展开后即可求出原多项式．
【详解】解：由题意可知：，
，
∴原多项式为：，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型
12．(1)；
(2)时，最小值为2019．
【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；
（2）将多项式配方后可得结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，，
∴当，，即时，
原代数式有最小值，最小值为2019．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．
13．D
【分析】利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法与公因式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．
16．B
【分析】先提公因式，将原式化为：，进一步整理为：，再将代入，即可得到答案．
【详解】,
，
，
∵，
∴，
，
，
故选：B
【点睛】本题主要考查利用整体代入法求多项式的值，理清题意，对所求多项式进行适当变形是解题的关键．
17．
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
18．，理由见解析
【分析】先将多项式通过提公因式法和公式法进行因式分解后，再将代入每一个因式中计算得到各自的结果，根据阅读材料中取密码的方法，即可得出所求的密码．
【详解】解： ，
当时，，
∴这个密码是：．
【点睛】本题考查的知识点是多项式的因式分解，掌握两种常用的提公因式法和公式法的要点是解题的关键．
19．D
【分析】根据题意将多项式因式分解，即可得出的值，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴或
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
20．
【分析】将因式分解即可解答．
【详解】解：将因式分解，
得：，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的十字相乘法．
21．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；
（3）找出所求满足题意p的值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：原式
；
（3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是：
；；；，
即整数的所有可能的值是：，．
【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．
22．D
【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，先计算多项式乘多项式是解题的关键．
23．
【分析】根据题意，
（1）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；
（2）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；
（3）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；
（4）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数．
【详解】（1）将式子分解因式，
这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，
．
（2）将式子分解因式，
这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，
．
（3）将式子分解因式，
这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，
．
（4）将式子分解因式，
这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，
．
故答案为：（1），（2），（3），（4）．
【点睛】本题主要考查了因式分解－十字相乘法，根据题意可知、是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出、的值是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）把拆成即可；
（2）把拆成，把-14拆成即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．
25．D
【分析】根据因式分解的方法分别判断即可．
【详解】解：A．，正确；
B．，正确；
C．，正确；
D．，原式分解不彻底，故不正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
26．
【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解．
【详解】解：原式，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
28．A
【分析】把已知等式化为，再移项分组分解因式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又a≠b，
∴b+a=-5．
故选A．
【点睛】此题的实质是考查等式的性质和因式分解，关键是已知条件的变形．
29．0
【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解．
【详解】解：∵x=-6，，
∴
=0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键．
30．(1)
(2)
【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
31．D
【分析】先求解，，，再把原式化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
；
故选D．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．
32．
【分析】根据：时，可得：，据此求出的值是多少，进而求出的值是多少即可．
【详解】解：时，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
33．【知识再现】；【知识迁移】；【知识运用】100．
【分析】（1）由题意可知，图1 阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图2剪拼后一个长方形长为，宽为，据此列等式即可得到答案；
（2）由题意可知，图3的体积为大正方形体积减小正方形体积，图4切割拼成的几何体正面面积为，高为，据此列等式即可得到答案；
（3）先利用完全平方公式求出，再根据结论对进行变形，即可计算求值．
【详解】（1）【知识再现】解：根据题意可得：，
故答案为：；
（2）【知识迁移】解：根据题意可得：，
故答案为：；
（3）【知识运用】，，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用数形结合的方法解决问题是解题关键．
34．D
【分析】把所给代数式变形后把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选D．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．
35．1
【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．
【详解】解：，
原式
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大．
36．(1)另一个因式，a的值为5
(2)另一个因式为，p的值为15
【分析】（1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得b和k．
（2）设另一个因式是，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m和p．
【详解】（1）解：设另一个因式为
则
∴
解得：，
另一个因式，a的值为5
（2）解：设另一个因式为，
得，
则
∴
解得：，
∴另一个因式为，p的值为15．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键．
37．D
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解可得．
【详解】解：原式
．
故选：D．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提取公因式的方法和公式是解题的关键．
38．C
【分析】二次项系数看成，常数项看成，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查了用十字相乘法分解因式，正确理解因式分解的定义，注意各项系数的符号是解题的关键．
39．C
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：，
∴表示，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
40．A
【分析】利用平方差公式的结果判断即可．
【详解】
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用；熟练运用公式并正确处理负号是解题的关键．
41．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
42．
【分析】把多项式分成两部分，分别利用公式法和提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式
．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的分组分解法，熟练运用公式法和提取公因式法，把多项式的每一项正确分组是解决问题的关键．
43．
【分析】利用完全平方公式即可因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用完全平方公式是解决本题的关键．
44．
【分析】先把分解因式，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用因式分解求解代数式的值，掌握“提公因式的方法分解因式”是解本题的关键．
45．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法的综合运用．
46．(1)
(2)
【分析】（1）根据积的乘方，单项式除以单项式的运算法则计算即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式分解因式，正确计算是解题的关键．
47．B
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
48．B
【分析】根据因式分解逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①，故①不正确；
②，故②正确；
③，故③正确；
④，故④正确,
∴正确的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
49．B
【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出．将其代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键．
50．A
【分析】把左边利用因式分解变形，和右边比较即可求出n的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
51．##
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
52．
【分析】将所求式子因式分解，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了代数式求值，因式分解，正确将原式变形得出是解题关键．
53．1
【分析】先提出前两项的公因式，原式可变形为，再把代入，可得，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：1．　
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．
54．490
【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出．将其代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，
∴．
故答案为：490
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．
55．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
56．(1)C
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式的特点即可得到答案；
（2）因式分解最后一步还可以利用完全平方公式分解因式，据此求解即可；
（3）设，然后仿照题意分解因式即可．
【详解】（1）解：由题意得，第二步到第三边运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选C；
（2）解：解：设，

，
故答案为：；
（3）解：设，
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
57．C
【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．
【详解】A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．
58．D
【分析】先将原式展开，然后重组后配方得到，从而得到正确的选项．
【详解】解：根据题意
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】考查了因式分解的应用，解题的关键是能够将原式进行适当的变形，难度不大．
59．C
【分析】将代入代数式即可判断（1）计算，又根据平方根的定义即可判（2），利用因式分解即可判断（3）（4）．
【详解】解：
（1）当时，,故（1）正确；
（2）∵
又当时，
∴，故（2）不正确
（3）∵，
当时，则；故（3）正确
（4）∵
当时，
则
∴
即
∴或，故（4）正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解题的关键．
60．C
【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：展开可得：
展开可得：
∴
故选C
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．
61．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解．
【详解】解：原式，
故答案为．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
62．
【分析】利用完全平方公式进行计算即可求得和的值，再将利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
，
，
又，
，
．
．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式，注意整体带入的思想．
63．6
【分析】先将变形为，再根据得出即，最后对进行因式分解即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
64．
【分析】先把变形，然后根据是“丰利数”，得出是一个完全平方式，即可求解．
【详解】解：
，
∵是“丰利数”，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确理解新概念“丰利数”是解题的关键．
65．(1)
(2)
【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．
66．(1)，
(2)
(3)，，
【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为，宽为；
（2）根据长方形面积公式即可求出面积表达式；
（3）根据题意列出方程，联立求值．
【详解】（1）解：这张长方形大铁皮长为厘米，宽为厘米；
故答案为：，；
（2）根据题意得：
（平方厘米）；
（3）根据题意得：，，
整理得：，，
解得：，
，，
，
则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，解答本题的关键是理解题意，列出等式方程．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑