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28.2 解直角三角形及其应用
课程标准 课标解读
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题 能够利用锐角三角函数的边角关系，求解直角三角形角或者边，从而解决实际问题
知识点01 解直角三角形
1．解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫作解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
(1)三边之间的关系：a +b =c ．
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°．
(3)边角之间的关系：
【即学即练1】
1．已知中，，，D是AC上一点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 解直角三角形的应用
1．解直角三角形的几种类型及解法
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为 (或
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为∠B=90°-∠A，a=c·sin A，b=c·cos A(或
(3)已知两直角边a，b，其解法为 由 得∠A，∠B=90°-∠A．
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为b= 由 求出∠A，∠B=90°-∠A．
2．解直角三角形的应用
(1)仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
(2)坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
(3)方向角(方位角)：如图中∠1，过观测点O作一条水平线(一般向右为东)和一条铅垂线(向上为北)，则观测点O与目的地的连线与表示南北方向的铅垂线的夹角叫作方向角(方位角)．在解有关方向角问题时，常以南北或东西方向线为直角边，构造直角三角形求解．
(4)跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，中柱为CD．
【即学即练2】
2．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米 B．米 C．米 D． 米
考法01 解直角三角形
【典例1】
3．如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
考法02 应用举例
【典例2】
4．如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
5．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为，，则两脚张开的距离AB为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．
7．中国最长的索道为张家界天门山索道全长为7454米，若索道AC和地面AB的夹角为，则索道的落差BC可表示为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（ ）
A．200米 B．300米 C．米 D．米
9．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ．
10．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ．
11．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为 千米．
12．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？ ．（填是或否）（可能用到的参考数值：，，）
13．如图，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为．
(1)求点B的坐标；
(2)求的值．
14．如图，为了测量一条河流的宽度（河的两岸是平行的），一测量员在河北岸边的点M处，测得河南岸边的两根电线杆P和Q的位置，经测量发现，点P在点M的正南方向，点Q在点M南偏东的方向，已知两根电线杆P、Q之间的距离为190米，求河宽PM．（结果精确到1米）【参考数据：，，】
题组B 能力提升练
15．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连结．当最小时，（ ）
A． B． C． D．
16．一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为45°，若窗高米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则在A处搭建的挡板AC（垂直于AB）的长最少应为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．1.5米
17．如图，在边长为12的等边中，D为边上一点，，点E是上一动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转60°得到线段．当点F恰好落在边上时，则的面积是（ ）
A．4 B． C．8 D．
18．如图，在矩形中，，直线l与分别相交于点E，F，P，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
19．要求我们可以通过构造直角三角形进行计算：在，利用三角函数定义可求出的值，请在此基础上计算 （结果保留根号）
20．如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么 （用含和的式子表示）．
21．半径为的是锐角三角形的外接圆，，连接，延长交弦于点．若是直角三角形，则弦的长为 ．
22．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶A离地面EF的高度为 m．（结果精确到，参考数据：，，）
23．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长（结果保留根号）
24．消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角（），转动点A距离地面的高度AE为4米．
(1)当起重臂AC的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为________米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：）．（提示：当起重臂AC伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）
题组C 培优拔尖练
25．如图，已知菱形的边长为4，对角线相交于点O，点分别是边上的动点，，连接，与相交于点E．以下四个结论：①点是等边三角形；②的最小值是；③若时，；④当时，．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
26．如图，在中，是线段上的动点，以为直径作，分别交于点，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
28．如图，在菱形ABCD中，AB＝30，，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
29．图1是郑州的网红打卡点 “戒指桥”， 其数学模型如图2所示． 线段是其中一条拉索， 点在圆上， 点是圆和水平桥面的交点． 小明测得， 且在 B点和点观测点的仰角均为， 则点到桥面的距离为 ， “戒指” 的半径为 ．
30．如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点O顺时旋转n个45°得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是 ．
31．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，点D为AC中点.现将线段CD绕点B逆时针旋转得到C'D'，若点D'恰好落在AB边上，则点C'到AB的距离为 ，若点A恰好在C'D'上，则AC'的长为 ．
32．如图，若点E为正方形的边上一点，，，点M为的中点，过点M的直线分别交，边于点P，Q，且，则的长为_____．
33．如图，在△ABC中，以为一边向下作矩形，其中．M为线段上的动点（且不与A、B重合），过M作，交于点N．
(1)如图，以MN为边作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上．
①当MN为5时，矩形的面积为 ___________；
②设MN=x，矩形MNPQ的面积为y，试求出y关于x的函数表达式；
③矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
(2)如图，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若△MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度．
34．如图，在中，，cm，cm，点M从点A出发，沿折线→以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：
(1)当t为何值时，？
(2)点M在线段上运动时，是否存在某一时划t使得∽？若存在，请求出此刻的t值；若不存在，请说明理由；
(3)当t为何值时，为直角三角形？
35．（1）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．
①求证：；
② ；
（2）【思考探究】如图2，矩形中，，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长．
36．如图（1），在中，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，在线段的延长线上取一点，使得，连接，以为斜边向下作，其中，设点运动的时间为秒．
(1)求线段的长．（用含的代数式表示）
(2)当点落在上时，求的值．
(3)当被的边分成的两部分面积比为时，求的值．
(4)如图（2），作点关于的对称点，连接，当直线与的一边垂直时，直接写出的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据求得BC=2DC，再在Rt△DCB中，运用勾股定理求得，即可作答．
【详解】∵∠C=90°，∠A=∠CBD，
∴，
∵，
∴，
∴BC=2DC，
∴在Rt△DCB中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角的三角函数、勾股定理等知识，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
2．C
【分析】过点B作于点C，构造直角求出的长即可．
【详解】解：过点B作于点C，
∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，
∴ ，
∴米，
在中，，由勾股定理得米 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
3．B
【分析】根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】∵，
∴．
设，则．
由折叠的性质可知，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∵，即，
∴（舍去负值），
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．
4．B
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，由坡比的定义和特殊锐角三角函数值可求出，进而，，在中，求出，进而求出即可．
【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于点，
斜坡的坡比为，即，
，
又米，
，，
，
在中，，，
米，
米，
故答案为：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握仰角、俯角、坡比的定义是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
5．A
【分析】根据圆规两角张开形成等腰三角形，过点作，交于点，解直角三角形即可．
【详解】解：过点作，交于点，
∵是圆规两脚，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
6．A
【分析】根据求出，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：在中，，，，
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟记正弦的定义和勾股定理是解题的关键．
7．A
【分析】根据已知斜边，，求得的对边，根据正弦的定义可得，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
8．C
【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：，，,
，，
米，,
米，（米），
米．
故选：C．
【点睛】此题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意数形结合思想的应用．
9．220
【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】解：如图：
过点作的垂线，垂足为点．
，
设，，
，
可设，，
，
，
，
由，得，
则
故．
故答案是：220
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．
10．
【分析】过点作于点E．由题意即得出四边形为菱形，从而得出，．再根据正弦的定义可求出，最后由菱形的面积公式计算即可．
【详解】如图，过点作于点E．
由题意可知四边形为菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
11．2
【分析】过该建筑物的顶端点作，交的延长线于点，可得，即，则千米，在中，，即可求得．
【详解】解：如图，过该建筑物的顶端点作，交的延长线于点，
由题意得，，，千米，
，
，
千米，
在中，，
解得，
该建筑物离地面的高度为2千米．
故答案为：2．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
12．否
【分析】求出长，比较大小即可．
【详解】解：根据天花板与地面平行，可知，
（米）．
因为，
所以小敏不会有碰头危险．
故答案为：否．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数求解．
13．(1)点B的坐标为
(2)
【分析】（1）解，根据，，求出，再利用勾股定理求出，即可得出点B的坐标；
（2）先利用勾股定理求出，则．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点C，
在中，，，，
，
，
点B的坐标为．
（2）解：点A的坐标为，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟记各三角函数的计算公式是解题的关键．
14．143米
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而计算得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
河宽约为143米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意并准确选用符合题意的三角函数（三角比）进行解答是本题的解题关键．
15．A
【分析】利用矩形的性质和垂线段最短进行解题即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形为矩形，
连接，则，
∴当时，最短，即最短；
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴
∴，
，
设：，则，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握矩形的对角线相等，垂线段最短是解题的关键．
16．D
【分析】根据已知条件作出辅助线，再利用得出AC的长即可．
【详解】解：如下图所示，设光线FB经过点C，延长AC至D，
∵光与水平线夹角为45°，即，
∴，
∵米，
∴，即，
∴米．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是利用锐角三角函数关系得出．
17．D
【分析】先证明，再证明，最后用勾股定理三角形求出的高即可求解．
【详解】解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
在中：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定以及解直角三角形，解题的关键是证明以及．
18．D
【分析】先过点F作，垂足为点，然后利用三角函数求出，根据边长关系求出、的长度，再证得，借助相似比得到的值，根据勾股定理求出的长度，从而可以求出．
【详解】解：如图，过点F作，垂足为点，则四边形为矩形，
，
∵
∴
∵
∴，
在和中
∴
在中，
∵
∴
故选：D
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理等知识，证明三角形相似，利用相似比求值是解题关键．
19．
【分析】根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出的长，进而得出求出即可．
【详解】解：作的平分线交于点D，作，垂足为E，
∵平分，，
∴，
又
∴
∴
∵
∴
设，则，
在中，
∴，
解得：，
∴．
故答案为
【点睛】此题主要考查了解直角三角形和勾股定理等知识，根据已知得出的长是解题关键．
20．
【分析】先在中由求出，再在中由求出．
【详解】∵，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，准确的选择合适的三角函数是解题的关键．
21．或
【分析】分∠ODB=90°与∠DOB=90°两种情况分别进行求解即可.
【详解】如图1，当时，
即，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
如图2，当，
，
是等腰直角三角形，∠OBC=45°，
，
综上所述，若是直角三角形，则弦的长为或，
故答案为或.
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
22．
【分析】过点A作垂直，垂足为点，先利用的正切函数求出长度，然后计算的长度即可．
【详解】
解：如图，过点A作垂直，垂足为点，
在中，，
则房顶A离地面EF的高度为：
故答案为：
【点睛】本题考查解直角三角形应用、轴对称，熟练掌握三角函数关系是解题关键．
23．米
【分析】由题意可求得 米，分别在和中，利用三角函数的求出和，最后根据可得出答案．
【详解】解：由题意得，米，
∴米，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
∴米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24．(1)16；
(2)消防车能够实施有效救援，理由见解析．
【分析】（1）过点A作，垂足为F．先在中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；
（2）先计算当AC长30米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．
【详解】（1）如图，过点A作，垂足为F．
由题意知：四边形AEFG是矩形．
，．
，
．
在 中，
，，
云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为16米；
故答案为：16；
（2）如图，过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．
当，时，
．
在中，
，
由题意知，四边形HEFC是矩形，
，
该消防车能够实施有效救援．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，在抽象图中找到直角三角形、熟记锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是本题的解题关键．
25．D
【分析】由四边形是菱形得，，，，而，则和都是等边三角形，再证明，得，而，则是等边三角形，可判断①正确；当 时，的值最小，此时的值也最小，由，，可求得，可判断②正确；证明，可判断③正确；由得，再证明，得，所以，即，可判断④正确．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
故①正确；
当 时，的值最小，此时的值也最小，
∵，
∴，
∴的最小值是，
故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数，掌握菱形的性质以及相似三角形的性质是关键．
26．B
【分析】由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，此时线段，当半径最短时，最短，连接，，过点作，垂足为，在中，解直角三角形求直径，由圆周角定理可知，在中，解直角三角形求，由垂径定理可知．
【详解】解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，，过点作，垂足为，
在中，，，
，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知，
在中，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
27．D
【分析】根据三角形全等的判定定理和性质可得：，，利用各角之间的数量关系可得：，作的外接圆，则点F在圆上运动，连接、，交劣弧于点，当点F与点重合时，的长度最小，由切线定理可得，，在中，利用三角函数的正切可得，再根据所对直角边是斜边的一半即可确定，即可求出的最小值．
【详解】解：∵等边，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆，则点F的运动轨迹为以O为圆心，为半径的圆，如图所示，连接、，交劣弧于点，当点F与点重合时，的长度最小，
由切线定理可得：与相切于点B，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：D．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的相关性质定理、正切三角函数等，添加辅助圆作出相应辅助线是解题关键．
28．A
【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明△BAF≌△DAF，故①正确；由，得△ABF∽△CEF，可知，故②正确；首先证明△ABC是等边三角形，从而得出面积，再利用等高的两个三角形面积之比等于底之比可判断③正确；连接BD交AC于O，设CF=2x，则AF=3x，得OC=52x，OF=12x，利用含30°角的直角三角形的性质得OD的长，再利用勾股定理可得DF的长，从而可判断④错误．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠BAF=∠DAF，
∵AF=AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），故①正确；
即同理可得，△BCF≌△DCF（SAS），
∵四边形ABCD是菱形，AB=30，
∴，AB=DC=30，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
∵DE=10，
∴，
即，故②正确；
∵∠BCD=120°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
等边三角形的面积公式推导如下：
正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有，
∴正△XYZ的面积为：，
∴，
∵，
∴，
∵△BCF≌△DCF（SAS），
∴，
∵DE=10，CE=20，
∴，故③正确；
连接BD交AC于O，
根据菱形的性质有：AO=OC，BO=DO，AC⊥BD，
∵，
即设CF=2x，则AF=3x，AC=AB=CD=5x，
∴，则，
∵根据菱形的性质有∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ODC=30°，
∴，
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴，
∴，
故④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
29． 14 26
【分析】第1空，连接BD，过D作交BC于点E，由已知可得是等腰直角三角形，；第2空，连接BD，取AB，BD的中点，分别为H，F，作AB与BD的中垂线OH，OF，交于点O，则点O为该圆圆心，过点F作交OH于点G，过点F作交BC于点M，连接OA，则OA为该圆半径，先求得FM的值，证得四边形GHMF是矩形，，再证得，在中，求得，最后运用勾股定理，在中，求得OA的长．
【详解】解：如图1，连接BD，过D作交BC于点E，
∵在 B点和点观测点的仰角均为，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，，，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴
故点到桥面的距离为14m．
如图2，连接BD，取AB，BD的中点，分别为H，F，作AB与BD的中垂线OH，OF，交于点O，过点F作交OH于点G，过点F作交BC于点M，连接OA，
则点O为该圆圆心，OA为该圆半径，
∵F为BD中点，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵H为AB中点，，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
∴四边形GHMF是矩形，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在四边形OHBF中，
，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵四边形GHMF是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，
，
∴，
故“戒指” 的半径为26m．
【点睛】本题考查了圆的性质，解三角形，矩形的性质及判定，勾股定理的运用，题目综合性强，灵活运用以上几何知识是解题的关键．
30．
【分析】由题意旋转8次一个循环，根据，可知的坐标与的坐标相同．过点于点H，连接，过点D作于点G，在正六边形中，有：，，即有，，根据旋转可知：，，则有：，在中，，即，则，即问题随之得解．
【详解】解：由题意旋转8次一个循环，
∵，
∴即的坐标与的坐标相同，
如图，过点作于点H，连接，过点D作于点G，
在正六边形中，有：，，
即有，，
根据旋转可知：，，
则有：，
∴在中，，
在中，，
∴
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的旋转的问题，坐标与图形变化及其性质以及三角形函数等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
31． ；
【分析】连接BD，BC，由勾股定理可得AC＝10，因为点D是AC的中点，所以BD＝AD＝CD＝5．由旋转的性质可知，△BD′C′≌△BDC，所以BD′＝BD＝5，C′D′＝CD＝5，BC＝BC′＝8，所以BD′＝C′D′．当点D'恰好落在AB边上，过点D′作D′N⊥BC′于点N，过点C′作C′M⊥BD′交BA的延长于点M，所以BN＝NC′＝4，由勾股定理可D′N＝3，以tan∠BC′D′＝＝．由等积法可得×5 C′M＝×8×3，由此可得出C′M的长．当点A恰好在C'D'上，过点A作AP⊥BC′于点P，则．设AP＝3m，则PC′＝4m，所以AC′＝5m，BP＝8﹣4m，在Rt△ABP中，由勾股定理可得，62＝（3m）2+（6﹣4m）2，解出m的值即可得出AC′的长．
【详解】解：如图，连接BD，BC′．
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，
∴AC＝10，
∵点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝CD＝5．
由旋转的性质可知，△BD′C′≌△BDC，
∴BD′＝BD＝5，C′D′＝CD＝5，BC＝BC′＝8，
∴BD′＝C′D′，
当点D'恰好落在AB边上，如图所示，
过点D′作D′N⊥BC′于点N，过点C′作C′M⊥BD′交BA的延长于点M，
∴BN＝NC′＝4，
∴，
∴．
∵S△BD′C′＝BD′ C′M＝BC′ D′N，
∴×5 C′M＝×8×3，
∴C′M＝．
当点A恰好在C'D'上，如图所示，
过点A作AP⊥BC′于点P，则．
设AP＝3m，则PC′＝4m，
∴AC′＝5m，BP＝8﹣4m，
在Rt△ABP中，由勾股定理可得，62＝（3m）2+（8﹣4m）2，
解得m＝2或m＝．
∴AC′＝10（舍去）或．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，解直角三角形，三角函数值的定义等，解题的关键是画出对应时刻的图形，找到旋转前后图形之间的关系，建立方程．
32．1或2##2或1
【分析】根据题意画出示意图，过点P作，交于点N，由为正方形，得到，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，进而利用勾股定理求出的长，利用得到，由全等三角形对应边对应角相等得到，，再由,得到,进而得到，在中，根据的长，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用对称性确定出的长即可．
【详解】解：如图所示，过点P作，交于点N，交于点F，
为正方形，
，
在中，
，，
，即，
，
点M为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，
在中，，，
，
由对称性得到：，
综上，的长为：或；
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、锐角三角函数，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
33．(1)①15，②，③有最大值
(2)或
【分析】（1）①过点A作，垂足为点J，交于点H和点I，通过证明，即可求出，求出面积即可；②用和①同样得方法即可得到y关于x的函数表达式；③将②中的函数表达式化为顶点式，即可求出最大值；
（2）延长，交直线于点P和点Q，分为当时和当两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）①过点A作，垂足为点J，交于点H和点I；
∵四边形为矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
故答案为：15．
②∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∴函数表达式为：，
③，
∴当时，y有最大值．
（2）延长，交直线于点P和点Q，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，即，解得：，
，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴，即，整理得：，
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
综上：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数性质，矩形的性质，三角形的相似，解直角三角形等，解题的关键是熟练掌握并灵活运用各个知识点，会根据直角三角形三边长度得出三角函数值．
34．(1)时，；
(2)时，∽；
(3)或时，为直角三角形．
【分析】（1）当时，得∽，则，代入计算即可；
（2）当∽时，得，代入计算即可；
（3）分点M在上或点M在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点D为直角顶点，利用三角函数表示出和的长，进而解决问题．
【详解】（1）解：在Rt中，由勾股定理得，
，
当时，
∴∽，
∴，
∴，
解得，
∴时，；
（2）解：当∽时，
∴，
∴，
解得，
∴时，∽；
（3）解：当点M在上时，如图，设与交于点H，
∵点M关于直线的对称点N，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
解得，
当点M在上时，同理可得，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
综上：或时，为直角三角形．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键．
35．（1）①见解析；②；（2）3；（3）2．
【分析】（1）①求出，，即可证明；
②求出，由得；
（2）连接交于点O，先证明，再通过计算，得出，求出，证明，根据相似三角形的性质列式求解即可；
（3）连接交于O点，先求出，，证明，可得，求出、的长，然后根据，得出，求出，然后证明，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，，为对角线，
∴，
∴；
②解：∵四边形为正方形，，为对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接交于点O，
∵，，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接交于O点，
∵在菱形中，，，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵为菱形对角线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键，注意解题方法的延续性．
36．(1)
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）直接分两种情况进行讨论：当点在上时，即时；当点在的延长线上时，即；分别表示即可；
（2）根据平行线的性质以及所对的直角边等于斜边的一半，列方程求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：①设与交于点，当时；②当与交于点，当时；分别进行计算即可；
（4）分三种情况进行讨论：①当时，延长交于点；②当在上，重合，此时；③当时；分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：当点在上时，即时，如图：
根据题意得：，
∵，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，即，如图：
∵，
∴，
∴；
（2）当点落在上时，如图：
由（1）得，点在的延长线上，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴当点落在上时，；
（3）①设与交于点，
当时，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：；
②当与交于点，当时，如图：
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
综上所述：当被的边分成的两部分面积比为时，的值为或；
（4）①当时，延长交于点，如图：
在中，，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵关于对称，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
解得：；
②当在上，重合，此时如图：
由（2）知；
③当时，如图：
∴，
∴共线，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
而，，
∴，
∴；
综上所述：当直线与的一边垂直时，的值为或或．
【点睛】本题考查了几何变换综合应用，设计含角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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