资源简介

27.1 图形的相似
课程标准 课标解读
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．2.通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比． 3.掌握基本事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 1.掌握比例的基本性质，能利用比例的基本性质对比例进行化简；理解黄金分割的概念． 2.了解和掌握相似图形的概念，掌握相似图形的性质． 3.理解和掌握成比例线段的概念．
知识点01 相似图形
1.形状相同的图形叫作相似图形．
【微点拨】
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
（2）全等图形是一种特殊的相似图形．
2.相似多边形
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形．它们对应边的比叫作相似比．
【微点拨】
（1）相似多边形是特殊的相似图形．
（2）相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
【即学即练1】
1．下列说法正确的是（　　）
A．经过三点可以作一个圆
B．两个矩形一定相似
C．等弧所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
知识点02 比例线段
1.比例线段：对于4条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线
段的比相等，如 (即ad=bc)，我们就说这4条线段叫作成比例线段，简称比例线段．
说明求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度．
2.比例的基本性质：如果 那么ad=bc.它的逆命题也成立，即：如果ad=bc，那么
3.黄金分割：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，叫作把这条线段黄金分割．
【微点拨】把一条线段黄金分割的点，叫作这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的 得到点C，则点C就是AB的黄金分割点．
【即学即练2】
2．若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考法01 比例的性质
【典例1】
3．已知四条线段、、、满足，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
考法02 相似多边形的性质
【典例2】
4．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果不等式的解集为，那么
②已知二次函数，当时，y随x的增大而减小
③顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
④各边对应成比例的两个多边形相似
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题组A 基础过关练
5．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（　　）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
7．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则b的值为（ ）
A． B．4 C．32 D．
8．两相似多边形的面积比是，较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．若C是线段的黄金分割点（），若，则线段的长为 ．
11．如果，那么 ．
12．已知：求代数式的值 ．
13．（1）已知线段，，求线段，的比例中项线段的长度．
（2）已知，求的值．
14．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应．
(1)已知，，，求的度数；
(2)已知，，，，，求四边形的周长．
题组B 能力提升练
15．如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）
A． B． C． D．
16．在比例尺为的地图上，测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（ ）
A． B． C． D．
17．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形
C．两个菱形 D．两个正方形
18．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为 ．
20．四条线股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，则b的长为 ．
21．若且，则的值为 ．
22．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是 ．
23．①若，则＝ ；
②已知，则的值为 ．
24．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．现设的长为1．
(1)求的长；
(2)若令，，记，，，，求的值．
题组C 培优拔尖练
25．已知代数式，，，下列结论：
①若，则；
②若，且z为方程的一个实根，则；
③若x，y，z为正整数，且，则；
④若，则；
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
27．已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（　　）
A． B． C． D．
28．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
29．在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则 ．
30．若，且，则的值为 ．
31．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为 ．
32．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形，它的面积为1；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（2）中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形的面积为 ．
33．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据确定圆的条件，相似图形的定义，圆心角、弧、弦的关系逐项判断即可．
【详解】解：经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项说法错误，不符合题意；
两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，故B选项说法错误，不符合题意；
等弧所对的圆心角相等，故C选项正确，符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D选项说法错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查确定圆的条件，相似图形的定义，圆心角、弧、弦的关系．掌握不共线的三点可以作一个圆；对应角相等，对应边成比例的两个图形叫做相似图形；等弧所对的圆心角相等；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是解题关键．
2．D
【分析】先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的系数是解题的关键．
3．A
【分析】根据比例和分式的基本性质，进行解答即可．
【详解】解：∵根据内项积等于外项积可得，
∴A正确；B错误；
根据分式的基本性质若，则，
故C错误；
由得，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的性质以及比例的性质，能够灵活对比例式进行变形是解本题的关键．
4．C
【分析】根据解不等式、二次函数的图象与性质、中点四边形的性质，相似多边形的判断分析即可．
【详解】解：对于①，当时，原不等式即，不等式无解；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．综上，，该命题为真命题，符合题意；
对于②，当时，二次函数，随的增大而减小，该命题为真命题，符合题意；
对于③，对角线相等的四边形的中点四边形为菱形，该命题为真命题，符合题意；
对于④，因为多边形不具有稳定性，所以各边对应成比例的两个多边形的形状也可能不同，即不相似，该命题为假命题，不符合题意．
综上，真命题有①②③，共个．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的判断，解不等式，二次函数的图象与性质，特殊平行四边形的判定，图形的相似，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
5．C
【分析】根据相似多边形的判定条件求解即可．
【详解】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，
∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，
∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，
矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，
∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，熟知对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键．
6．B
【分析】根据成比例线段的定义得到，据此求解即可
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了成比例线段，正确理解题意得到是解题的关键．
7．C
【分析】根据比例中项的，然后代入求解即可．
【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查比例中项的性质，理解比例中项的性质是解题关键．
8．A
【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．
【详解】解：两相似多边形的面积比是，
∴两相似多边形的相似比为：，
∴两相似多边形的周长比为：，
∵较小多边形的周长为，
∴较大多边形的周长为：；
故选A．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题的关键．
9．C
【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且，
则，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
10．##
【分析】设，然后根据黄金分割比可直接进行求解．
【详解】解：设，则有，
∵C是线段的黄金分割点，，
∴，即，
解得：；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
11．
【分析】根据得到，把它代入后面的式子求出比值．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质．
12．##
【分析】设，则再代入中，求值即可．
【详解】根据题意可设，则
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查比例的性质，代数式求值．解决此类问题一般都设一个参数，用k表示出比例式中的各字母，再代入计算．
13．（1）6；（2）．
【分析】（1）根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案；
（2）设，，代入计算，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵，，
，
（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项c是6．
（2）设，，
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可；
（2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形与四边形相似，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形的周长
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
15．B
【分析】设，则，代入并整理得：，求出x的值，再舍去不合题意的值，最后计算比值即可．
【详解】设，则，
∵，
∴，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查黄金分割，解可化为一元二次方程的分式方程．理解黄金分割的定义是解题关键．
16．C
【分析】设两地间的实际距离为，根据比例线段得，然后解方程即可．
【详解】解：设两地间的实际距离为，
根据题意得，
解得．
所以两地间的实际距离为，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
17．C
【分析】根据相似多边形的定义判断即可．
【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，
所以两个等边三角形一定相似，
故A不符合题意；
因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，
所以两个等腰直角三角形一定相似，
故B不符合题意；
因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，
所以两个菱形不一定相似，
故C符合题意；
因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等，
所以两个正方形一定相似，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键．
18．B
【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．
【详解】解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意；
B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；
C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；
D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键．
19．##
【分析】根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可．
【详解】解：依题意，，
即，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．
20．4cm
【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，分类讨论，即可求得b的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：4cm
【点睛】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义，分类讨论．
21．
【分析】根据等比性质即可求得．
【详解】解：且，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等比性质，熟练掌握和运用等比性质是解决本题的关键．
22．
【分析】先根据题意得到，再代入变形得到，然后求解．
【详解】根据题意，得．
将代入，得，开平方得（舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形对应边成比例的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键．
23． 2 2
【分析】①先将等式去分母，再进行同类项合并即可得到答案；
②将y和分别转换为含的代数式，再代入式子即可得到答案．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是根据分式的性质进行灵活变换．
24．(1)
(2)5050
【分析】（1）根据可得方程，解方程即可求解；
（2）由，，可得，通分化简可得：，，依据规律可得：，即问题得解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整理有，
∴解得：，（负值不符合题意，舍去）
即的长为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
∴，
即答案为：5050．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，分式的化简求值以及黄金分割的概念等知识，掌握分式的化简求值是解答本题的关键．
25．C
【分析】根据比例的性质及求代数式的值的方法，依次化简计算即可得出结果．
【详解】解：①若x:y:z=1:2:3，
设x=a；y=2a；z=3a；
∴A=；B=；C=；
∴，故①正确；
②若x=y=1，
则A=，B=，C=，
∴，
∵z为方程的一个实数根，
∴z≠0，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
若xyz为正整数，则
，
，
，
∵x>y>z，
∴，
∴，
即，
∴A>B>C，故③正确；
若A=B=C，即，
当x+y+z≠0时，
；
当x+y+z=0时，
,
综上A=或-1，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用比例进行计算，化简求代数式的值，一元二次方程的根等，理解题意，数量掌握各个运算法则是解题关键．
26．C
【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得．
【详解】四边形ABCD是矩形，
，
，即，
四边形ABFE是矩形，
是的平分线，且，
，
四边形ABFE是正方形，
，
又四边形ABCD是黄金矩形，且，
，
设，则，
，
，
，
则，，
即，选项A正确；
，，
即，选项B正确；
，，
即，选项C错误；
，则选项D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键．
27．B
【分析】根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则AP＝×2＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
28．B
【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.
【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得，
解得.
由已知可得，
解得.
综上，此人身高m满足.
所以其身高可能为175cm.
故选：B
【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键.
29．
【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论．
【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点，
， ，
，
，
同理可得： ，
，
，，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的面积关系，比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行比例的变形是解题的关键．
30．19
【分析】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3可求出k的值，进而求出x、y、z的值即可求得答案.
【详解】设x=3k,则y=5k，z=6k，
代入3y=2z+3得：15k=12k+3，解得：k=1，
所以x=3，y=5，z=6，
所以x+2y+z=3+10+6=19，
故答案为19.
【点睛】： 本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．熟练掌握比例的性质是解题关键.
31．2cm或cm或cm
【详解】设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得或或，解得a=或a=或a= ，所以另外一条线段的长为2cm或cm或cm.
点睛：本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题要注意分类讨论.
32．．
【分析】先分别求出第一个正六角星形与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．
【详解】解：、、、、、分别是和各边中点，
正六角星形正六角星形且相似比为，
正六角星形的面积为1，
正六角星形的面积为，
同理可得，第二个六角形的面积为：，
第三个六角形的面积为：，
第四个六角形的面积为：．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
33．5；
【分析】由题意可求出AD=， 所以第1个正方形的面积为5；先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第n个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第n个正方形的面积为 ．
【详解】解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，根据题意，
得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）．
∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°，
∴∠ADO＝∠BAA1，
在直角△ADO中，根据勾股定理，
得：AD＝，tan∠ADO＝＝，
∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO，
∴BA1＝AB＝，
∴CA1＝，
同理，得：C1A2＝（）×（1＋），
由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5，
S2＝（）2×（1＋）2，
S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4，
由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n 1）＝5×（）2n 2．
故答案为：5；．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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