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专题3.6 同底数幂的除法
1、掌握同底数幂的除法运算法则；
2、掌握同底数幂的除法运算的逆运算；
知识点01 同底数幂的除法运算
【知识点】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算．
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式．
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质．
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式．
【典型例题】
（四川省南充市2022－2023学年八年级上学期期末数学试题）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023春·江苏·七年级专题练习）
2．已知，，则代数式值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
（2023·全国·九年级专题练习）
3． ．
（2023春·七年级课时练习）
4．已知，，则 ．
（2023春·江苏·七年级专题练习）
5．根据已知求值．
(1)已知，求m的值．
(2)已知，求的值．
(3)已知，求的值．
【即学即练】
（2023秋·广东广州·八年级统考期末）
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）
7．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·九年级专题练习）
8．计算： ； ； ； ； ；
（2023春·全国·七年级专题练习）
9．下列运算：①； ②； ③； ④；⑤，其中错误的是 ．（填写序号）
（2023春·七年级课时练习）
10．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
知识点02 同底数幂的除法的逆运算
【典型例题】
（2023春·七年级单元测试）
11．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·七年级课时练习）
12．若，则的值是（　　）
A． B．9 C． D．
（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）
13．若，则 ；当时，则 ．
（2023春·七年级课时练习）
14．正整数，那么除以3的余数是 ．
（2023春·七年级课时练习）
15．已知，，用含，的式子表示下列代数式：
(1)求： 的值；
(2)求：①的值；
②已知，求的值．
【即学即练】
（2023春·全国·七年级专题练习）
16．已知，，则（　　）
A． B．1 C． D．
（2022秋·八年级课时练习）
17．若，，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）
18．已知，，则的值为 ．
（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）
19．已知，m，n为正整数，则＝ ．（用含a，b的式子表示）
（2023春·七年级课时练习）
20．已知，若实数a、b、c满足等式，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求出、、之间的数量关系．
题组A 基础过关练
（2023秋·河南周口·八年级统考期末）
21．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·江苏·七年级专题练习）
22．计算的结果是（　　）
A．m B．m2 C．m3 D．m5
（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）
23．若，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
（2023秋·山西朔州·八年级校考期末）
24．若且，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）
25．计算： ．
（2023秋·广东广州·八年级统考期末）
26．若，，则 ．
（2023春·七年级课时练习）
27．已知：，，则 ．
（2022春·河北邢台·七年级统考期中）
28．（1）计算： ．
（2）若，，则的值为 ．
（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）
29．计算：
(1)；
(2)．
（2023春·七年级课时练习）
30．若（，，，都是正整数），则，利用上面结论解决下面问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
题组B 能力提升练
（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）
31．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·七年级课时练习）
32．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）
33．若，，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．15
（2023春·七年级课时练习）
34．下列计算中正确的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023·全国·九年级专题练习）
35．计算： ．
（2023春·江苏·七年级专题练习）
36．若，，则 ．
（2023秋·河北保定·八年级校考期末）
37．已知，，则的值为 ．
（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）
38．已知，，则 ， ．（请用含有a，b的代数式表示）
（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）
39．（1）已知，用含有的代数式表示．
（2）已知，求的值．
（2023春·七年级课时练习）
40．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接写出字母、、之间的数量关系为______．
题组C 培优拔尖练
（2023春·七年级课时练习）
41．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．25 D．
（2023春·七年级课时练习）
42．已知，，则（　　）
A．3 B．18 C．6 D．1.5
（2023春·七年级课时练习）
43．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2023春·七年级课时练习）
44．已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（ ）
A． B． C．11 D．19
（2023春·江苏·七年级专题练习）
45．已知：，，求的值为 ．
（2023春·七年级课时练习）
46．如果，那么x的值为 ．
（2023春·七年级单元测试）
47．若，则的值为 ．
（2022秋·河南周口·八年级统考期末）
48．已知，，则代数式值是 ．
（2023春·江苏·七年级专题练习）
49．(1)若，求的值；
(2)已知，，求y的值；
(3)若为正整数，且，求的值．
（2023春·七年级单元测试）
50．阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，，则，
∴，由对数的定义得
又∵，
∴．
请解决以下问题：
(1)将指数式转化为对数式_______；
(2)求证：；
(3)拓展运用：计算______．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据积的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．
2．B
【分析】根据可以得到然后再根据即可得到结果．
【详解】解：
两式相减，可得
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
3．
【分析】首先变形化为同底数幂，再利用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4．
【分析】根据幂的乘方求出，，再根据同底数幂的除法即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的除法，解题的关键是掌握幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
5．(1)3
(2)
(3)8
【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂相乘，可得，从而得到，即可求解；
（2）根据同底数幂相除的逆运用，以及幂的乘方的逆运算，即可求解；
（3）根据题意可得，再由据幂的乘方和同底数幂相乘法则，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵，
∴，
则．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法及其逆运用、幂的乘方及其逆运用、同底数幂相除及其逆运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．C
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
7．D
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法法则分别计算即可．
【详解】解：A．，故错误，选项不符合题意；
B．，故错误，选项不符合题意；
C．，故错误，选项不符合题意；
D．，故正确，选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法，掌握相关的法则是解题的关键．
8．
【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方法则计算即可．
【详解】解：；
；
；
；
；
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方法则是解答本题的关键．
9．①②③⑤
【分析】根据积的乘方、同底数幂乘法和除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：①，故①符合题意；
②，故②符合题意；
③，故③符合题意；
④，故④不符合题意；
⑤，故⑤符合题意；
综上分析可知，错误的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）按照同底数幂除法的法则计算即可；
（2）按照同底数幂除法的法则计算，再按照积的乘方法则计算；
（3）先将化为，再按照同底数幂的除法法则计算；
（4）先按照幂的乘方法则计算，再按照同底数幂的除法法则计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查同底数幂的除法的运算法则，正确计算是解题的关键．
11．C
【分析】利用同底数幂除法和幂的乘方的逆运算法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算法则是解本题的关键．
12．B
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．
【分析】根据同底数幂相除的逆运算可得；根据幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则可得，再代入已知条件即可求解．
【详解】由，可得，
由，可得，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考场整式的乘除运算，熟练掌握相应的运算法则和逆运算是解题的关键．
14．2
【分析】先求出除以3的余数是0，再得到时，除以3的余数是2，依此即可得到除以3的余数．
【详解】解：∵，
∴除以3的余数是0，
由知：
当时，,除以3的余数是2，
∴除以3的余数是2，
即除以3的余数是2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同余问题，解题的关键是变形为．
15．(1)
(2)①；②
【分析】（1）分别将，化为底数为2的形式，然后代入求解即可；
（2）①分别将，化为底数为2的形式，然后代入求解即可；
②将化为，将16化为，列出方程求出x的值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
16．D
【分析】根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用变形，并代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用是解决此题的关键．
17．B
【分析】先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘除法的逆运算，代数式求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．##1.25##
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】解：，
，
则
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，逆用法则是解决本题的关键．
19．
【分析】逆运用幂的乘方公式对已知式子变形后，再逆运用同底数幂的除法计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查幂的乘方公式和同底数幂的除法．熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接逆用同底数幂的乘法和幂的乘方计算；
（2）直接逆用同底数幂的除法和幂的乘方计算；
（3）先用同底数幂的乘法求出的值，再判断其与的关系．
【详解】（1）．
（2）．
（3）∵，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂的运算和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21．B
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法和单项式乘以单项式法则依次运算判断．
【详解】A．不能合并，故错误；
B．，故正确；
C．，故错误；
D．，故错误．
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法和单项式乘以单项式，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．
22．A
【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，底数不变，指数相减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
23．B
【分析】根据同底数幂除法的计算法则进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法，熟知同底数幂除法的计算法则是解题的关键，注意同底数幂除法指数是相减．
24．D
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则即可求解．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
25．
【分析】直接根据同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减．
26．2
【分析】根据同底数幂的除法进行计算即可．
【详解】解：∵，，
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是解决本题的关键．
27．##
【分析】根据同底数幂相除的逆运算，即可求解．
【详解】解：当，时，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆运算，熟练掌握同底数幂相除的逆运算法则是解题的关键．
28． 6
【分析】（1）根据单项式乘单项式的法则计算即可；
（2）逆用同底数的除法法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）∵，，
∴，
∴．
故答案为：，6．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，同底数的除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据整式的除法法则，加减法法则即可求解；
（2）根据积的乘方，整式的乘法法则即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查整式的乘法法则，掌握整式的乘法法则是解题的关键．
30．(1)
(2)
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法与除法，掌握同底数幂的乘法与除法法则是解题的关键．
31．B
【分析】根据同底数幂的乘方、乘法及除法与合并同类项依次计算判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算正确，符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查同底数幂的乘方、乘法及除法与合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
32．D
【分析】根据逆用同底数幂的除法进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
33．A
【分析】根据同底数幂的除法进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．
34．C
【分析】根据同底数幂的除法运算法则判断①，根据合并同类项法则判断②，根据单项式乘单项式的运算法则判断③，根据单项式除以单项式的运算法则判断④，根据幂的乘方运算法则判断⑤，根据负整数指数幂运算法则判断⑥．
【详解】解：，故①不符合题意；
与不是同类项，不能合并计算，故②不符合题意；
，原计算正确，故③符合题意；
，原计算正确，故④符合题意；
，故⑤不符合题意；
，故⑥符合题意；
正确的是③④⑥，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），同底数幂的除法（底数不变，指数相减），幂的乘方运算法则是解题关键．
35．
【分析】先算幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，再合并同类项．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟记“幂的乘方、同底数幂的乘法和同底数幂的除法的运算法则”是正确解答本题的关键．
36．
【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
37．4
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法计算即可．
【详解】 ，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查幂的乘方以及同底数幂的除法计算，熟记幂的运算法则是解答本题关键．
38． ##
【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴；
．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则．
39．（1）；（2）
【分析】（1）同底数幂的乘法运算法则的逆用即可求出的表达式；
（2）根据整式的除法的运算法则，负指数幂的运算法则列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴
（2）∵
∴
∴
∴,
∴,
解得：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，整式的除法法则，负指数幂的运算法则，掌握对应法则是解题的关键．
40．(1)9
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘、除法逆运算进行解答即可；
（3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论．
【详解】（1）解：∵=3，
∴；
（2）解：∵=3，=8，=72，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
41．D
【分析】根据同底数幂的乘除法和幂的乘方公式进行转化，再整体代入计算即可解答．
【详解】解：，，
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方运算的逆用，关键是灵活应用同底数幂的乘除法和幂的乘方公式进行变形．
42．A
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．
【详解】解：当，时，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
43．A
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵，，
∴
故选：A
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
44．B
【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算即可得出结果．
【详解】解：x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=．
故选:B．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
45．4
【分析】逆用同底数幂除法和幂的乘方的法则即得，法则是同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握同底数幂除法和幂的乘方运算法则，是解题关键．
46．
【分析】利用同底数幂的除法算出等式左边的值，再解一元一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴原方程可变形为．
∴．
解得：．
经检验：是原方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，以及解一元一次方程．熟练掌握同底数幂的除法法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
47．2
【分析】先化为同底数幂，再根据同底数幂相乘、同底数幂相除的法则，计算即可．
【详解】解：9a 27b÷81c=9
∴2a+3b 4c=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方，解题的关键是化为同底数幂后再计算．
48．
【分析】利用幂的乘方与同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对所给的条件进行整理，从而可求得a，b的值，再求所求的式子的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴
＝
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
49．(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法与除法的逆运算进行计算即可求解；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算即可求解；
（3）根据就的乘方进进行计算即可求解．
【详解】（1），
，
，
，
解得；
（2），
，
；
（3），
．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
50．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．
（2）根据指数与对数的关系求证．
（3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解．
【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：．
故答案为：．
（2）解：设，则，
∴．
∴．
∴．
（3）解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键．
答案第1页，共2页
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