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专题4.3探索三角形全等的条件
1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“HL”定理．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
知识点01． 全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△．

（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角角边”或“AAS”）
特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等．这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
知识点02． 直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点03． 全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
知识点04． 全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
知识点01 全等三角形的判定
典例：
1．2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
典例：
2．如图，点E，C，F，B在一条直线上，，，当添加条件 时，可由“边角边”判定．
巩固练习
3．如图，已知，，，求证：．
4．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，且．求证：．
知识点02 直角三角形全等的判定
典例：
5．如图，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求证：
巩固练习
6．如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由．
知识点03 全等三角形的判定与性质
典例：
7．如图，已知，，，是的平分线，且交的延长线于点．若，则线段长为 ．
典例：
8．如图，的角平分线、相交于点、若，交于、交于．直接写出、、的数量关系 ．
巩固练习
9．如图，在中，已知，，，，则 ．
10．如图，四边形的对角线与相交于点，，求证：．
知识点04 全等三角形的应用
典例：
11．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
典例：
12．小华同学周末在家做家务，不慎把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以选择的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
巩固练习
13．如图，要测量池塘两岸相对的两点、的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点、，使得，再画出的垂线，使点与点、在一条直线上，这是测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)若在网格上有与全等，请画出所有可能的．（点与点不重合）
(2)的面积为___________．
一、选择题
15．已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
16．如图要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再确定出的垂线，使得点，，在同一条直线上，测得米，因此，的长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
17．如图：，要使，不能添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，已知于点D，现有四个条件：①；②；③；④，那么不能得出的条件是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
19．如图，与相交于点，，若用“”证明，还需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，已知 ，，有下列结论：①；② ；③；④ ．其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
21．如图，，，，，则图中全等三角形的对数是（　　）
A．3对 B．2对 C．1对 D．4对
22．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
23．已知．下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
24．如图，在中，，点D在上（不与点B，C重合），若要证明，请添加一个条件 ．（写出一个即可）
25．如图，点E，C，F，B在一条直线上，，，当添加条件 时，可由“边角边”判定．
26．如图，已知，，请你添加一个条件 ，使．
27．给出下列说法：
①如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等；
②两直角边分别对应相等的两个直角三角形全等；
③一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤过直线外一点向这条直线作的垂线段，叫做这个点到直线的距离．
其中正确的有 个．
28．已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，当点P运动 秒时，和全等．
三、解答题
29．已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，求证：．
30．如图，在中，点P，Q分别在边及的延长线上，且．
(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作，且点M在的上方；
②在上截取；
③连接．
(2)猜想与验证：试猜想线段和的数量关系，并证明你的猜想．
31．如图，在中，点是的中点，交于点，交于点．
求证：．
32．如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
33．完成下面的证明过程．
已知：如图，，于，于，．试说明：．
解：∵（已知）
∴（______）．
∵，（已知），
∴____________．
∵．（已知），
∴______（______）．
即______．
∴____________（______）．
∴（______）．
34．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
(1)直接写出图1中的取值范围：________________
(2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
(3)如图3，AD是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明．
【详解】∵E，F分别是，的中点，
∴
在与中
∴
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
2．（答案不唯一）
【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴用“边角边”证明，
∴需要添加条件是：．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，理解“边角边”定理是解题的关键．
3．见解析
【分析】先证得，再利用证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．见解析
【分析】首先求出，进而利用全等三角形的判定定理ASA证明两个三角形全等．
【详解】解：
，
，
在和中，
(ASA)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可．
（2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键．
6．△CBE是等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】证明△ABC≌△DEB即可．
【详解】△CBE是等腰直角三角形．
理由如下：
∵∠D=90°
∴∠DEB+∠DBE=90°，
∵∠ABC=∠DEB，
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∴∠CBE=180°－(∠ABC+∠DBE)=90°．
在△ABC和△DEB中，
．
∴△ABC≌△DEB(AAS)．
∴BC=EB．
∴△BCE是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，这个题是典型的一线三垂直模型，根据已知条件证明全等是解题的关键．
7．4
【分析】延长与的延长线相交于点，利用证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，延长与的延长线相交于点，
，，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
．
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．
【分析】由三角形定理得由角平分线定义得，，在上截取，连接，证明进一步得出，再证明得出，从而可得出结论
【详解】在中，
∵平分，平分
∴
∴
∴
∴
在上截取，连接
在和中，
∴
∴
在和中，
∴
∵
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和与差，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键
9．3
【分析】由已知条件易证，再根据全等三角形的性质得出结论．
【详解】在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．见解析
【分析】先根据定理证明，由全等三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11．C
【分析】由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，于是可根据ASA进行判断.
【详解】解：由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，可根据ASA画出一个与书上完全一样的三角形；
故选：C.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
12．A
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【详解】解：A、带①②去，符合判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
13．A
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】解：因为证明在用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时注意选择．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定作出图形即可；
（2）利用三角形的面积公式求出即可．
【详解】（1）解：如图，、、即为所求．
；
（2）解：的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
15．A
【分析】延长至E，使，连接，证明，得到，然后利用三角形的三边关系求解．
【详解】解：延长至E，使，连接，
∵，
∵是中边上的中线，
∴，
∵，
∴
∴，
∴在中：，
即，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边形关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，以及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键．
16．C
【分析】根据“ASA”证明得出，即可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵在和中
，
∴（ASA），
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
17．D
【分析】依据全等三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：A、，，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，，，，，不符合题意；
D、，两边及其一边的对角相等，∴两三角形不一定全等，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．D
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
A、若，，可用角角边证得，故本选项不符合题意；
B、若，，可用角角边证得，故本选项不符合题意；
C、若，，可用边角边证得，故本选项不符合题意；
D、若，，是角角角，不能证得，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、边边边是解题的关键．
19．B
【分析】利用对顶角相等，则要根据“”证明，需要添加对应边与相等即可．
【详解】解：，
当时，可利用“”判断，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选择哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找他们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对应边对应相等，且要是两角的夹边；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
20．D
【分析】利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可．
【详解】∴，，，
∴（），故①正确，
∴，，，
∵，
∴，即，故②③④正确．
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键．
21．A
【分析】由平行线的性质求得，证得；推出，利用可证明和．
【详解】解：∵，，
∴，
又，
∴；
∴，
∵，，，
∴；
∵，
∴，
∵，，
∴，
综上，全等三角形有3对，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有，，，，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22．C
【分析】由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，于是可根据ASA进行判断.
【详解】解：由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，可根据ASA画出一个与书上完全一样的三角形；
故选：C.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
23．B
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合两个三角形全等的判定定理即可确定答案．
【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理，掌握尺规作图及两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
24．（答案不唯一）
【分析】添加条件，可利用证明．
【详解】解：添加条件，理由如下：
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
25．（答案不唯一）
【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴用“边角边”证明，
∴需要添加条件是：．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，理解“边角边”定理是解题的关键．
26．（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：添加，理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
27．
【分析】①根据平行线的性质，进行判断；②根据全等三角形的判定方法，进行判断；③根据平行线的性质，进行判断；④根据垂线的性质，进行判断；⑤根据点到直线的距离的定义，进行判断．
【详解】解：①如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等；故①错误；
②两直角边分别对应相等的两个直角三角形，利用可以得到两个三角形全等，故②正确；
③一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
或
故③错误；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故④错误；
⑤过直线外一点向这条直线作的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．故⑤错误；
综上，正确的是：②，共个．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的性质，点到直线的距离，全等三角形的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
28．2或14##14或2
【分析】分三种情况：点在上，点在上，点在上，分别进行求解即可．
【详解】解：当点在上时，
，，
当时，，
∴，
当点在上时，不是直角三角形，
∴和全等不可能成立，
当点在上时，
，，
当时，，
∴，
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．解题的关键是选择合适的方法证明三角形全等．
29．见解析
【分析】根据，可以得到，再根据，可以得到，然后根据，即可证明．
【详解】证明∵
∴，即
∵
∴
在与中
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
30．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）按照尺规作图的方法作出图形即可；
（2）利用证明即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，
；
（2）解：结论．理由如下，
∵，∴，
由作图知，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．见解析
【分析】根据平行线的性质得出，，根据点是的中点，得出，根据即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
32．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1根据，求出，运用即可证；
（2）结合全等三角形的性质，利用锐角互余和三角形的外角，求解即可．
【详解】（1）证明：,
，
，
在与中，
，
；
（2），
，
,，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、直角三角形锐角互余以及三角形的外角；构建线段相等，证明三角形的全等并正确计算时阶梯的关键．
33．两直线平行，内错角相等；；；；等式性质；；；；；全等三角形的对应边相等；
【分析】先由，运用平行线的性质得，再由垂直定义得，根据即可判定三角形全等．
【详解】证明：（已知）
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
．
，（已知），
（等式性质），
即．
，
（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；等式性质；；全等三角形的对应边相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂直定义，熟悉判定三角形全等的方法是解题关键．
34．(1)
(2)，，证明见解析
(3)，
【分析】（1）由题意可得及三角形三边关系，即可求解；
（2）通过证明，得出，即可得出结论；
（3）同（2）得，则，，进而判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：
∵，
∴，
故答案为；
（2），理由如下
延长到M使，连接
∵是的中线
∴
在和中
∴
∴
∴，；
（3），，理由如下
在下图中，延长到Q使得，连接
由（2）知，
∴，
∵
∴
在中，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴，
延长交于点
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
综上：，．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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