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专题2.1两条直线的位置关系
1．理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；
2．理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；
3．熟练掌握利用垂线性质与角平分线综合运算；
5．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题；
知识点01．对顶角的概念和性质
1．相交线的定义：
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点．如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O．
2．对顶角
定义：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角．如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角．
注意：两个角互为对顶角的特征是：
（1）角的顶点公共；
（2）角的两边互为反向延长线；
（3）两条相交线形成2对对顶角．
性质：
文字语言：对顶角相等．
符号语言：如图2，
∵∠2和∠4是对顶角，
∴∠2=∠4
知识点02．余角和补角的概念和性质
1．余角
定义：一般地，如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角，其中的一个角是另一个角的余角．
性质：文字语言：同角（等角）的余角相等．
符号语言：∵∠1+∠2=90°，∴∠1与∠2互余
∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2=90°．
2．补角
定义：一般地，如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．
性质：文字语言:同角（等角）的补角相等．
符号语言：∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补，
∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．
补充：
邻补角的定义：
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角．如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°．
余角和补角的判断是看两个角的和，与角的位置无关．
知识点03．垂线
定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O．
注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB．
画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）．
注意：
（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
（2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
知识点04．点到直线的距离
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
如上图所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离．
注意：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
知识点01 对顶角的概念和性质
典例1：
1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
巩固练习
2．如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB=48°，则∠COD的度数是（ ）
A．42° B．48° C．96° D．132°
知识点02 余角和补角的概念和性质
典例1：
3．如果和互补，比的2倍少，则 ．
典例2：
4．若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度．
巩固练习
5．一个角的余角的3倍等于它的补角，则这个角的度数为 ．
6．如图，直线a与直线b相交于一点．若，则的度数为（　　）
A．55° B．60° C．62° D．120°
知识点03 垂线
典例1：
7．过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（ ）
A． B．
C． D．
巩固练习
8．某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作，垂足为B，CD为河岸，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（ ）
A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．垂线段最短
9．如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．
知识点04 点到直线的距离
典例1：
10．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
巩固练习
11．如图，AC⊥BC，点C为垂足，则下列说法错误的是( )
A．在线段AB、BC、CA中，AB最长 B．BC的长是点C到直线AB的距离
C．AC的长是点A到直线BC的距离 D．BC的长是点B到直线AC的距离
12．如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA=5，PO=4，PB=4.3，OC=3，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．4.3 D．5
一、选择题
13．下列说法正确的是( )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．在平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线a外一点M与直线a上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是，则点M到直线a的距离是
14．下列说法：①等角的余角相等；②两点确定一条直线；③同角的补角相等；④两点之间直线最短．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，，，点B，O，D在同一条直线上，∠2＝（　　）
A． B． C． D．
16．已知，则的余角等于（ ）
A． B． C． D．
17．如图，，，，，则线段的长度的取值范围是( )
A．大于 B．小于 C．大于或小于 D．大于且小于
18．如图，已知AB⊥CD于O，直线EF经过点O，与AB的夹角∠AOE＝52°，则∠COF的度数是( )
A．52° B．128° C．38° D．48°
二、填空题
19．如图，现要从幸福小区修建一条连接街道的最短小路，过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是 ．
20．如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则的度数为 ．
21．为了丰富学生的课余生活，进一步增强学生的身体素质，某校决定召开春季运动会．各班积极准备，选拔优秀队员参加比赛．如图，是该校七年级1班王明同学在跳远选拔比赛中最好的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.55米，PB＝5.42米，MA＝5.63米，那么他的跳远成绩应该为 米．
22．如图，直线，相交于点，若，则 ， .
三、解答题
23．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
(1)图中∠1的余角是 　 　；补角是 　 　；
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
24．如图，汽车站、码头分别位于两点，直线和波浪线分别表示公路与河流．
(1)从汽车站到码头怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；
(2)从码头到公路怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．
25．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE＝2∠DOF，且有OG⊥AB，求∠EOG的度数．
26．如图，直线AB与CD相交于点O，OEAB，OFCD．
(1)图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填出来）．
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；③ ．
(3)①如果∠AOD＝140°．那么根据 ，可得∠BOC＝ 度．
②如果，求∠EOF的度数．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据对顶角的定义作出判断即可．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有B选项的是对顶角，其它都不是．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角的定义，解题关键是明确两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
2．B
【分析】根据对顶角相等可得答案．
【详解】∵∠AOB和∠COD是对顶角，∠AOB=48°，
∴∠COD=∠AOB=48°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
3．115
【分析】根据题意可得，从而可求解．
【详解】解：∵和互补，比的2倍少，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：115
【点睛】本题考查了补角的定义，知道是本题的关键．
4．70度
【分析】设出所求的角为x，则它的补角为180°-x，余角为90°-x，根据题意列出方程，再解方程即可求解．
【详解】设这个角的度数是x，则它的补角为：180°-x，余角为90°-x；
由题意，得：（180°-x）-2（90°-x）=70°．
解得：x=70°．
答：这个角的度数是70°．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义；根据角之间的互余和互补关系列出方程是解决问题的关键．
5．45°
【分析】首先设这个角的度数为x，则它的补角为180°﹣x，余角为90°﹣x，再根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，根据题意得：
3（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝45°．
所以这个角的度数为45°．
故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查了余角和补角，互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的题干中找出角之间的数量关系，从而列出方程求解，也考查了解一元一次方程．
6．B
【分析】根据题意得，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
＝
＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角相等，解题的关键是掌握对顶角相等．
7．B
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【详解】解：A．没有过点，故该选项不符合题意；
B．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
C．为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；
D．没有垂直于，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．
8．D
【分析】根据垂线段最短进行解答即可．
【详解】解：某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作AB⊥CD，垂足为B，
然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是：垂线段最短，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
9．见详解
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”即可获得答案．
【详解】解：如下图，过李庄作铁路所在直线的垂线，选取垂足处建火车站，
理由是：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的知识，理解并掌握垂线段最短是解题关键．
10．D
【详解】如图所示，根据点到直线的距离就是这个点到这条直线垂线段的长度可知，
线段AB是点B到AC的距离，
线段CA是点C到AB的距离，
线段AD是点A到BC的距离，
线段BD是点B到AD的距离，
线段CD是点C到AD的距离，
所以图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D.
11．B
【分析】根据点到直线的距离以及点到直线的距离垂线段最短进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵AC⊥BC，∴根据垂线段最短可知，BC＜AB，AC＜AB，即在线段AB、BC、CA中，AB最长，故此说法正确，不符合题意；
B、BC的长度是点B到AC的距离，故此说法错误，符合题意；
C、AC的长度是点A到BC的距离，故此说法正确，不符合题意；
D、BC的长度是点B到AC的距离，故此说法正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键．
12．B
【分析】点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【详解】解：由于OP⊥直线l，
根据题意知：点P到直线l的距离等于PO的长，
即点P到直线l的距离PO=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
13．D
【分析】根据各选项涉及的相关知识进行判断即可．
【详解】解：A．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意；
B．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故原说法错误，不符合题意；
C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意；
D．直线a外一点M与直线a上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是，则点M到直线a的距离是，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离、垂直定义的理解，熟知涉及的相关知识是解答的关键．
14．C
【分析】根据余角的定义、直线的性质、补角的定义、两点之间线段最短逐个分析即可解答．
【详解】解：①等角的余角相等，故①说法正确；
②两点确定一条直线，故②说法正确；
③同角的补角相等，故③说法正确；
④两点之间线段最短，故④说法错误，
因此正确的是①②③，有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了余角的定义、补角的性质、线段的性质、直线的性质等知识点，熟练掌握相关定义、性质是解题的关键．
15．A
【分析】利用互余角的概念与邻补角的概念解答即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∵点B，O，D在同一条直线上，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角的和差运算，互余角的关系以及邻补角的关系．准确使用邻补角的关系是解题的关键．
16．A
【分析】根据余角的定义，可知的余角的度数．
【详解】解：的余角．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余角的知识，掌握余角的定义是解题关键．
17．D
【分析】根据垂线段最短进行求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
即的长度的取值范围是大于且小于．
故选：D．
【点睛】本题考查垂线段最短，会利用垂线段最短判断线段的长短是解答的关键．
18．C
【分析】首先根据垂直定义可得∠AOD=90°，再根据余角定义可计算出∠EOD的度数，再根据对顶角相等可得答案．
【详解】解：∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∵∠AOE=52°，
∴∠EOD=90°﹣52°=38°，
∴∠COF=∠EOD=38°，
故选C．
【点睛】此题主要考查了垂线和对顶角的性质，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
19．垂线段最短
【分析】由垂线段的性质，即可判断．
【详解】解：过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段的性质，关键是掌握：垂线段最短．
20．25°##25度
【分析】利用对顶角相等得，再由垂直关系及即可求得结果．
【详解】、是对顶角，
；
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，垂直关系，角的运算等知识，结合图形并能运用这些知识是关键．
21．5.42
【分析】先找到脚后跟的位置，脚后跟的位置到起跳线的距离即为跳远成绩．
【详解】，
故PA、PB为跳远距离，
又
故跳远距离为PB＝5.42米．
故答案为：5.42．
【点睛】本题考查点到直线的距离的实际应用，解决本题的关键是将实际问题抽象为数学问题解决．
22． ##度 ##度
【分析】设，，根据邻补角关系列出方程，解方程求出和，再利用对顶角关系即可求出．
【详解】解：设，，根据题意得：
，
解得：，
，，
；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义；弄清两个角之间的邻补角关系和对顶角关系是解题的关键．
23．(1)∠AOC和∠BOD，∠DOM
(2)ON⊥CD，见解析
【分析】（1）根据余角的定义与补角的定义进行求解即可；
（2）由（1）可知∠1+∠AOC=90°，从而可求得∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，即可判断ON与CD的位置关系．
【详解】（1）解：∵OM⊥AB，
∴∠1+∠AOC＝90°，即∠1与∠AOC互余，
∠BOM＝90°，
∴∠1+∠BOD＝180°﹣∠BOM＝90°，即∠1与∠BOD互余，
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠1+∠DOM＝180°，即∠1与∠DOM互补，
故答案为：∠AOC和∠BOD，∠DOM；
（2）ON⊥CD，理由如下，
∵∠1+∠AOC＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD．
【点睛】本题主要考查余角与补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
24．(1)作图见解析，理由见解析
(2)作图见解析，理由见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题．
（2）根据垂线段最短解决问题．
【详解】（1）解：如图，连接，线段即为所求作．
（2）如图，过点作于点，线段即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．50°
【分析】设∠DOB=x，则其余角为：x，先解出x，然后根据∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，表示出∠EOG即可求解．
【详解】解：设∠DOB=x，则其余角为：x，
∴x+x=90°，解得：x=60°，
根据∠AOE=2∠DOF，
∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等），
∴3∠DOF=∠DOB=60°，
故∠DOF=20°，∠BOF=40°，
∵有OG⊥OA，
∴∠EOG=90°-∠BOF=50°．
故∠EOG的度数是50°．
26．(1)∠AOC、∠EOF、∠BOD
(2)见解析
(3)①对顶角相等，140；②30°
【分析】（1）根据图形及余角的定义可得出答案．
（2）根据图形可找出三对相等角．
（3）观察图形可知∠AOD和∠BOC是对顶角，由此可得出答案．
【详解】（1）根据图形可得：∠AOC、∠EOF、∠BOD都是∠AOF的余角；
（2）∠AOC＝∠EOF＝∠BOD，∠COE＝∠BOF，∠AOD＝∠COB，∠AOF＝∠DOE（只须写出不重复的三对即可）．
（3）①对顶角相等，∠BOC=∠AOD=140°．
②∠EOF=x°，则∠AOD=5x°，
由∠EOF+∠DOE=90°，∠DOE+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠EOF=x°，又∠AOD+∠BOD=180°，
所以x+5x=180，
解得x=30，
即∠EOF=30°
【点睛】本题考查余角和补角的知识，有一定难度，关键是仔细地观察图形，注意不要遗漏满足条件的角．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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