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专题1.5 平方差公式
1.掌握平方差公式，理解公式中字母的含义；
2.学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
4.能用平方差公式的逆运算解决问题．
知识点一．平方差公式
平方差公式：．
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式．
抓住公式的几个变形形式利于理解公式，但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
知识点二．平方差公式的几何验证
将图中①的阴影部分拼成了一个长方形，如图②，则图①中的阴影部分的面积为a2﹣b2，图②中的阴影部分的面积是，由阴影部分面积相等，得到代数式之间的等量关系式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
知识点01平方差公式
1．用平方差公式计算：
(1)（5+6x）（5﹣6x）；
(2)（a+3b）（a﹣3b）；
(3)（3+ab）（3﹣ab）；
(4)（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．
巩固练习
2．计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
3．用简便方法计算下列各题：
(1)103×97；
(2)1022-101×103．
巩固练习
4．简便计算：
(1)20232-2022×2024；
(2)．
一.选择题
5．已知，则等于（ ）
A． B．8 C． D．4
6．等于（　　）
A． B． C． D．
7．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a﹣b）（a+b） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）
C．（﹣2x﹣3y）（2x+3y） D．（﹣2x+3y）（3y+2x）
8．已知：，，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．为了运用平方差公式计算，下列变形中，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
10．下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示的分割正方形拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
12．在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)，通过计算图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A． B．
C． D．
13．化简得（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则的值是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．27
15．如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个阴影部分的面积，这个过程验证了公式（ ）
A． B．
C． D．
16．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
17．若，且，则 ．
18．若，m+n＝3，则＝ ．
19．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
20．计算： ．
21．小丽在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算： ．
22．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题计算经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： ．
三、解答题
23．用平方差公式计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
24．先化简，再求值：(x+1)(x-1)+x(3-x)，其中x=2．
25．如图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b＜0)的正方形．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)利用因式分解的方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积．
26．试说明：两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．
27．探究活动：
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是____________．（写成两数平方差的形式）
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是__________．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：______________．
知识应用：
（1）计算：．
（2）若，，求的值．
28．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗 为什么
（2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 为什么
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗 为什么
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据平方差公式，找出公式中的a，b正确运用即可．
【详解】（1）原式＝52－（6x）2
＝25﹣36x2；
（2）原式＝a2﹣（3b）2
＝a2﹣9b2；
（3）原式＝32﹣（ab）2
＝9﹣a2b2；
（4）原式＝
＝．
【点睛】本题主要考查平方差公式的直接应用，解答的关键是对平方差公式的正确掌握．
2．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算即可；
（2）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，中间是减号，要注意变号；
（3）根据平方差公式直接进行计算；
（4）根据平方差公式直接进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式．
【点睛】本题主要考查平方差公式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．(1)9991；
(2)1．
【分析】对数进行适当变形，利用平方差公式运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键．
4．(1)1；
(2)999999．
【分析】根据平方差公式运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键．
5．C
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
．
故选C．
【点睛】本题考查了利用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
6．C
【分析】将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
7．C
【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，是完全平方公式，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．
8．A
【分析】把所求式子变形为，再整体代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式公式，熟练掌握平方差公式的变形是解题的关键．
9．D
【分析】将看作整体，利用平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
10．C
【分析】根据平方差公式：，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、能用平方差公式计算，符合题意；
D、不能用平方差公式计算，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题关键．
11．D
【分析】用代数式表示左图，右图阴影部分的面积即可．
【详解】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，而右图阴影部分是长为,宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
12．B
【分析】由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为长方形的面积，用两种方法表示出图中阴影部分面积即可求解．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，数形结合是解题的关键．
13．C
【分析】将原式乘以，即可利用平方差公式进行求解．
【详解】解：
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，正确原式乘以构造平方差公式是解题的关键．
14．A
【分析】把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．
【详解】解：∵，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．
15．A
【分析】首先利用正方形的面积，求得左边阴影部分的面积，然后根据梯形的面积公式求得右边阴影部分的面积，根据面积相等即可解答．
【详解】解：∵左图中阴影部分的面积是a2 b2，右图中梯形的面积是
（2a＋2b）（a b）＝（a＋b）（a b），
∴a2 b2＝（a＋b）（a b）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
16．A
【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别列式表示．
【详解】解：根据两个图形中阴影部分的面积相等得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查如何根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别列式表示即可求出结果．
17．6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【详解】解：∵x2-y2=30，且x+y=5，
∴（x-y）（x+y）=30，
∴x-y=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
18．1
【分析】直接利用平方差公式求出即可．
【详解】解：∵，m+n＝3，
∴（m﹣n）（m+n）＝6，
∴m﹣n=2，
∴1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
19．D
【分析】根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．
【详解】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：
，
故选D．
【点睛】本题考查列代数式，平方差公式，掌握拼图前后面积之间的和差关系是正确解答的关键．
20．
【分析】将原式变形为，然后多次利用平方差公式计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用；解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
21．2
【分析】原式在前面添加， 利用平方差公式即可求解．
【详解】
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平方差公式：，掌握公式的应用是解题的关键．
22．
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：
原式=（7-1）（7+1）（+1）（+1）（+1）（+1）
=×（-1）（+1）（+1）（+1）（+1）
=×（-1）（+1）（+1）（+1）
=×（-1）（+1）（+1）
=×（-1）（+1）
=×（-1）
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
23．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【点睛】本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握公式的特征．
24．5
【详解】试题分析：利用平方差公式和单项式乘多项式将原式展开，再合并同类项即可化简，把x的值代入计算即可．
试题解析：解：原式=
当x=2时，原式=－1+3×2=5．
点睛：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解答此题的关键．
25．(1) a2－4b ;(2) 182.4.
【详解】试题分析：
试题解析：（1）用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可求得阴影部分的面积；（2）把所得的代数式用平方差公式因式分解后，代入求值即可.
(1)S阴影＝a2－4b2；
(2)S阴影＝(a＋2b)(a－2b)＝(15.4＋2×3.7)(15.4－2×3.7)＝22.8×8＝182.4.
26．证明见解析．
【分析】由题意设两个连续奇数为2n-1，2n+1，然后根据平方差公式进行证明．
【详解】证明：设两个连续奇数为2n 1，2n+1，则
(2n 1)(2n+1)+1=(2n)2 1+1=(2n)2
∴两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．
【点睛】此题主要考查平方差公式的性质及其应用，熟记平方差公式是解题的关键．
27．探究活动：（1）；（2）；（3）；知识应用：（1）；（2）
【分析】（1）大正方形的面积与小正方形的面积的差就是阴影部分的面积；
（2）利用矩形的面积公式即可求解；
（3）根据（1）（2）表示的阴影部分面积相等即可解答；
知识应用：
（1）利用平方差公式即可求解；
（2）先把已知条件因式分解再代入即可求解．
【详解】解：探究活动：
（1）
（2）
（3）（等号左右顺序可互换）
知识应用：
（1）
（2）∵∴
∵
∴
即：
∴
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
28．（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
【详解】解：（1）∵28=82-62，
∴28是“神秘数”；
∵2012=5042-5022，
∴2012是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=8k，
此数是8的倍数，但不是4的奇数倍，
由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【点睛】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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