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专题2.2探索直线平行的条件
1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念；
2．结合图形识别同位角、内错角、同旁内角；
3．理解和掌握平行线的判定公理及3个判定定理．
4．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．
5．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．
知识点01． 同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示．
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角（同旁同侧）图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8．
图形结构特征：形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角（内部异侧）．图中的内错角还有∠4与∠6．
图形结构特征：形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角（同旁内侧）．图中的同旁内角还有∠3与∠6．
图形结构特征：形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）
注意：①三线八角，是位置关系，不是大小关系．
②三线八角所形成的8个角中，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．
③速记
知识点02． 平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同位角相等，两直线平行
几何符号语言：∵∠3＝∠2∴ABCD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：内错角相等，两直线平行
几何符号语言：∵∠1＝∠2∴ABCD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：∵∠4＋∠2＝180°∴ABCD（同旁内角互补，两直线平行）
判定方法4：平行于同一条直线的两条直线平行．（平行的传递性）
几何符号语言：∵ab，bc ∴ac
判定方法5：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
知识点01 同位角、内错角、同旁内角
典例：
1．如图，（1）∠1 和∠3 是直线 和 被直线 所截而成的 角；
（2）能用图中数字表示的∠3 的同位角是 ；
（3）图中与∠2 是同旁内角的角有 个．
巩固练习
2．如图，直线a、b被直线c所截，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
（2021春 饶平县校级月考）
3．如图，与∠1是同位角的角是 ，与∠1是内错角的角是 ，与∠1是同旁内角的角是 ．
知识点02 平行线的判定
典例：
4．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
典例：
5．如图，给出下列条件：①；②；③，且．其中能推出的条件为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
典例：
6．将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠　 　（ 　 　）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠　 　（ 　 　）．
∴（ 　 　）．
巩固练习
7．如图，下列条件中：①；②；③；④；能判定的条件个数有 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知：如图，，．
求证：∥．
9．把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴（ ）．
一、选择题
10．如图，，，则点P，C，Q在一条直线上，理由是（ ）．
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B．两点确定一条直线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D．平行于同一条直线的两条直线平行
11．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B． C． D．
12．在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（　　）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定
13．下列说法中正确的个数有( )
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥若直线a∥b，b∥c，则a∥c
A．个 B．个 C．个 D．个
14．如图，下列说法不正确的是（　　）
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
15．如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上．若，则（ ）
A．36° B．45° C．54° D．64°
16．如图，直线l与∠BAC的两边分别相交于点D、E，则图中是同旁内角的有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
17．如图，下列四个结论：①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠B＝∠5；④∠D＝∠5．能判断AB∥CD的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．下列说法，其中错误的有（　　）
①相等的两个角是对顶角；
②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角；
③同旁内角互补；
④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
20．下列图形中，由能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
21．数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角.如图，用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）.我们可以通过以下步骤作图：
①作射线；
②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；
③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P.下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④③① C．③②④① D．④③①②
二、填空题
22．如图，，，，则 .
23．一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角是 ．
24．如图，直线，点，分别在直线，上，点为直线与之间的一点，连接，，且，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为 ．
25．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线a上，若，则∠2的度数为 ．
三、解答题
26．如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝46°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠ABG的度数．
27．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝42°，∠EDG＝46°，求∠AED的度数．
（2）如图2，当点E在FG的延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED，∠EAF，∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论．
28．已知：如图，求证：．
29．阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点、分别在线段、上， AC∥DE， DF∥AE，交于点，平分，求证：平分．
证明：∵平分（已知）
∴（ ）
∵AC∥DE（已知），
∴（ ）
∴（ ）
∵DF∥AE（ ）
∴（ ）
且（ ）
∴（ ）
∴平分（ ）
30．如图，在△ABC中，，，
(1)求证：；
(2)若DG平分∠ADC，，求∠EFC的度数．
31．已知：直线．
(1)如图，点E在直线BD的左侧，则∠B，∠D和∠E之间的数量关系是 ．
(2)如图，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，试探究∠BFD和∠BED的数量关系，并说明理由．
(3)如图，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．
32．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度；
(2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 内错 3
【分析】同位角的意思是在被截直线同一侧，而且在截线同侧的两个角；内错角的意思是在两被截直线的内侧，且在截线异侧的两个角；同旁内角的意思是在两被截直线的内侧，且在截线同侧的两个角；据此判断即可．
【详解】解：（1）∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；
故答案为：AB、AC、DE、内错；
（2）图中与∠3是同位角的角是∠7，
故答案为：∠7；
（3）图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解此题的关键．
2．A
【分析】根据同位角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、∠2与∠1是同位角，故本选项符合题意；
B、∠3与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；
C、∠4与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；
D、∠5与∠1不是同位角，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角等知识点，能熟记同位角的定义是解此题的关键．
3． ∠4 ∠2 ∠5
【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的特征（同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”）判断即可.
【详解】∠1与∠4的两条边组成“F”形的图案，故∠1的同位角是∠4；
∠1与∠2的两条边组成“Z”形的图案，故∠1的内错角是∠2；
∠1与∠5的两条边组成“U”形的图案，故∠1的同旁内角是∠5.
故答案是：∠4；∠2；∠5
【点睛】本题主要考查三线八角中三种角的找法，正确区分同位角、内错角和同旁内角的特点是解题的关键.
4．C
【分析】根据三角板在移动过程中，角度不变，故依据是同位角相等，两直线平行，即可求解．
【详解】解：如图，三角板在移动过程中，角度不变，其依据是同位角相等，两直线平行．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
5．C
【分析】利用内错角相等两直线平行，以及等量代换及同位角相等两直线平行即可得到结果．
【详解】解：①∠1 =∠2，可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，故①错误，不符合题意；
②∠3=∠4，可判定AB∥CD，故②正确，符合题意；
③由AD∥BE可得∠D=∠DCE，再由∠D=∠B可得∠B=∠DCE，可判定AB∥CD，故③正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6．ECD；角平分线的性质；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ECD（角平分线的性质），
∵∠1＝∠2．（已知），
∴∠1＝∠ECD（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的判定解答．
7．B
【分析】利用平行线的判定定理对条件依次验证即可知正确条件个数．
【详解】解：当①；利用同位角互补，两直线平行可知①能判定；
当②；可以判定，故②不能判定；
③；可以判定，故②不能判定；
④；利用内错角相等，两直线平行可知①能判定；
故选：B
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
8．见解析
【分析】首先根据得出GD∥AC，根据平行线的性质得出，由已知条件得出，，根据平行线的判定，即可得出∥EF．
【详解】证明：∵，
∴GD∥AC，
∴，
又∵，
∴，
∴∥EF．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定定理．平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
9．已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故本题得证．
【详解】解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°（对顶角相等）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
10．A
【分析】直接根据平行公理进行判断即可．
【详解】∵，，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点P，C，Q在一条直线上，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行公理，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．B
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合；
B、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项符合；
C、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得：，故此选项不符合．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
12．A
【分析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”分析判断即可．
【详解】解：根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知，
在同一个平面内的直线a，b，c，若，，
则．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行公理推论，熟练掌握平行公理及其推论是解题关键．
13．B
【分析】根据同位角的定义，对顶角的定义，点到这条直线的距离的定义，平行公理，平行线的定义，平行线的判定分别进行分析即可．
【详解】①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②相等的角不一定为对顶角，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故③错误；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故④错误；
⑤不在同一平面内，不相交的直线可能不平行，故⑤错误；
⑥若直线，，则，故⑥正确．
说法中正确的个数有个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同位角的定义，对顶角的定义，点到这条直线的距离的定义，平行公理，平行线的定义，平行线的判定等知识，正确掌握相关定义、定理和公理是解题的关键．
14．B
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义即可进行解答．
【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，因此选项A不符合题意；
B、和，既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，说法不正确，因此选项B符合题意；
C、与是直线，直线，被直线所截，所得到的内错角，说法正确，因此选项C不符合题意；
D、与是直线，直线，被直线所截所得到的同旁内角，说法正确，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，解题的关键是掌握并理解相关定义．
15．C
【分析】由∠1＝36°，可得余角∠3＝54°，再由两直线平行，内错角相等，可得∠2的度数为．
【详解】解：如图所示：
∵∠1＝36°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝54°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝54°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，互余的意义，掌握平行线的性质是解题的关键．
16．C
【分析】根据同旁内角的定义依次判断求解即可．
【详解】解：射线AC与射线AB被直线l所截形成的同旁内角有：∠ADE与∠AED、∠CDE与∠BED；
射线AC与直线DE被射线AB所截形成的同旁内角有：∠DAE与∠DEA；
射线AB与直线DE被射线AC所截形成的同旁内角有：∠EAD与∠EDA；
故选：C．
【点睛】此题主要考查同旁内角的定义，解题的关键是每条直线依次判断．
17．A
【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】解：①∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥BC；
②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；
③∵∠B＝∠5，∴AB∥CD；
④∵∠D＝∠5，∴AD∥BC．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
18．C
【分析】依据对顶角的性质、补角的定义、平行线的性质、点到直线的距离以及平行公理进行判断即可．
【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故错误；
②若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角，故正确；
③两平行直线被第三条直线所截形成的同旁内角才互补，故错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故正确；
其中错误的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质、补角的定义、平行线的性质、点到直线的距离以及平行公理，熟记基础概念和性质是解题的关键．
19．D
【分析】根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.
【详解】
解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC，
又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得
∠2=∠DBC，
又因为∠2+∠ABC=180°，
所以∠EBC+∠2=180°，
即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.
所以∠2=70°.
【点睛】掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.
20．B
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可．
【详解】A.∠1＝∠2，不能判断，故A不符合题意；
B.∵∠1＝∠2，
∴（内错角相等，两直线平行），故B符合题意；
C.，
，故C不符合题意；
D.∠1＝∠2，不能判断，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行，是解题的关键．
21．B
【分析】直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序.
【详解】解：正确的排序是：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P；③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；①作射线.
故选：B.
【点睛】本题考查的知识点是简单的尺规作图，属于容易题.失分的原因是：没有掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法.
22．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，可知，，由此即可求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，解决此类问题的关键在于熟练地根据平行线找出对应的“三线八角”，并结合角度关系进行求值．
23．45°##45度
【分析】设这个角的度数为x，根据互为余角的两个角的角度和等于90°，互为补角的两个角的角度和等于180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，则它的余角为90°-x，补角为180°-x，
根据题意得，180°-x=3（90°-x），
解得x=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了互为余角与补角的定义，一元一次方程的应用，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．
24．或
【分析】分两种情况画图讨论：分别过点和点作，，根据平行线的性质和角平分线的定义，求解即可．
【详解】分两种情况画图讨论：分别过点和点作，，
∴，
∵，
∴，
①如图1所示：
图1
∵，
∴，，
∴，
∵的角平分线与的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
②如图2所示，
图2
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵的角平分线与的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
综上所述：的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，添加平行线，熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．
25．54°##54度
【分析】先求出∠3，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵∠1＝36°，
∴∠3＝90°﹣36°＝54°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝54°，
故答案为：54°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角板中的角度，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
26．（1）见解析；（2）134°
【分析】（1）由对顶角相等得到∠NCM=∠FCD，即可得到∠EAF=∠FCD，即可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义得到∠BCD=180°-∠MCB=134°，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：（1）证明：∵∠EAF=∠NCM，∠NCM=∠FCD，
∴∠EAF=∠FCD，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠MCB+∠BCD=180°，∠MCB=46°，
∴∠BCD=180°-∠MCB=134°，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠ABG=∠BCD，
∠ABG=134°，
答：∠ABG的度数是134°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
27．（1）∠AED＝88°；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．说明见解析．
【分析】（1）过E作EH∥AB，根据平行线的性质得到∠EAF=∠AEH=42°，∠EDG=∠DEH=46°，即可求得∠AED；
（2）过E作EM∥AB，根据平行线的性质得到∠EAF=180°-∠MEH，∠EDG+∠AED=180°-∠MEH，即∠EAF=∠AED+∠EDG．
【详解】解解：（1）过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EH∥AB∥CD，
∴∠EAF=∠AEH=42°，∠EDG=∠DEH=46°，
∴∠AED=∠AEH+∠DEH=88°；
（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．
理由如下：
过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠EAF+∠MEH=180°，∠EDG+∠AED+∠MEH=180°，
∴∠EAF=180°-∠MEH，∠EDG+∠AED=180°-∠MEH，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键．
28．见解析
【分析】根据平行线的判定与性质解答即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了利用平行线的性质和平行线的判定解答，难度适中，反复利用平行线的判定与性质是本题的特点．
29．角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的定义．
【分析】根据角平分线的定义可得，再由AC∥DE，可得，从而得到，然后根据DF∥AE，可得，，从而得到，即可求证．
【详解】证明：∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵AC∥DE（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∵DF∥AE（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
且（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∴平分（角平分线的定义）
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的定义．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的证明，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
30．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，进而可得，即可得出结论；
（2）由可得，再根据角平分线可得．然后由，即可由求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
∵DG平分，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质以及判定是解题关键．
31．(1)
(2),理由见解析
(3)
【分析】（1）作直线l平行于AB，根据两直线平行内错角相等，可得∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D；
（2）根据角平分线的性质可得，根据（1）的结论可得，所以；
（3）过点E作，由两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的性质可得，代入前式得．
【详解】（1）过点E作直线l平行于AB，如图，
∵
∴
∴∠B=∠1，∠D=∠2
∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D
即
（2）如图2，
∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴，，
∴
由（1），可得
，
∴．
（3）．
解析：如图3，
过点E作
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由（1）知，，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴，，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平行线和角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
32．(1)120
(2)∠APC=∠α+∠β
(3)当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α
【分析】（1）过P作PM∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC的度数；
（2）过P作PE∥AE交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，分两种情况：①点P在BD的延长线上，②点P在DB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，过P作PM∥AB，
∴∠APM+∠PAB=180°，
∴∠APM=180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠CPM+∠PCD=180°，
∴∠CPM=180°-115°=65°，
∴∠APC=55°+65°=120°；
故答案为：120；
（2）如图2，∠APC=∠α+∠β，理由如下：
过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图3，当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；理由：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠α-∠β；
如图4，当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α；理由：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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