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专题1.6 完全平方公式
1． 掌握完全平方公式，理解公式中字母的含义；
2． 学会运用完全平方公式进行计算．了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3． 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算．
4．能用完全平方公式的逆运算解决问题
知识点一、完全平方公式
完全平方公式：
两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍．
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍．以下是常见的变形：
知识点二、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确．
知识点三、补充公式
；；
；．
知识点01 完全平方公式
典例1：
1．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
典例2：
2．若是完全平方式，则值是（ ）
A． B． C． D．
典例3：
3．运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
巩固练习
4．下列多项式中，完全平方式是（ ）
A． B． C． D．
5．若是完全平方式，则的值是 ．
6．已知，则的值为 ．
知识点02 添括号法则
典例：
7．下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
巩固练习
8．计算
(1)
(2)
一、选择题
9．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　）
A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a） B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）
C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b） D．（3a﹣2b）（3a+2b）
10．若，则代数式A是（　　）
A． B． C． D．
11．图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）

A．ab B． C． D．
12．若实数满足则的值为（　　）
A．3 B． C．4 D．
13．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）
A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）=2a2+3ab+b2
D．（a+b（2a+b）=a2+3ab+2b2
14．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　）
A． B．
C． D．
15．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是m2+10mn+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）
A．5n2 B．10n2 C．25n2 D．±25n2
16．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
17．若4x2﹣mxy+9y2是完全平方式，则m的值是（ ）
A．36 B．±36 C．12 D．±12
18．图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）

A．ab B． C． D．
二、填空题
19．若是完全平方式，则的值是 ．
20．已知，则的值为 ．
21．若是完全平方式，则的值为 ．
22．若是完全平方式，则常数m的值是 ．
23．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ．
24．如图，4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按图中的方式拼成一个边长为（）的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足的关系式是 .
三、解答题
25．计算：
(1)；
(2)．
26．已知．求：
(1)的值；
(2)的值．
27．化简：(2a+1)2﹣(2a+1)(﹣1+2a)
28．如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
29．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．
例如：求代数式的最小值．
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．
（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
30．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
31．如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．
(1)用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1＝　　 S2＝　　，S3＝　 ．
(2)若a+b＝10，ab＝24，求2S1﹣3S3的值；
(3)若S1＝12，S2＝10，S3＝18，求出图③中的阴影部分面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
2．B
【分析】首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和乘积的倍．
【详解】∵是一个完全平方式，
∴这两个数是和，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的倍，是完全平方式的主要结构特征，熟记完全平方公式，注意积的倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式直接求解即可．
（2）利用完全平方公式直接求解即可．
（3）利用完全平方公式直接求解即可．
【详解】（1）
，
（2）
，
（3）
，
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
4．C
【分析】根据完全平方公式进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
B、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
C、，是完全平方式，符合题意；
D、不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是解题关键．
5．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．25
【分析】已知等式利用完全平方公式化简后，代入可得：，然后展开所求式可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：25．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．B
【分析】根据添括号法则、平方差公式、平方性质、完全平方差公式分别计算验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据添括号法则，括号外是负的，添括号后括号内各项要变号，从而正确，不符合题意；
B、根据平方差公式，，该选项错误，符合题意；
C、根据平方性质，，该选项正确，不符合题意；
D、根据完全平方差公式，，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式运算，涉及添括号法则、平方差公式、平方性质、完全平方差公式等知识，熟练掌握相关运算法则及公式逐项验证是解决问题的关键．
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，然后合并同类项即可；
（2）先利用平方差公式进行计算，然后再利用完全平方公式进行计算，最后去括号即可．
【详解】（1）解：
，
（2）
．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式与平方差公式进行整式的乘法运算，灵活运用公式进行简便运算是解本题的关键．
9．B
【分析】先把各式变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．
【详解】解：A、原式=-（3a-2b）（3a+2b）=-（9a2-4b2）=-9a2+4b2，所以A选项不符合；
B、原式=-（3a+2b）2=-9a2-12ab-4b2，所以B选项符合；
C、原式=-（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C选项不符合；
D、原式=9a2-4b2，所以D选项不符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了平方差公式．
10．C
【分析】根据完全平方公式可进行求解．
【详解】解：，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
11．C
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2．
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．
故选C．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
12．A
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形形式，灵活应用公式．
13．A
【分析】根据图形，大长方形面积等于三个小正方形面积加上三个小长方形的面积和，列出等式即可．
【详解】解：∵长方形的面积=（a+b）（a+2b）
长方形的面积=a2+ab+ab+ab+b2+b2= a2+3ab+2b2，
∴（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2
故选：A．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．
14．D
【分析】此图形中，一个大正方形的面积小正方形的面积=四个矩形的面积．
【详解】解：如图，大正方形的面积，
小正方形的面积，
四个长方形的面积，
则由图形知，大正方形的面积小正方形的面积四个矩形的面积，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
15．C
【分析】根据m2－10mn＋■＝（m－5n）2求出即可．
【详解】∵m2－10mn＋■是一个二项式的平方，
∴■＝（5n）2＝25n2，
故答案为C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是能熟记公式的特点．
16．B
【分析】利用完全平方公式化简两个已知等式，再将它们相减即可得．
【详解】解：，
①，②，
由①②得：，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．
17．D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】∵4x2-mxy+9y2是完全平方式，
∴m=±12，
故选D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．C
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2．
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．
故选C．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
19．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．25
【分析】已知等式利用完全平方公式化简后，代入可得：，然后展开所求式可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：25．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21．4或-8
【分析】利用完全平方公式得到x2+（k+2））x+9=（x+3）2或x2+（k+2）x+9=（x-3）2，则k+2=±6，然后解关于k的方程．
【详解】解：∵x2+（k+2）x+9是一个完全平方式，
∴x2+（k+2）x+9=（x+3）2或x2+（k+2）x+9=（x-3）2，
∴k+2=±6，
∴k=4或-8．
故答案是：4或-8．
【点睛】本题考查了完全平方式：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
22．7或-1##-1或7
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：x2+2（m-3）x+16=（x±4）2=x2±8x+16，
∴2（m-3）=±8，
∴m=7或-1．
故答案为：7或-1．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
23．4或-6
【分析】依据完全平方式的结构特点列出关于m的方程即可．
【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式，
∴，即
∴解得：m=4或m=-6，
故答案为：4或-6.
【点睛】本题主要考查的是完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题关键．
24．
【分析】先用含有a、b的代数式分别表示 ，再根据 ，整理得出结论．
【详解】由题意得： ；
＞0
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了完全平方公式 、平方差公式 ．
25．(1)
(2)
【分析】（1）原式两项利用完全平方公式展开，合并即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式展开，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查利用完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并灵活应用是解本题的关键．
26．(1)30
(2)13
【分析】（1）化简得，然后将代入即可求解．
（2）化简得，然后将代入即可求解．
【详解】（1）解：，
，
将代入得，
原式，
．
（2）解：原式，
，
，
将代入得，
原式，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和整体代入思维，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
27．4a+2
【分析】运用完全平方和公式、多项式乘多项式法则去括号后，再合并同类项即可．
【详解】(2a+1)2﹣(2a+1)(﹣1+2a)
=4a2+4a+1-4a2+1
=4a+2
【点睛】考查了整式的混合运算，解本题的关键运用完全平方和公式（（a+b）2=a2+2ab+b2）和多项式乘多项式法则（（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd）．
28．（1）5a2+3ab；（2）63.
【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）根据题意得：
（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab；
（2）当a=3，b=2时，
原式=.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．
29．（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．
【分析】（1）根据完全平方公式将写成，然后利用非负数的性质进行解答；
（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答.
【详解】（1）原式
当时，代数式有最小值为1；
（2）原式
代数式有最小值为3．
（3）原式
当，时，多项式有最大值为17．
【点睛】本题考查了配方法和完全平方公式的应用，以及偶次方非负性的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
30．（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可.
（2）将，代入（1）中得到的式子，然后计算即可；
（3）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【详解】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根据题意得，
所以，，
所以
答：小明总共需要张纸．
【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键.
31．(1)4b2﹣4ab+a2，a2﹣2ab+b2，2b2﹣ab
(2)﹣16
(3)38
【分析】（1）根据图形阴影部分的特征可进行求解；
（2）把（1）中式子代入，然后根据整式的加减运算可进行求解；
（3）由题意易得S＝，然后根据S1＝12，S2＝10，S3＝18可求出a2＝76，b2＝34，ab＝50，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
S1＝（2b﹣a）2＝4b2﹣4ab+a2
S2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
S3＝（2b﹣a）b＝2b2﹣ab
故答案为：4b2﹣4ab+a2，a2﹣2ab+b2，2b2﹣ab．
（2）解：2S1﹣3S3＝2（4b2﹣4ab+a2）﹣3（2b2﹣ab）
＝8b2﹣8ab+2a2﹣6b2+3ab
＝2（a2+b2）﹣5ab
＝2（a+b）2﹣9ab
把a+b＝10，ab＝24代入上式：2（a+b）2﹣9ab＝﹣16
答：2S1﹣3S3的值是﹣16．
（3）解：阴影部分面积：S＝a（a+b）﹣a2﹣b（a+b）﹣b（a﹣b）＝，
∵S1＝（2b﹣a）2＝12，，S3＝（2b﹣a）b＝18，
∴a2＝76，b2＝34，ab＝50，
∴S＝a（a+b）﹣a2﹣b（a+b）﹣b（a﹣b）
＝
＝
＝38．
答：图③中的阴影部分面积是38．
【点睛】本题主要考查完全平方公式与几何图形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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