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专题18.1 平行四边形
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；
2．掌握平行四边形的判定定理；
3．会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题；
4. 掌握三角形中位线的概念与其性质定理，并能用其进行计算和证明。
知识点01 平行四边形的性质
【知识点】
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD表示为“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：
（1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
【知识拓展1】平行四边形的性质
例1．
（2022·四川乐山·八年级期末）
1．已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ）
A．其对边相等 B．其对角线相互平分
C．其对角相等 D．其对角线互相垂直
【即学即练】
（2021·四川宜宾·中考真题）
2．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
【知识拓展2】利用平行四边形的性质求角度、长度、面积
例2．
（2022·陕西碑林·九年级期中）
3．如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【即学即练】
（2022·常熟市八年级月考）
4．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（　　）
A．150° B．40° C．80° D．90°
（2022·浙江八年级期中）
5．在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为 ．
【知识拓展3】利用平行四边形的性质求坐标
例3．
（2022·广东·深圳八年级期中）
6．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（　　）
A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)
【即学即练】
（2022·广西·八年级期中）
7．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，，，，则顶点的坐标是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【知识拓展4】平行四边形中的翻折问题
例4．
（2022·绵阳市·八年级专题练习）
8．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
【即学即练4】
（2022·安徽阜阳市·九年级期末）
9．如图，在 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
【知识拓展5】平行四边形性质的综合（多结论问题）
例5．
（2022·山东济南市·八年级期末）
10．如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练】
（2022·山东泰安市·九年级期末）
11．如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．个
B．个
C．个
D．个
【知识拓展6】平行线间距离的应用
例6．
（2022·广东广州市·九年级模拟）
12．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是 ．
【即学即练】
（2022·广西桂林市·七年级期末）
13．如图，若表示三角形的面积，表示三角形的面积，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 平行四边形的判定
【知识点】
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。
2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。
3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。
4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。
5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。
【知识拓展1】平行四边形的判定
例1．
（2022·山东·八年级期末）
14．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
【即学即练1】
（2022·广东·八年级课时练习）
15．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
（2022·湖北远安·八年级期末）
16．如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
【知识拓展2】添加一个条件成为平行四边形
例2．
（2022·绵阳市八年级专题练习）
17．如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
（2022·山东·宁津县八年级期末）
18．如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展3】证明四边形是平行四边形
例3．
（2022·山西八年级专题练习）
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
【即学即练3】
（2021·四川内江·中考真题）
20．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【知识拓展4】利用平行四边形的性质与判定求解
例4．
（2022·吉林长春市·八年级月考）
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，交于点O．
(1)求证：与互相平分；
(2)若，求的长．
【即学即练4】
（2022·广东·八年级期中）
22．如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（　　）
A．5 B．2 C．2 D．3
【知识拓展5】利用平行四边形的性质与判定证明
例5．
（2022·上海九年级专题练习）
23．已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．
（1）求证：∥；
（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．
【即学即练】
（2022·辽宁旅顺口·八年级期中）
24．如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．
（1）探究与的数量关系，并证明；
（2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论．
【知识拓展6】平行四边形中的动态问题
例6．
（2022·陕西榆林市·八年级期末）
25．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AD方向以每秒1cm的速度向终点D运动，连接PO，并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
(1)求BQ的长（用含t的代数式表示）；
(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；
(3)当时，点O是否在线段AP的垂直平分线上？请说明理由．
【即学即练】
（2022·湖南邵阳市·九年级期末）
26．如图，在中，，，，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间．
(1)当t为何值时，△PAQ是等边三角形．
(2)当t为何值时，△PAQ为直角三角形．
（2022·广东惠城·八年级期末）
27．如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，点D从点C出发沿CA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤60）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
知识点03 三角形的中位线定理
【知识点】
三角形的中位线定理：
1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。
【知识拓展1】与中位线相关的计算问题
例1．
（2022·福建·九年级期中）
28．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【即学即练】
（2022·山东潍坊市·八年级期末）
29．如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展2】三角形的中位线与面积
例2．
（2022·长春市格致中学九年级期末）
30．如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为 ．
【即学即练】
（2021·四川内江·中考真题）
31．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展3】与中位线相关的证明问题
例3．
（2022·山东烟台市·八年级期末）
32．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
【即学即练3】
（2022·山东东平八年级阶段练习）
33．如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：
（2）如图2，中，，求线段EF的长．
题组A 基础过关练
（2022·贵州铜仁市·八年级期末）
34．如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（ ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④
（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）
35．在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）
A．24（2022·上海九年级专题练习）
36．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
（2022·重庆江北区·字水中学九年级月考）
37．下列命题是假命题的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2022·河南·淅川县九年级期中）
38．如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2022·湖南长沙·九年级期末）
39．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
（2022·四川成都市·八年级期末）
40．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 ．
（2022·渝中区·重庆九年级期末）
41．已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．
（1）求证：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
（2022·江苏盐城市·八年级期末）
42．如图，在中，，．

（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点D；
②作边的中点E，连接；
（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．
（2022·黑龙江肇源·八年级期末）
43．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
题组B 能力提升练
（2022·山东青岛市·八年级期末）
44．如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．
C． D．
（2022·山东潍坊市·八年级期末）
45．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
（2022·广东梅州市·九年级期末）
46．点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是 ．
（2022·北京·人大附中八年级阶段练习）
47．已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 ．
（2022·山东东营市·八年级期末）
48．如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为 ．
（2022·江西抚州市·九年级期末）
49．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝ ．
（2022·江苏射阳·九年级阶段练习）
50．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．
（2022·河南卫辉·九年级期中）
51．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】（2）如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，则∠MPN的度数是　 　．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值．
题组C 培优拔尖练
（2022·浙江杭州市·八年级期末）
52．如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A．
B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
（2022·浙江杭州市·八年级月考）
53．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国·九年级专题练习）
54．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
（2022·黑龙江·鸡西市九年级期中）
55．在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
（2022·全国·八年级课时练习）
56．中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
（2022·浙江杭州市·八年级模拟）
57．在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则 ， ．
（2022·山东八年级阶段练习）
58．如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则 ．
（2022·山东烟台市·八年级期末）
59．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．
（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？
（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
（2022·浙江杭州市·八年级期中）
60．如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
（2022·山东淄博市·八年级期末）
61．如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键．
2．D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
3．C
【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB+BC+CD+AD＝16，
∴AD+DC＝8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键.
4．C
【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数．
【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBF＝∠ADE，
∵AE∥CF，
∴∠CFB＝∠AED，
∴△BCF≌△DAE，
∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，
∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，
∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，
∴∠BCF＝80°
故选：C．
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
5．48
【分析】设BC=x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：设BC=x，
∵ ABCD的周长为40，
∴CD=20-x，
∵ ABCD的面积=BC AE=CD AF，
∴4x=6（20-x），
解得x=12，
∴ ABCD的面积=BC AE=12×4=48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．
6．C
【分析】作，求得、的长度，即可求解．
【详解】解：作，如下图：
则
在平行四边形中，，
∴
∴为等腰直角三角形
则，解得
∴
故选：C
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
7．A
【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到点和点的纵坐标相等，再求出，得到点横坐标，最后得到点的坐标．
【详解】解：∵四边形为平行四边形．
∴且．
∴点和的纵坐标相等，都为．
∴点坐标为，，点坐标为，，
∴
∵点坐标为，，
∴点横坐标为，
∴点坐标为，．
故选：A．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．
8．B
【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
9．或
【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】设点A落在BC边上的A′点．
①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，
在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．
在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．
即AE=；
②如图2，当A′B=BC=2时，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，
在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．
在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．
即AE=；
所以AE的长为5.6或．
故答案为5.6或．
【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．
10．C
【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证 AEF DHF，再证 ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④．
【详解】∵点F是AD的中点，
∴2FD=AD，
∵在ABCD中，AD=2AB，
∴FD=AB=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCF，即：，
∴①正确；
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，
又∵AF=DF，
∴ AEF DHF（AAS），
∴EF=HF，
∵，
∴CE⊥CD，即： ECH是直角三角形，
∴=EH，
∴②正确；
∵EF=HF，
∴
∵，CE⊥CD，垂足在线段上，
∴,
∴,
∴，
∴③错误；
设∠AEF=x，则∠H=x，
∵在Rt ECH中，CF=FH=EF，
∴∠FCH=∠H=x，
∵FD=CD，
∴∠DFC=∠FCH=x，
∵点F，G分别是EH，EC的中点，
∴FG∥CD∥AB，
∴∠AEF=∠EFG=x，
∵EF=CF，
∴∠EFG=∠CFG=x，
∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，
∴．
∴④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
11．C
【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD=AD BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．
【详解】解：在中，
∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
，
∴E是AB的中点，
∴DE=BE，
，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，
∴S ABCD=AD BD，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，
∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，
∵AD=DE，
∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，
∴DO=BO,
∵E是AB的中点，
∴BE=AE=DE
∵OE =OE
∴△DOE≌△BOE(SSS)
∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°
∴∠BOE=90°
∴OE垂直平分BD，故④正确；
正确的有3个，
故选择：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．
12．15
【分析】利用等面积法,得2S△ABC=S四边形ABCD,表示出面积即可.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴2S△ABC=S四边形ABCD,设平行线AD与BC间的距离为h,
即AC·BE=AD·h
∵AC＝24， BE＝5，AD＝8，
∴h=15.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等面积法,中等难度,利用等面积法是解题关键.
13．A
【分析】作AEBC，DFBC，根据平行线的性质，可得AE= DF，ABC与DBC分别以AE、DF为高，BC为底，同底同高的三角形面积相等，即可求出答案．
【详解】解：如图所示，作AEBC，DFBC，
∵ADBC，∴AE= DF，
且，，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即可说明同底同高的三角形面积相等．
14．C
【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
15．B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
16．D
【分析】A.证明，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断；
B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；
C. 可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；
D. 条件不足无法判断；
【详解】∠DAC=∠BCA
，
四边形是平行四边形，
故A选项正确，不符合题意；
∠ABO=∠CDO
又 AB=CD，
四边形是平行四边形，
故B选项正确，不符合题意；
AC=2AO，BD=2BO
四边形是平行四边形，
故C选项正确，不符合题意；
D. 条件不足无法判断，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
17．D
【分析】由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可判断，由结合已知条件仍不能判定四边形为平行四边形，从而可得到答案．
【详解】解：A、∵∠ADE=∠E， ∴AB∥CE，
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=∠E，
∴∠ADE=∠E，
∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；
故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
18．B
【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可得到答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；
∵BE=DF
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意；
∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌CDF（SAS），
∴AE=CF，BE=DF，
∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形，故D不符合题意；
由AE=CF，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形AECF是平行四边形，故B符合题意，
故选B.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出；
（2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明．
【详解】证明：（1），
，
即，
，
，
在与中，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键．
21．(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）连接，证明可得，再证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证；
（2）由，结合， 求解，再利用，根据勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
在与中， ，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．
22．D
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90 ，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60 ，
∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60 ，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90 ，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，
∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，
∴DE⊥BE，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，又由点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，即可得CM=AN，继而可判定四边形ANCM是平行四边形，则可证得AM∥CN．
（2）由AM∥CN，BH⊥AM，点N为边AB的中点，可证得BH⊥CN，ME是△BAH的中位线，则可得CN是BH的垂直平分线，继而证得△BCH是等腰三角形．
【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴∥且．
∵点、分别是边、的中点，
∴，．
∴．
又∵∥，
∴四边形是平行四边形
∴∥．
（2）设BH与CN交于点E，
∵AM∥CN，BH⊥AM，
∴BH⊥CN，
∵N是AB的中点，
∴EN是△BAH的中位线，
∴BE=EH，
∴CN是BH的垂直平分线，
∴CH=CB，
∴△BCH是等腰三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见解析；（2）AF=EF+CE，理由见解析．
【分析】（1）设∠CAE=，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论；
（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证△CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，
理由：设∠CAE=，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=45°+，
∵AC=AD，
∴∠DCA=∠ADC=45°+，
∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，
∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；
（2）AF=EF+CE，
理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG，
∵CD∥AB，
∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，
∴CE=EG，AE=BE，
又∵∠CEA=∠GEB=90°，
∴△CEA≌△GEB，
∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，
∴∠CAE=∠GBE，
∵∠GEB=90°，
∴∠AGB+∠GBE=90°，
∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠DAE=∠AGB，
∴AD∥BG，
∵DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AF=GF，
∵GF=EF+GE=EF+CE，
∴AF=EF+CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25．(1)BQ＝10﹣t
(2)5秒
(3)在，理由见解析
【分析】（1）证明△APO≌△CQO（ASA），可得结论．
（2）当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，构建方程求解即可．
（3）如图2，在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2=AO2，列方程可得t的值．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD//BC，
∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠POA＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝t，
∵BC＝10，
∴BQ＝10﹣t．
（2）∵AP//BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝10﹣t，解得：t＝5，
∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形．
（3）结论：点O在线段AP的垂直平分线上．
理由：过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，
∴，
∵，
∴AB AC＝BC EF，
∴6×8＝10×EF，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴2AE＝AP，即点E是AP的中点，
∴点O在线段AP的垂直平分线上．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
26．(1)当时，△PAQ是等边三角形
(2)当或时，△PAQ是直角三角形
【分析】（1）根据题意可得，，，根据等边三角形的性质可得，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据题意，分或，两种情况讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出方程，解方即可求解．
【详解】（1）解： ，，
∵当△PAQ是等边三角形时，，即，解得．
∴当时，△PAQ是等边三角形；
（2）∵△PAQ是直角三角形，
∴或，
当时，有，
，即，
∴，解得（秒），
当时，有，，
即
∴，
解得（秒）．
∴当或时，△PAQ是直角三角形．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出DF，得到DF=AE，并由已知证得DF∥AE，则根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）利用①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．
【详解】（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，
∴AB＝BC＝60cm，∠C＝45°，
由题意得，CD＝t，AE＝t，
∵DF⊥BC，
∴DF＝CD＝t，∠CFD＝90°，
∴DF＝AE，DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：①当∠EDF＝90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝45°，
∴AD＝AE，
即60﹣t＝t，
解得，t＝30，
②当∠DEF＝90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝AD，
即t＝×（60﹣t），
解得，t＝40，
③当∠EFD=90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
28．A
【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ，从而PE=PF，则有∠PEF=∠PFE，再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，
∴ ，
∵AD＝BC，
∴PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∵∠EPF＝130°，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
29．C
【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．
【详解】∵，
∴△ACD为等腰三角形，
∵，
∴E为CD的中点，（三线合一）
又∵点是的中点，
∴EF为△CBD的中位线，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．
30．12
【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．
【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，
∵
∴
∵是边的中点，，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
即有，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
31．D
【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．
【详解】解：点，分别为，的中点，
，
点，分别为，的中点，
，
，
，
△的面积，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．
32．见解析
【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．
【详解】证明：取的中点，连接，
∵是边的中线，
∴是边的中点，
∴，
．
∴，．
∵是的中点，
∴，
在△MDE和△FCE中，
∴．
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
33．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）利用ASA定理证明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根据三角形中位线定理解答；
（2）分别延长BE、AC交于点H，仿照（1）的过程解答．
【详解】解：（1）证明：∵AE平分，，
∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA）
∴BE=ED，AD=AB，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)；
（2）解：分别延长BE、AC交于点H，
∵AE平分，，
∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AEH中，
，
∴△AEB≌△AEH（ASA）
∴BE=EH，AH=AB=9，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=CH=(AH-AC)=2．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
34．B
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
【详解】解：∵直线，
∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化；
∵PA、PB的长随点P的移动而变化，
∴②△PAB的周长会随点的移动而变化，④∠APB的大小会随点的移动而变化；
∵点到直线的距离不变，AB的长度不变，
∴③△PAB的面积不会随点的移动而变化；
综上，不会随点的移动而变化的是①③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．
35．C
【分析】作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，然后在中，利用三角形三边的关系即可确定m的取值范围．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
在中，，
∴，
即，
故选：C．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．
36．C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．
【详解】如图，（1）∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，ABCD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
37．C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，A是真命题；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B是真命题；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，C是假命题
对角线互相平分的四边形是平行四边形，D是真命题；
故选：C
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握平行四边形的判定是解本题的关键
38．B
【分析】证明△ADB≌△ADN，根据全等三角形的性质得到BD=DN，AN=AB=4，根据三角形中位线定理求出NC，计算即可．
【详解】解：在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA）
∴BD=DN，AN=AB=4，
∵BM=MC，BD=DN，
∴NC=2DM=2，
∴AC=AN+NC=6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
39．B
【分析】由平行四边形对角线互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC边长.
【详解】解：∵在中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OA=3，
∴AC=2OA=6，
∵AC⊥BC，
∴，
∴BC=8.
故选：B
【点睛】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.
40．200m
【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形
∵∠A＝∠B＝60°
∴
∴△ABC是等边三角形
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m
故答案为：200m．
【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
41．（1）证明见解析；（2）77°
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，通过证明≌即可得证；
（2）利用角平分线的定义可得，再根据平行四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴≌，
∴FG=EH；
（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，
∴，
∵FG//AB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．
42．（1）①见解析；②见解析；（2）6.5
【分析】（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到的平分线，再画出它与BC的交点D；
②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；
（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得，，用勾股定理求出AB的长，再根据中位线的性质得到DE的长．
【详解】解：（1）①如图所示：
②如图所示：
（2）∵，AD平分，
∴，，
在中，，
∵E、D分别是AC和BC的中点，
∴，
故答案是：6.5．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．
43．（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
44．B
【分析】解根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠BEC＝28°，
∵CE＝BC，
∴∠EBC＝∠BEC＝28°，
∴∠ABC＝56°，
∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠AED，
∵AE＝ED，
∴∠D＝∠DAE＝56°，
∴∠BAE＝124° 56°＝68°，
∴∠AED＝180° 56° 56°＝68°，
∴∠AEB＝180° 68° 28°＝84°，
故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC解答．
45．C
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出 ABCD的周长．
【详解】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵AD=6，BE=2，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴ ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．
46．
【分析】如图，连接，，．设平行四边形的面积为．求出，（用表示）即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，．设平行四边形的面积为．
∵点是平行四边形的对称中心，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
47．(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)
【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标．
【详解】解：如图，
以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；
以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2；
以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D3；
∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），
故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．
【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键．
48．
【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案．
【详解】解：探究规律：
AB=8，BC=6，AC=7，
分别为的中点，
同理：
总结规律：
运用规律：
当时，
故答案为：
【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键．
49．1
【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得CF的长度．
【详解】如图，作OG∥BC交DC于G点，
∵O为BD的中点，
∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，
∴，
又∵，
∴，即C为EG的中点，
∵CF∥OG，
∴CF为△OGE的中位线，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查中位线定理，熟练掌握中位线的判断以及灵活运用中位线定理是解题关键．
50．（1）见详解；（2）AD=3
【分析】（1）由题意易得AD∥EC，进而根据平行四边形的判定定理可求解；
（2）由题意易得EF=3，然后根据角平分线的性质定理可得EC=EF=3，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥EC，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵BE＝5，BF：BE＝4：5，
∴BF＝4，
∵EF⊥AB，
∴由勾股定理可得：，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴EC=EF=3，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴EC=AD=3．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、勾股定理及角平分线的性质定理，熟练掌握平行四边形的判定、勾股定理及角平分线的性质定理是解题的关键．
51．（1）见解析；（2）135°；（3）BM长的最大值为4，最小值为1．
【分析】（1）延长DE至F，使EF=DE，连接CF，证明△AED≌△CEF，得到AD=CF，∠A=∠ACF，证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据平行线的性质得到∠MPD=∠ABD、∠NPD+∠PDC=180°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）延长CB至H，连接FH，AH，根据三角形中位线定理得到BM=FH，根据勾股定理求出AH，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：（1）延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，
在△AED和△CEF中，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，
∴AB∥CF，
∵AD＝DB，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）解：∵M、P分别为AD、BD的中点，
∴MP∥AB，
∴∠MPD＝∠ABD，
∵N、P分别为BC、BD的中点，
∴PN∥CD，
∴∠NPD+∠PDC＝180°，
∴∠NPD＝180°﹣∠PDC，
∵∠PDC＝∠E+∠ABD，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+180°﹣∠E﹣∠ABD＝135°，
故答案为：135°；
（3）解：延长CB至H，使 连接FH，AH，
∵CM＝MF，
∴BM＝FH，
由勾股定理得，AH＝＝5，
当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2，
当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8，
∴BM长的最大值为4，最小值为1．
　
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
52．C
【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
于点，于点，
，
；
平行四边形的面积，，，
，
；若，
则，
，
，，
，，
平行四边形的周长；
的面积，的面积，平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
53．B
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，
∴∠FED′=108°-72°=36°；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
54．B
【分析】根据易得DF=CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF可得这两个三角形的面积相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC ，从而③是错误的；设∠FEC=x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④正确与否．
【详解】①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，，
∴S△BEC＜2S△EFC ，
故S△BEC=2S△CEF ， 故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点．
55．A
【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，可判断①不正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判断②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项．
【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，
∴BE=DE，
∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，
∴BD=BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，
∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，
∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，
∴∠BHE=∠C，
又∵在 ABCD中，∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，
∴不能得到△BCF≌△DCE，故④错误．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．
56．B
【分析】过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，根据三角形的中位线性质可得，，DF∥BC，由D、G为AB、BH中点，可得DG∥AH，且DG=，根据平行线间的距离处处相等可得DG=ME=，利用三角形面积公式S△ABC=，再求即可．
【详解】解：过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，
∵、分别是的、边的中点，
∴，DF∥BC，
∵D、G为AB、BH中点，
∴DG∥AH，且DG=，
∵AH⊥BC
∴DG⊥BC，
∵DF∥BC，EM⊥DF
∴DG⊥DF，
∴DG=ME=
∵S△ABC=
∴．
故选择B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中位线性质，平行线间的距离性质，熟练掌握三角形的中位线性质，三角形的面积，平行线间的距离性质是解题关键．
57．
【分析】结合题意，通过证明，得到，即可得到；过点F作于点H，延长AD交FH于点G，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得，从而得CH的值；再根据勾股定理计算，得FH和BC的值，结合平行四边形ABCD 性质以及，DG是中位线，从而得到DG，通过计算即可得到答案．
【详解】∵E是边上的中点
∴
∵平行四边形ABCD
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
过点F作于点H，延长AD交FH于点G
∵
∴
∴，即
∵，且
∴
∴
∴
∴
∵平行四边形ABCD
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
∴DG是中位线
∴
∴
故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．
58．8
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=CD＝，， 过点E作EH⊥BF于H，证得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根据30度角的性质求出EF．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD，
∵，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=CD＝，，
过点E作EH⊥BF于H，
∵，
∴∠ECH=，
∴CH=EH，
∵，，
∴CH=EH=4，
∵∠EHF=90°，，
∴EF=2EH=8，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
59．）（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）；
（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）．
【详解】证明：（1）∵，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）．
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）
理由：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
60．（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
（2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
四边形为平行四边形．
（2），，
，
，
四边形为平行四边形．
上述结论成立，
由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的垂直平分线，
．
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出是等边三角形．
61．（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）=3．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB AG）＝（AB AC）；
(3) 根据△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，得出BDEF的面积为6，设BDEF中BF边上的高为h，由即可求解．
【详解】（1）延长交于点，
，，
又∵平分，
∴∠GAE=∠CAE
在和中，，
，
，
∵点是边的中点，
∴
为的中位线，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，
，
，分别是，的中点，
，
，
，
．
（3）如图：
∵BD=DC，EF∥BC
∴△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，
∴
∵BF∥DE
设BDEF中BF边上的高为h，
则
=（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2
=DE×h÷2
=6÷2
=3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及等底同高的平行四边形和三角形的面积之间的关系，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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