资源简介

专题3.7 整式的除法
1、掌握单项式除以单项式的除法运算；
2、掌握多项式除以单项式的除法运算；
知识点01 计算单项式除以单项式
【知识点】
1、单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
【典型例题】
例1
（2022秋·河北保定·八年级校考期末）
1．已知，则的值为（ ）
A．6 B．36 C．12 D．3
例2
（2023春·八年级课时练习）
2．计算的结果是 ．
例3
（2023春·七年级课时练习）
3．计算
(1)；
(2)．
【即学即练】
（2023春·七年级课时练习）
4．若，则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）
5．如果三角形的面积为，且其中一边的长为，则这条边上的高为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）
6．计算： .
（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）
7．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
（2023春·全国·七年级专题练习）
8．数学老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小明说：“老师给出的条件是多余的．”小亮说：“不是多余的．”你同意谁的说法？为什么？请给出推理过程．
知识点02 计算多项式除以单项式
【知识点】
1、多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【典型例题】
例1
（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）
9．已知与一个多项式的积是，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
例2
（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）
10．已知多项式除以一个多项式，得商式为，余式为，求这个多项式是 ．
例3
（2020秋·河南新乡·八年级校考期中）
11．计算
(1)
(2)
(3)先化简，再求值：，其中．
【即学即练】
（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）
12．已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（　　）
A． B． C． D．
（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期末）
13．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·吉林白山·八年级校考期末）
14．多项式A与单项式的积为，则多项式A为 ．
（2023春·七年级课时练习）
15．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）
16．如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为．
(1)求原来长方形纸板的长；
(2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？
题组A 基础过关练
（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）
17．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·全国·七年级专题练习）
18．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
（2023春·全国·八年级专题练习）
19．（ ），则括号内应填的代数式（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）
20．已知-4a与一个多项式的积是，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）
21．计算： ．
（2021秋·陕西汉中·八年级统考期中）
22．一个长方形的面积为平方米，长为米，则它的宽为 米．
（2023春·七年级课时练习）
23．用篱笆围一个面积为的长方形花圃，其中一条边长为，则与这条边相邻的边长为 ．（用含a的代数式表示）
（2021秋·福建厦门·八年级厦门市第九中学校考期中）
24．计算：（xy）2＝ ．（﹣m2）3＝ ．2a （﹣3b）＝ ．（a6﹣2a3）÷a3＝ ．
（2023秋·广东广州·八年级统考期末）
25．（1）计算：；
（2）计算：．
（2022秋·河南南阳·八年级校联考期末）
26．先化简，再求值：，其中，．
题组B 能力提升练
（2023秋·福建龙岩·八年级统考期末）
27．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期末）
28．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·四川遂宁·八年级校考期中）
29．若多项式与单项式的乘积为，则为（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·七年级课时练习）
30．若多项式N与的积为，则（ ）
A． B． C． D．
（2023春·七年级课时练习）
31．计算 ．
（2023秋·辽宁大连·八年级统考期中）
32．与单项式的积是的多项式是 ．
（2022春·四川达州·八年级统考期末）
33．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为2的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是a，另一条边长是 ．
（2023春·七年级课时练习）
34．已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ．
（2021春·重庆南岸·七年级重庆市第十一中学校校考期中）
35．先化简再求值：求代数式的值，其中．
（2022春·七年级校考期中）
36．计算
(1)填空：
①______；
②______．
(2)先化简，再求值：，其中．
题组C 培优拔尖练
（2022秋·八年级课时练习）
37．已知，给出四个代数式，其中有一个代数式与其余代数式的化简结果不相等，则这个代数式是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
（2023春·全国·七年级专题练习）
38．若定义 表示， 表示，则运算÷的结果为（　　）
A． B． C． D．
（2023春·全国·七年级专题练习）
39．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为2的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是a，另一条边长是（ ）
A． B． C． D．
（2022春·福建厦门·七年级厦门双十中学校考期中）
40．将一正方形按如图方式分成个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
（2019秋·安徽芜湖·八年级统考期末）
41．如图，有一种长方形纸片，长为a，宽为b(a>b)，现将这纸片挖出一定的方式拼成长方形ABCD，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，设这两块阴影部分的面积为S.若当BC的长改变时，保持S不变，则 .
（2020秋·七年级单元测试）
42．小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有三种地砖可供选择，请问需要砖 块，砖 块，砖 块.
（2020春·山东烟台·六年级统考期中）
43．如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一边为a，另一边长是 ．
（2022·四川成都·统考二模）
44．如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么一共需要 个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）．
（2022秋·吉林白城·八年级校考期中）
45．如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片．
(1)计算剩余部分（即阴影部分）的面积．
(2)求出当，时的阴影面积．
（2022秋·全国·八年级专题练习）
46．我们知道整数a除以整数b（其中），可以用竖式计算，例如计算可以用整式除法如图：
所以．
类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：
①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算．
可用整式除法如图：
所以除以商式为，余式为0
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)　 　．
(2)，商式为　 　，余式为　 　．
(3)若关于x的多项式能被三项式整除，且a，b均为整数，求满足以上条件的a，b的值及商式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据积的乘方，单项式与单项式的除法法则把左边化简后可得答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，以及单项式与单项式的除法法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．
【分析】利用单项式除以单项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式除以单项式．熟练掌握单项式除以单项式的法则，是解题的关键．
3．(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．C
【分析】直接利用单项式除以单项式运算法则求解即可．
【详解】解：∵，
，
∴括号内应填的代数式是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了单项式的乘除运算，正确理解整式乘除的运算法则是解题关键．
5．D
【分析】根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】∵三角形的面积为，且其中一边的长为，
∴这条边上的高为，
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
6．
【分析】先算积的乘方，再算乘法，最后算除法即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查整式混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
7．
【分析】根据幂的乘方，单项式的乘除法计算即可解答
【详解】，
故答案为：
【点睛】本题考查了幂的乘方，单项式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键
8．同意小亮的说法，理由见解析
【分析】先根据单项式乘以多项式、合并同类项计算括号内的，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：同意小亮的说法，理由如下，
；
结果与无关，条件是多余的
当时，原式，
∴小亮的说法正确．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，单项式除以单项式，整式的加减，正确的计算是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意列式，应用多项式除以单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式除法，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式运算法则，准确计算．
10．
【分析】根据整式的加减运算及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】由题意可知：
故答案为：
【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算以及加减运算．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据多项式乘以多项式，完全平方公式进行化简；
（2）根据平方差公式与单项式乘以多项式进行计算即可求解．
（3）根据平方差公式与完全平方公式进行化简，然后根据多项式除以单项式进行计算，最后将字母的值代入求值即可求解．
【详解】（1）原式=
；
（2）原式=
；
（3）原式=
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，掌握乘法公式以及整式的混合运算的运算法则是解题的关键．
12．C
【分析】根据多项式除以单项式的法则运算即可求得．
【详解】解：∵长方形的面积为，如果它的一边长为，
∴；
∴它的另一边长为：；
故选．
【点睛】本题考查的是多项式除以单项式，熟记对应法则是解题的关键．
13．A
【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法和乘法，熟练掌握法则是解本题的关键．
14．
【分析】直接利用多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵多项式A与单项式的积为，
∴多项式A为：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．
【分析】直接利用多项式除以单项式的运算法则计算得出答案．
【详解】由题意可得，所捂多项式是：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．(1)厘米
(2)平方厘米
【分析】（1）根据长方体的体积公式进行计算即可；
（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
厘米，
厘米，
答：这张长方形纸板的长为厘米；
（2）解：
（平方厘米），
答：一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式和表面积公式是解题的关键．
17．D
【分析】根据整式的加法，乘法，除法运算法则，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．A
【分析】将看成整体，利用单项式除以单项式的法则运算即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键．
19．C
【分析】根据单项式除以单项式法则计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：括号内应填的代数式为
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
20．D
【分析】根据-4a与一个多项式的积是得出这个多项式为，计算即可．
【详解】解：根据题意得这个多项式为：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，是解题的关键．
21．##
【分析】根据多项式除以单项式的法则化简计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是多项式除以单项式的法则，熟记对应法则是解题的关键．
22．##
【分析】根据长方形的面积等于长与宽的乘积即可求出它的宽．
【详解】解：∵长方形的面积为平方米，长为米，
∴它的宽为米，
故答案为：
【点睛】此题考查了多项式除以单项式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．##
【分析】由长方形的面积求法可知由一边乘以另一边而得，则本题由面积除以边长可求得另一边．
【详解】解：另一边长为：．
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的除法，依据长方形面积公式，边长乘以边长，而求边长即为面积除以其中一个边长而得．
24． x2y2 ﹣m6 -6ab a3﹣2##－2+a3
【分析】根据单项式的乘法，积的乘方、幂的乘方的性质，多项式除以单项式分别计算求解即可．
【详解】解：（xy）2＝x2y2；
（﹣m2）3＝﹣m6；
2a （﹣3b）＝-6ab；
（a6﹣2a3）÷a3＝a6÷a3﹣2a3÷a3= a3﹣2．
故答案为：x2y2；﹣m6；-6ab；a3﹣2．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，积的乘方、幂的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
25．（1）；（2）
【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可；
（2）根据平方差公式，多项式乘以单项式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，平方差公式，多项式乘以单项式，正确计算是解题的关键．
26．，
【分析】根据多项式乘以多项式，完全平方公式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再把，代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，完全平方公式，多项式除以单项式，正确化简是解题的关键．
27．A
【分析】根据幂的运算法则和整式的除法法则对各选项进行计算，即可作出判断．
【详解】解：A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
28．A
【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法和乘法，熟练掌握法则是解本题的关键．
29．D
【分析】先根据题意列出算式，再根据整式的除法法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，可得，
则
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了整式的除法，解题的关键是根据题意列出算式，再根据整式的除法法则进行计算．
30．B
【分析】根据乘除是互逆运算，得出，然后根据多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：根据题意，得
，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式法，熟练掌握多项式除以单项式法法则是解题的关键．
31．
【分析】用多项式的每一项分别去除以多项式，注意不要忘记每一项的符号；再根据单项式除以单项式的运算法则进行计算，最后把所得的商相加即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查多项式除单项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
32．
【分析】根据题意求即可得出答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的除法，掌握除法法则是解题的关键．
33．##
【分析】先求出剩余部分的面积为：，再由面积相等，即可求解．
【详解】∵边长为的正方形的面积为，边长为的正方形的面积为，
∴减去正方形后剩余部分的面积为：，
∵长方形的宽为，
∴长方形的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，多项式除以单项式．能够通过所给正方形和长方形的面积关系进行求解是解题的关键．
34．
【分析】根据题意可得，从而求出B，然后再计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
35．；
【分析】根据完全平方公式，多项式乘以多项式计算括号内的，然后计算单项式除以单项式，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，正确的计算是解题的关键．
36．(1)；
(2)，
【分析】（1）①先算同底数的幂相乘，再合并同类项；
②先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式的除法；
（2）先展开，再合并同类项，化简后将x=2代入即可．
【详解】（1）解：①；
②；
（2）解：
，
当x=2时，
原式
=4-6-1
=-3．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
37．B
【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则，单项式除单项式的法则进行计算．
【详解】解：①，
②，
③，
④，
故化简结果与其余代数式不一样的是②．
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则，积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则，单项式除单项式的法则，解题关键是熟记法则并灵活运用．
38．A
【分析】先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．
【详解】解：由题意可得：
==．
故选A．
【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．
39．A
【分析】先求出剩余部分的面积为：，再由面积相等，即可求解．
【详解】解：∵边长为的正方形的面积为，边长为的正方形的面积为，
∴减去正方形后剩余部分的面积为：，
∵长方形的宽为，
∴长方形的长为：．
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，多项式除以单项式．能够通过所给正方形和长方形的面积关系进行求解是解题的关键．
40．C
【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据大正方形的四条边都相等列出方程得到a、b的关系，然后求出中间竖排的长方形的个数，再加上、下横排的长方形即可．
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
根据题意得，2a+2b=3a，
整理得，a=2b，
∴竖排的一行的长方形的个数为3a÷b=（3×2b）÷b=6，
∴n=3×2+6×2=6+12=18．
故选：C．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，根据正方形的边长列式求出长方形的长与宽的关系是解题的关键．
41．3
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【详解】如图，
左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，
∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，
∴阴影部分面积之差S=AE AF-PC CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，
则3b-a=0，即a=3b．
∴3.
故答案为3．
【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
42． 0 8 2
【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要A、B、C三种砖的数量即可补修好破损部分房屋地板.
【详解】解：根据题意得：破损的总面积=
计算每一块A、B、C三种砖的面积为：A砖的面积=a2；B砖的面积=ab；C砖的面积=b2
∴
需要A、B、C三种砖分别为：0，8，2块.
故答案为0，8，2 .
【点睛】本题关键是求出破损的面积以及A、B、C三种砖每一块砖的面积，同时需要注意本题要求的是求出共需要这三种砖各多少块即可以补修好破损的地板．
43．a+8
【分析】先求出剩余部分的面积为：（a+4）2﹣16＝a2+8a，再由面积相等，即可求解．
【详解】解：∵边长为（a+4）的正方形的面积为（a+4）2，边长为4的正方形的面积为16，
∴减去正方形后剩余部分的面积为：（a+4）2﹣16＝a2+8a，
∵长方形的宽为a，
∴长方形的长为：（a2+8a）÷a＝a+8，
故答案为：a+8．
【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，多项式除以单项式．能够通过所给正方形和长方形的面积关系进行求解是解题的关键．
44．28
【分析】计算出图1几何体的容积是图2几何体的容积的几倍即可．
【详解】解：图1几何体的容积为：π×（）2×h+π×a2×；
图2几何体的容积为：π×（）2×h=，
则需要杯子的个数：（个），
所以需要这样的杯子28个．
故答案为：28.
【点睛】考查圆柱体容积的计算方法，掌握圆柱体容积的计算公式是正确计算的前提．
45．(1)6ab+8a+6-2
(2)105
【分析】（1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可；
（2）将，代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：由题意，得
；
（2）解：当，时，
．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
46．(1)；
(2)，；
(3)， 商式为
【分析】（1）根据题意列出竖式解答即可；
（2）根据题意列出竖式解答即可；
（3）列出竖式结合已知可得：，求出a与b即可．
【详解】（1）
故答案为：；
（2）
，商式为，余式为
故答案为，；
（3）
∵多项式能被三项式整除，
∴，，
∴，， 商式为
【点睛】本题考查整式的除法；理解题意，仿照整数的除法列出竖式进行运算是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑