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专题2.3平行线的性质
1.理解平行线的性质并会进行相关的证明，掌握平行线的性质与判定之间的区别联系；
2.平行线的性质与判定的综合运用；
3.运用平行线的性质进行推理证明；
4.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例；
知识点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
PS：只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.
知识点二、平行线的判定与性质的区别
条件 结论 作用
判定 同位角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系
内错角相等 两直线平行
同旁内角互补 两直线平行
性质 两直线平行 同位角相等 由直线位置关系得到角的数量关系
两直线平行 内错角相等
两直线平行 同旁内角互补
从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.
知识点三、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
特别说明：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
（2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
知识点01 平行线的性质
1．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
2．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
如图，已知，，，试证明：．
解：，（已知），
（______）
____________（______）
（______）
又（已知），
______（______）
（______）
巩固练习
3．将下列证明过程及依据补充完整．
如图，在中，平分交于点D，E，F分别为，上的点，且，，求证：平分
证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（ ）
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（ ）
（ ）
∴_____=______（等量代换），
∴平分（ ）
知识点02 平行线的判定与性质的区别
4．下列说法中：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同旁内角互补，两直线平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固练习
5．如图平分，，．求的度数．
6．如图已知，．求证：．
知识点03 两条平行线的距离
7．探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线，两点、在上，于，于，则．
如图2，已知直线，、为直线上的两点，、为直线上的两点．
(1)请写出图中面积相等的各对三角形： ．
(2)如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有： 与的面积相等；理由是： ．
一、选择题
8．如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
9．一副直角三角尺如图摆放，点在的延长线上，点在上，， ， ， ，则的度数是( )
A． B． C． D．
10．如图，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠2
11．如图，小明在笔记本的横格线中画了两条线段AB，CD，点A，B，C，D都在格线上，C是AB上一点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，，，点M在直线BA上，且，，BE平分∠DBA，则∠EBH的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功．北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到C地进行研学活动，由于A、C两地间是一块湿地，所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走到C地，如图所示，则的度数是（ ）
A．73° B．83° C．93° D．103°
14．下列命题中是真命题的是（ ）
①相等的角是对顶角．
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
15．如图，点D，F在直线上，，若比的2倍小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．一大门的栏杆如图所示，，若，则（ ）
A． B． C． D．
17．下列说法：①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线一定平行；④连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
18．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
19．如图，已知直线，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，如果，那么 度．
20．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等于 ．
21．如图，，BE平分，交AC于点E．若，则的度数是 ．
22．如图，若，则之间的关系为 ．
23．如图，，C是射线FG上一动点，当，时，∠ACB的大小可能是 （用含，的式子表示）．
24．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为 ．
三、解答题
25．如图，，，，求的度数．
解：∵，
∴　 　（ 　 　）．
又∵，
∴（ 　 　）．
∴　 　（ 　 　）．
∴　 　（ 　 　）．
∵，
∴　 　．
26．如图，，点E在直线CD上，射线EF经过点B，BG平分交CD于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
27．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
(2)求证：BE∥CD．
28．如图，BECF，AC⊥CD，BG是∠ABE的角平分线，∠DCF＝28°，求∠ABG的度数．
29．如图，在四边形中，，CA平分，且，．
(1)与平行吗？请写出推理过程．
(2)若点E在线段的延长线上，求与的度数．
30．如图，在中，E，G分别是上的点，F，D是上的点，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，求的度数．
31．问题情境：如图1，ABCD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PEAB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
(2)问题迁移：如图2，ABCD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
32．已知ABCD，点E在AB与CD之间．
(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到和的度数，然后即可得到的度数．
【详解】解：由折叠的性质可得，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
3．两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
【详解】证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∴=（等量代换），
∴平分（角平分线的定义）
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义．
【点睛】本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用，明确相关性质及定理是解题的关键．
4．B
【分析】依据平行公理，平行线的判定，点到直线的距离的定义判定即可．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
②同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故本选项错误；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行，故本选项正确，
综上所述，说法正确的有②④共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等，熟记平行线的性质和公理是解题的关键．
5．
【分析】根据角平分线的定义求出度数，再根据平行的性质就可求出的度数．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟记角平分线的定义是解题的关键．
6．证明见解析
【分析】由题意得，然后判断，可得，由可得，进而结论得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的判定与性质．
7．(1)和，和，和
(2) 同底等高的两个三角形，面积相等
【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿与为例：两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；
（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论．
【详解】（1）有三对分别是：和，和，和，
分析如下：
和，两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；
和，两个三角形以为底，高相等，即面积相等；
和，根据和面积相等，两个三角形同时减去，得和面积相等．
故答案为：和，和，和；
（2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有：与的面积相等，理由是：同底等高的两个三角形，面积相等；
分析如下：
与同底，点在上移动，那么无论点移动到任何位置，点到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，面积相等．
故答案为：，同底等高的两个三角形，面积相等
【点睛】本题考查平行线间的距离处处相等，解题的关键是读懂题意，答案全面．
8．A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
9．B
【分析】根据平行线的性质可得出，进而由求解即可．
【详解】∵， ， ，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
10．A
【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCE．
【详解】解：如图，
∵ABCD，CDEF，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，
∴∠4＝180°－∠2，
∴∠BCE＝∠4+∠3＝180°﹣∠2＋∠1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
11．D
【分析】如图（见解析），根据平行线的性质可得，，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，，
，
，，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
12．A
【分析】首先根据平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，根据，即可求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
，
．
故选A.
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
13．B
【分析】利用平角减去两个角的度数即可求解．
【详解】解：∠ABC=180°-60°-37°=83°，
故选：B．
【点睛】题目主要考查方位角及角度的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
14．D
【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理一一判断即可．
【详解】解：①相等的角是对顶角．是假命题．
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．真命题．
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．假命题．
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．真命题．
故选：D．
【点睛】本题考查对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．A
【分析】先由平行线的性质得出∠EFD=∠1，再由∠1=2∠2-30°，∠EFD+∠2=180°，求出∠2=70°，即可由∠1=2∠2-30°求解．
【详解】解：∵CDEF，
∴∠EFD=∠1，
∵∠1=2∠2-30°，
∴∠EFD=2∠2-30°，
∵∠EFD+∠2=180°，
∴2∠2-30°+∠2=180°，
∴∠2=70°，
∴∠1=2×70°-30°=110°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，邻补角性质，熟练掌握平行线的性质和邻补角性质是解题的关键．
16．C
【分析】过点B做BF∥AE，得到BF∥CD，利用平行线的性质得到∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°，结合BA⊥AE求出结果．
【详解】解：过点B做BF∥AE，
∵AE∥CD，
∴BF∥CD，
∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°，
又∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABF=180°-∠BAE=90°，
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=90°+180°=270°，
故选择C．
【点睛】本题考查平行线的性质以及垂线的定义，过拐点B构造平行线是解决问题的关键．
17．C
【分析】根据平行线公理，平行线的性质，垂线段的性质判断即可；
【详解】解：①不正确，当两直线平行时，内错角才相等；②正确，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③正确，平行于同一条直线的两条直线一定平行；④正确，连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．
∴②③④正确，
故选： C．
【点睛】本题考查了平行线公理和性质，垂线段的性质，掌握相关性质是解题关键．
18．D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图1，由ABCD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由ABCD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，
∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，
即α+β＝90°，
又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，
∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；
（3）如图3，由ABCD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由ABCD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用与外角定理，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
19．
【分析】根据平行线得到内错角相等，在根据直角即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴
故答案为．
【点睛】本题考查平行线性质：两直线平行内错角相等．
20．75°##75度
【分析】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案．
【详解】解：如图，
，直尺的两条对边平行，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1的度数是解题关键．
21．
【分析】根据BE平分，得到，再根据，得到，即可得到结果；
【详解】∵BE平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
22．
【分析】过点作，可得，从而得到∠DEF=∠CDE，∠AEF=180°-∠BAE，即可求解．
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴∠BAE+∠AEF=180°，∠DEF=∠CDE，
∴∠AEF=180°-∠BAE，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
23．或
【分析】分两种情形：当点C在AD，BE之间时，当点C在AD的下方时，分别求解即可．
【详解】解：如图所示，当点C在AD，BE之间时，
过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，
∵∠DAC=，
∴∠ACH=，
又∵∠ECB=，
∴∠BCH=
∴∠ACB=+，
如图，当点C在BE的下方时，
过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，
∵∠DAC=，
∴∠ACH=，
又∵∠ECB=，
∴∠BCH=
∴∠ACB=，
故答案为：+或-．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
24．
【分析】如图，设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝x 24°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x 24°，于是利用平角定义可计算出x＝68°，接着根据平行线的性质得∠A′EF＝180° ∠B′FE＝112°，所以∠AEF＝112°．
【详解】解：如图，设∠B′FE＝x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣24°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣24°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°，
∴x+x+x﹣24°＝180°，解得x＝68°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣68°＝112°，
∴∠AEF＝112°．
故答案为：112°．
【点睛】本题考查了，平行线的性质，折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形．
25．；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【分析】根据平行线的性质和已知求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质求出即可．
【详解】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等．）
又∵，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
26．(1)见解析
(2)150°
【分析】（1）根据，可得∠ABG=∠BGE，根据BG平分∠ABE，可得∠ABG=∠GBE，进而可得∠BGE=∠GBE；
（2）根据，可得∠ABE=∠DEF=60°，根据平角定义可得∠ABF=180°-∠ABE=120°，根据BG平分∠ABE，可得∠ABG=∠ABE=30°，进而可得∠FBG的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠ABG=∠BGE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=∠GBE，
∴∠BGE=∠GBE；
（2）解：∵，
∴∠ABE=∠DEF=60°，
∴∠ABF=180°-∠ABE=120°，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=∠ABE=30°，
∴∠FBG=∠ABF+∠ABG=120°+30°=150°．
答：∠FBG的度数为150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
27．(1)45°
(2)见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数；
（2）根据AC∥DE，∠C=∠E，即可得出∠C=∠ABE，进而判定BE∥CD．
【详解】（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，即∠C＝45°；
（2）∵ACDE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BECD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
28．∠ABG=31°．
【分析】利用垂线的定义得∠ACD=90°，进而求得∠ACF=62°，利用平行线的性质求得∠ABE=62°，再利用角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ∠ACD=90°，
∵∠DCF=28°，
∴∠ACF=62°，
∵，
∴ ∠ABE=∠ACF=62°，
∵ BG 是∠ABE的角平分线，
∴ ∠ABG=∠ABE==31°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
29．(1)，见解析
(2)40°，70°
【分析】（1）由CA平分，且，可得∠BCD的度数，则可得∠BCD与∠D互补，从而可判定AD与BC平行；
（2）由（1）的结论及平行线的性质即可求得∠DAC的度数，再由∠EAD+∠DAC+∠BAC=180°即可求得∠EAD的度数．
【详解】（1）．推理过程如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）
（2）由（1）知，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)145°
【分析】（1）先利用平行线的性质及∠1+∠2=180°得到∠BAD与∠1的关系，再利用平行线判定定理说明ABDG；
（2）由DG是∠ADC的平分线，得出∠GDC =∠1，再利用ABDG求出∠1，再利用∠1+∠ 2= 180°即可得出答案．
【详解】（1）证明： ∵ADEF，
∴∠BAD+∠ 2= 180°．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠BAD =∠ 1．
∴ABDG．
（2）∵DG是∠ADC的平分线．
∴∠GDC =∠1．
∵ABDG，
∴∠GDC =∠B=35°．
∵∠1+∠ 2= 180°，
∴ ∠2=145°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，掌握“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，同位角相等”、“内错角相等，两直线平行”及邻补角的定义是解决本题的关键．
31．(1)110
(2)∠APC=α+β，理由见解析
(3)当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α
【分析】（1）过P作PEAB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PEAB交AC于E，推出ABPEDC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点P作PEAB，
∵ABCD，
∴PEABCD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110．
（2）解：∠APC=α+β，
理由：如图2，过P作PEAB交AC于E，
∵ABCD，
∴ABPECD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）解分两种情况：当P在BD延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，
∵ABCD，
∴ABPECD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，
即∠CPA=α-β；
当P在DB延长线上时，过P作PEAB交AC于E，如图所示，
∵ABCD，
∴ABPECD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，
即∠CPA=β-α．
综上，当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
32．(1)∠BED=∠ABE+∠CDE
(2)∠BED=2∠BFD
(3)∠BED=360°-2∠BFD
【分析】（1）图1中，过点E作EGAB，则∠BEG=∠ABE，根据ABCD，EGAB，所以CDEG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EGAB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为ABCD，EGAB，所以CDEG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【详解】（1）解：如图1中，过点E作EGAB，
则∠BEG=∠ABE，
因为ABCD，EGAB，
所以CDEG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）解：图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为ABCD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）解：∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EGAB，
则∠BEG+∠ABE=180°，
因为ABCD，EGAB，
所以CDEG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-(∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)，
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为ABCD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
答案第1页，共2页
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