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专题4.1认识三角形
1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．毛
2.理解并会应用三角形三边间的关系．
3.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．
4.对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
知识点01. 三角形的分类
（1）锐角三角形（三个角都是锐角）
（2）直角三角形（有一个角是直角）
（3）钝角三角形（有一个角是钝角）
知识点02.三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
知识点03.三角形的三线
（1）在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．（三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分）
（2）在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．
（3）从三角形的一个顶点向它的对面所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言 1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等．
注意事项 1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同．
重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
知识点04.三角形的角
（1）三角形的三个内角和等于180°．
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
知识点01 三角形的分类
典例：
1．在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
巩固练习
2．一个三角形的三个外角之比为，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
3．图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
4．若一个三角形两个外角之和为，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
知识点02 三角形的三边关系
典例：
5．有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形．
巩固练习
6．已知：a，b，c是三角形的三条边，化简：．
7．嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，下列说法不正确的是（ ）
A．直线m，n相交于点P B．
C． D．直线m不经过点Q
知识点03 三角形的三线
典例：
9．如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确
典例：
10．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
巩固练习
11．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的垂心不一定只有一个
B．三角形的外心一定在三角形的内部
C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D．三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
12．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
知识点04 三角形的角
典例：
13．已知三角形的一个外角为，则三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
典例：
14．下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角
B．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于
D．如果三角形的两个内角之和小于，那么这个三角形是钝角三角形
巩固练习
15．已知三角形的一个最大角的度数，（ ）判断出它是什么三角形．
A．能 B．不能 C．不一定 D．无法确定
16．在△ABC中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
一、选择题
17．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2、2、4 B．1、2、3 C．5、4、3 D．10、5、4
18．已知线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则的值不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．如图，在中，，，平分，平分的外角，则（ ）
A． B． C． D．
20．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
21．如图，在中，D是延长线上一点，，，则（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
22．如图，在中，D是延长线上一点，，，则（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
23．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
24．如图，下列说法不正确的是（ ）
A．直线m，n相交于点P B．
C． D．直线m不经过点Q
二、填空题
25．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于 ．
26．设a，b，c是的三边，化简： ．
27．如图，已知是的中线，，且的周长为16，则的周长是 ．
28．如图，在中E是上的一点，，点D是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则 ．
三、解答题
29．如图，,,平分，求的度数．
30．如图，分别是的高和角平分线，．求的度数．
31．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究与，，的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点B、C，若，则　 　°．
②如图③，平分，平分，，，求的度数．
32．如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．
(1)试探究与的大小关系；
(2)试探究与的大小关系；
(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据由题意，在三角形中有一个角是锐角，无法判断另外两个角的情况，有可能另外两个角都是锐角，也有可能是一个锐角一个直角， 或者一个锐角一个钝角．
【详解】解：若∠A=30°，∠B=70°，∠C=80°，此时为锐角三角形，若∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°， 此时为直角三角形，若∠A=30°，∠B=120°，∠C=30°，此时为钝角三角形，故不确定，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形按角的大小分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形是解题的关键．
2．B
【分析】把这个三角形的外角和平均分份，最小角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．
【详解】因为，
最小的外角为：，
与最小外角相邻的内角为：
所以这个三角形里最大的角是钝角，
所以这个三角形是钝角三角形．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形外角和定理，解题时注意：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
3．D
【分析】根据图中信息即可判定．
【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角．
4．A
【分析】根据三角形的外角和为，两个外角之和为，则第三个外角的度数为，则其相邻内角也是，从而判定形状．
【详解】因为三角形的外角和为，两个外角之和为，
所以第三个外角的度数为，
所以其相邻内角也是，
所以三角形是直角三角形，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的外角和，三角形的形状判定，熟练掌握三角形外角和，准确判定三角形的形状是解题的关键．
5．3
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案．
【详解】解：（1）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形；
（2）当取、、三条线段时，∵，故不能构成三角形；
（3）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形；
（4）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形．
综上所述，可作3个不同的三角形．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键．
6．
【分析】根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a-b-c＜0，-a+b-c＜0，a-c+b＞0，
∴
=
=
=
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，难度适中．
7．D
【分析】根据三角形的三边关系，确定出第三根木棒长度的取值范围，即可确定三角形的周长的范围，结合选项即可得出答案．
【详解】解：设第三根木棒长，
∵两根木棒的长分别为、，
∴，即，
∵该三角形的周长
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
8．B
【分析】根据三角形的三边关系，结合图形判断即可．
【详解】解：A.直线m，n相交于点P，本选项说法正确，不符合题意；
B.在中，，故，本选项说法不正确，符合题意；
C.在中，，故，本选项说法正确，不符合题意；
D.直线m不经过点Q，本选项说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系、三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边．
9．D
【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高．
【详解】解：∵AD⊥AB，
∴AD是△ABD中AB边上的高；不是△ACD的高；也不△ABC的高．
故②正确，①③错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．
10．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段应该是的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
11．D
【分析】根据三角形的垂心、外心、内心、重心的意义及重心的性质判断即可．
【详解】A．三角形的垂心是指三角形的三边上的高所在直线的交点，则垂心是唯一的，故此说法错误；
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，此交点可在三角形的外部、内部，也可以在三角形的边上，故此说法错误；
C．三角形的内心是三角形三内角平分线的交点，则此点到三角形三边的距离相等，故此说法错误；
D．根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的2倍，由此可知重心与两个顶点所构成的三角形的面积是：，其中S表示原三角形的面积，故此结论正确；
故选：D
【点睛】本题考查三角形的垂心、外心、内心及重心的意义，重心的性质，掌握这些知识是解题的关键．
12．A
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的定义和性质，逐一进行判断即可．
【详解】A、三角形的三条中线交于一点，说法正确，符合题意；
B、三角形的角平分线是线段，原说法错误，不符合题意；
C、三角形的高所在的直线交于一点，当三角形为锐角三角形时，交点在三角形的内部，当三角形为直角三角形时，交点在直角顶点上，当三角形为钝角三角形时，交点在三角形的外部，原说法错误，不符合题意；
D、三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，原说法错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查三角形的三条重要线段．熟练掌握三角形中的中线，角平分线和高线是三条线段，三角形的中线平分三角形的面积，以及高线所在的直线交于一点，该点可能在三角形的内部，外部和三角形上，是解题的关键．
13．B
【分析】利用三角形外角与内角的关系计算．
【详解】解：一个外角为，所以与它相邻的内角的度数为，
所以三角形为钝角三角形．
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类，熟练掌握分类标准是解题的关键．
14．B
【分析】根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形．
【详解】解：A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意；
B．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，选项说法错误，符合题意
C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，选项说法正确，不符合题意
D．如果三角形的两个内角之和小于，那么剩下的一个角肯定大于，所以为钝角三角形，选项说法正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角．
15．A
【分析】如果最大角的度数大于或等于90°，就可以判定是钝角或者直角三角形；如果小于90°，则能判定是锐三角形；进而得出结论．
【详解】解：由分析知：已知三角形的一个最大角的度数，能判断出它是什么三角形；
故选：A．
【点睛】此题考查的是三角形的分类，应根据具体情况进行分析解答．
16．A
【分析】由已知条件，结合三角形的分类即可解答．
【详解】解：在三角形ABC中，∠A－∠B＝90°，
∴△ABC是钝角三角形
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的分类，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
17．C
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得，
A．，不能组成三角形，不符合题意；
B．，不能够组成三角形，不符合题意；
C．，能够组成三角形，符合题意；
D．，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
18．D
【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，即，
∴，
∴四个选项中只有选项D符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
19．D
【分析】先利用角平分线的定义求出和，再根据三角形外角的性质求解．
【详解】解：∵，，平分，平分，
∴， ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从这个外角看到， 根据等量代换解决此题．
20．A
【分析】根据三角形具有稳定性分析，只有组成该图形的所有图形都是三角形时该图形才具有稳定性，据此进行解答即可．
【详解】解：根据三角形的稳定性可得，B、C、D都不具有稳定性，具有稳定性的是A选项．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是三角形具有稳定性；解题的关键是熟练的掌握三角形具有稳定性．
21．C
【分析】由，直接可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角之和”是解本题的关键．
22．C
【分析】直接根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
23．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段应该是的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
24．B
【分析】根据三角形的三边关系，结合图形判断即可．
【详解】解：A.直线m，n相交于点P，本选项说法正确，不符合题意；
B.在中，，故，本选项说法不正确，符合题意；
C.在中，，故，本选项说法正确，不符合题意；
D.直线m不经过点Q，本选项说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系、三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边．
25．##度
【分析】先利用三角板中角度的特点求出，再根据三角形外角的性质求出的度数即可．
【详解】解：如图所示，由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
26．
【分析】直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：∵a，b，c分别为的三边，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系以及绝对值化简，正确去绝对值是解题关键．
27．14
【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：∵是的中线，即点D是线段的中点，
∴，
∵，的周长为16，
∴，即，
解得，
∴，
则的周长是，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．
28．##
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则
，则，然后利用
即可得到答案．
【详解】解：∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
；
故答案为：．
【点睛】题目主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键．
29．
【分析】根据角平分线的性质求出的度数，再根据邻补角以及外角的性质即可求解．
【详解】，平分，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，邻补角以及外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
30．47°
【分析】由角平分线的定义可求得的度数，根据三角形外角的性质可求得的度数，利用三角形的高线可求解．
【详解】解：是的角平分线，，
，
，
是的高，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的高线，角平分线，三角形外角的性质，求解∠C的度数是解题的关键．
31．(1)；理由见解析
(2)①；②
【分析】（1）首先连接并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出；
（2）①由（1）可得，然后根据，，即可求解；
②由，，求出的值，然后根据，求出的度数即可．
【详解】（1）解：如图，，理由如下：
连接并延长至点F，如图所示：
∵，，
∴，
即；
（2）解：①∵，
由（1）知：，
∵，
∴，
故答案为：50；
②∵，，
∴根据解析（1）可知，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴根据解析（1）可知，．
【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
32．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可．
【详解】（1）解：，理由为：
，
∴
即：
（2），理由为：
在中，，
在中，，
两式相加得：+
即：
（3），理由为：
如图，延长交的延长线于G，交于点F，
在中，，①
在中，，②
中，，③
得：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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