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专题2.4用尺规作角
1．能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用．
2．能利用尺规作角的和、差、倍等问题．
3．在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力．
4．利用尺规会依据作图语言作出相应的图形（重点）．
5．如何利用尺规作三角形（难点）．
知识点一、用尺规作一条线段等于已知线段
已知：线段a，求作：一条线段，使它等于a．
作法：1．画射线AC．
2．在射线AC上截取AB=a．则线段AB就是所求作的线段．
知识点二、用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作：一个角，使它等于∠AOB．
作法：1．画射线O′B′．
2．以O为圆心，任意长为半径画弧．交OA于D，交OB于C；
3．以O′为圆心，以OC的长为半径画弧．交O′B′于点C′．
4．以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于D′．
5．过D′作射线O′A′．
则∠A′O′B′就是所求作的角．
知识点01 用尺规作一条线段等于已知线段
典例：
1．按要求作图．（保留作图痕迹，不必写作法）
（1）平面上有A，B，C三点，如图1所示．画直线AC，射线BC，线段AB，在射线BC上取点D，使BD=AB；
（2）如图2，用直尺和圆规作一个角，使它等于∠α．
2．尺规作图的画图工具是（ ）
A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器
C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
3．如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）在射线的上方，作；
（2）在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；
（3）连接，观察并猜想：与的数量关系是______，填（“＞”、“＜”或“＝”）
知识点02 用尺规作一个角等于已知角
典例：
4．已知，求作，使，根据下图填空：
作法：（）作射线__________；
（）以点____为圆心，以任意长为半径画弧，交于点_____，交______于点_____；
（）以点_____为圆心，以______长为半径画弧，交于点_______；
（）以点______为圆心，以______长为半径画弧，交前面的弧于点；
（）过点_______作射线_______，则________就是所求作的角．
巩固练习
5．尺规作图：如图，作一个角等于已知角．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法）．
已知：
求作：
6．已知：∠AOB．
利用尺规作： ∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．
7．已知和，求作一个角，使它等于与的和．
一、选择题
8．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作，∠DEF即为所求作的角．
A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．表示射线EF
9．数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角.如图，用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）.我们可以通过以下步骤作图：
①作射线；
②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；
③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P.下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④③① C．③②④① D．④③①②
10．实践课上，张老师给同学们出了这样一道题：已知，如图点在的边上，用尺规作出.小颖进行如图所示的操作，从作图的痕迹可以发现，是（ ）

A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
11．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
12．已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是( )
A．以点C为圆心，OD的长为半径的弧
B．以点C为圆心，OM的长为半径的弧
C．以点E为圆心，DM的长为半径的弧
D．以点E为圆心，CE的长为半径的弧
13．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．已知∠EOF，求作∠E′O′F′，使得∠E′O′F′＝∠EOF，则作法的合理顺序是【 】
①以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点D′；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OE于点C，交OF于点D；③作射线O′E′；④以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′E′于点C′；⑤过点D′作射线O′F′，∠E′O′F′就是所求作的角.
A．③②①④⑤ B．③②④①⑤
C．②④③①⑤ D．②③①④⑤
15．如图，已知∠AOB与∠EO'F，分别以O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'．以B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，交弧A'B'于点H．下列结论不正确的是（ ）
A．∠AOB＝2∠EO'F B．∠AOB＞∠EO'F
C．∠HOB＝∠EO'F D．∠AOH＝∠AOB﹣∠EO'F
16．如图，已知∠AOB，用尺规作∠FCE，使∠FCE＝∠AOB，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点E为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，OD为半径的弧
C．以点E为圆心，DM为半径的弧
D．以点C为圆心，DM为半径的弧
17．用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
18．我们利用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：
（1）作射线；
（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
（3）以为圆心，为半径作弧，交于；
（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；
（5）连接作射线则就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（ ）
A． B． C． D．
19．要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．然后(　　)
A．以点O′为圆心，任意长为半径画弧 B．以点O′为圆心，OB长为半径画弧
C．以点O′为圆心，CD长为半径画弧 D．以点O′为圆心，OD长为半径画弧
二、填空题
20．已知和，画一个角使它等于，画法如下：
（1）画 ．
（2）以点O为顶点，为始边，在的 作；则．
21．下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有
22．作图题的书写步骤是 、 、 ，而且要画出 和 ，保留 ．
23．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是 ．
24．已知，∠AOB ． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB ． 作法：
①以 为圆心， 为半径画弧．分别交OA ， OB于点C ， D ．
②画一条射线O′A′，以 为圆心， 长为半径画弧，交O′A′于点C′，
③以点 为圆心 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
④过点 画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB ．
三、解答题
25．已知：如图，，平分．
(1)以射线为一边，在的外部作，使；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若，求的大小．
26．已知，求作，保留作图痕迹．
27．尺规作图：已知，，
求作，使得．（不写作法，但要保留作图痕迹）
28．下面方格图形中的小方格都是小正方形，用无刻度直尺按要求作图：
(1)延长线段AB至C，使AC＝3AB；
(2)作∠PAC＝45°．
29．如图所示，已知∠和∠，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠-∠）．
30．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
（1） 如图1，写出以C为顶点的相等的角；
（2） 如图1，若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数；
（3） 如图1，想一想：∠ACB与∠ DCE之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（4）根据上述经验，在图2中，利用三角板的特殊角画一个与∠CAB相等的角(请指明你所使用的三角板的角的度数和画出与∠CAB相等的角)
31．尺规作图
（1）如图所示，已知线段AB，∠α，∠β，用尺规作一个△ABC，使它的两个角分别为∠CAB=∠α，∠CBA=∠β．（不写作法，保留作图痕迹,图作在空白处）
（2）已知：点P为∠CAB边上的一点，求作：直线PQ，使得PQ∥AB
32．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
33．已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据直线、射线、线段的作法作出图形即可；
（2）根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
【详解】（1）如图1所示：
（2）如图2所示：
【点睛】此题主要考查了基本作图，关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
2．D
【分析】根据尺规作图的概念即可判断.
【详解】在几何里，把只用没有刻度的直尺和圆规画图的方法称为尺规作图.
故选:D.
【点睛】考查尺规作图的概念，尺规作图只允许使用两种工具：没有刻度的直尺和圆规是解题的关键.
3．（1）见解析；（2）见解析；（3）＝
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图即可解答
（2）根据作一条线段等于已知线段的尺规作图即可解答
（3）结合图形易证，即可得到答案
【详解】（1）如图所示：
作法：
①以点B为圆心任意长为半径画圆弧，交AB，BC于点G，H
②再以点E为圆心以①中的半径画圆弧，交EM于点P
③再以点P为圆心GH长为半径画圆弧，与②所画的圆弧交于点N，连接EN即可
（2）如图所示：
作法：
①用圆规取BC的长度，以点E为圆心BC长为半径画弧，交EM于点F，则EF=BC
②用圆规取AB的长度，以点E为圆心AB长为半径画弧，交EN的延长线于点D，则DE=AB
（3）根据EF=BC，DE=AB，可证，则DF=AC
【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，以及作一条线段等于已知线段的尺规作图方法．
4．（1）；（2）；；；；（3）；；（4）；；（5）；；
【分析】根据做一个角等于已知角的方法，即可得到答案.
【详解】作法：（）作射线；
（）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点C，交OB于点D；
（）以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交于点C′；
（）以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点；
（；）过点D′作射线OB′，则就是所求作的角．
故答案为（）；（）OC，OB，D；（）O′，OC，C′；（）C′，CD，；（）D′，OB′，．
【点睛】本题考查尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握作图的基本步骤是关键．
5．见解析.
【分析】首先画射线CF；再以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于E、D；以C为圆心，OD长为半径画弧，然后再以N为圆心ED长为半径画弧，交前弧于M，过M作射线AE可得∠ECF.
【详解】已知：∠AOB，
求作：∠ECF等于∠AOB，
如图所示：
∠ECF即为所求
【点睛】考核知识点：求作一个角等于另一角.掌握一般方法是关键.
6．见解析
【分析】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．
【详解】解：作法一：
如图（1）所示，
（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；
（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；
（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．
作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点E；
（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；
（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．
【点睛】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．
7．见解析
【分析】先作，再以为始边作即可．
【详解】解：如图，为所作．
【点睛】本题考查作一个角等于已知角，能够熟练掌握尺规作图是解决本题的关键．
8．D
【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，●表示点O，故选项A不正确；
◎表示OP或OQ，故选项B不正确；
⊙表示PQ，故选项C不正确；
表示射线EF，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完成求解．
9．B
【分析】直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序.
【详解】解：正确的排序是：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P；③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；①作射线.
故选：B.
【点睛】本题考查的知识点是简单的尺规作图，属于容易题.失分的原因是：没有掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法.
10．D
【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答．
【详解】根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法,弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧.
故选:D.
【点睛】考查基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤是解题的关键.
11．D
【详解】解：如图所示，根据图中直线a、b被c所截形成的内错角相等，可得依据为内错角相等，两直线平行.
故选D.
12．C
【详解】试题解析：根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选C．
13．B
【分析】根据作一个角等于另一个角的作法进一步求解即可．
【详解】由题意得：=26°，
∴=+=52°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了作一个角等于另一个角的作法，熟练掌握相关方法是解题关键．
14．B
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤，即可求解.
【详解】解：作一个角等于已知角的步骤是：
③作射线；
②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OE于点C，交OF于点D；
④以点 为圆心，以OC的长为半径画弧，交于点；
①以点为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点；
⑤过点作射线，就是所求作的角.
故选B.
【点睛】本题主要考查尺规作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤是关键.
15．A
【分析】根据作一个角等于已知角的作图可得，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由作图可知，．
A、，但不一定等于，则此项不正确，符合题意；
B、，则此项正确，不符合题意；
C、，则此项正确，不符合题意；
D、，则此项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，解题的关键是理解作图过程，灵活运用所学知识解决问题．
16．C
【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可．
【详解】解：由作图可知，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本作图步骤是解答本题的关键．
17．C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
18．C
【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．
【详解】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19．D
【分析】根据作一个角等于已知角的方法判断.
【详解】要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，
应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．
然后以点O′为圆心，OD长为半径画弧，再进行画图，
故选D.
【点睛】理解作一个角等于已知角的方法步骤是关键.
20． 外部
【分析】根据角的画法步骤，先画出∠AOB=∠1，再在∠AOB的外部画出∠2，即可得到∠AOC
【详解】画法详解:
（1）画∠AOB=∠1．
（2）以点O为顶点，OB为始边，在∠AOB的外部作∠BOC=∠2；则∠AOC=∠1+∠2．
故答案: （1）∠1 （2）外部
【点睛】本题主要考查了角的画法，准确记住画角的步骤是解题关键．
21．③⑤
【分析】①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可；
②根据射线的性质判断即可；
③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可；
④根据直线的性质判断即可；
⑤根据平行公理判断即可．
【详解】解：①以O为圆心作弧，可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；
②射线AB是由A向B向无限延伸，所以叙述错误；
③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确；
④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；
⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线，所以叙述正确．
所以正确的有③⑤．
故答案为∶③⑤．
【点睛】考查尺规作图，涉及直线，射线以及圆，角，平行线的知识，属于基础题，解题的关键是掌握它们的性质．
22． 已知 求作 作法 图形 结论 作图痕迹
【详解】解：作图题的书写步骤是 已知、求作、作法，而且要画出图形和 结论，保留作图痕迹，
故答案为：已知、求作、作法，图形，结论，作图痕迹．
23．全等三角形，对应角相等
【分析】首先连接CE、DE，然后证明△OCE≌△ODE，根据全等三角形的性质可得∠AOE=∠BOE．
【详解】连接CE、DE，
在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE．
因此画∠AOB的平分线OE，其理论依据是：全等三角形，对应角相等．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法．
24． O 任意长 O′ OC C CD D′
【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法解答即可．
【详解】①以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA ， OB于点C、D ．
②画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，
③以点C为圆心CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.
故答案为：(1). O； (2). 任意长；(3). O′； (4). OC； （5）. C ； (6). CD ；(7). D′
【点睛】本题主要考查了作一个角等于已知角，是基本作图，需熟练掌握．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图法作出图形便可；
（2）根据角平分线求得，再根据角的和差求得，进而由角和差求得便可．
【详解】（1）作图如下：
（2）∵，平分．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，角的和差计算等知识，解题的关键是应用角的和差解题．
26．见解析
【分析】根据作一个角等于已知角的方法即可完成作图．
【详解】解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
27．见解析
【分析】先作，再作，结合图形即可得出．
【详解】解：先作，再作，
∴，
即为所求．
【点睛】题目主要考查作一个角等于已知角及角的差，熟练掌握作一个角等于已知角是解题关键．
28．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用网格特征解决问题即可，注意有两种情形．
【详解】（1）如图，线段AC即为所作；
（2）如图，∠PAC或即为所作．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．见解析．
【分析】根据尺规作图的基本步骤作图即可．
【详解】作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠；
（2）以射线OD为一边，在∠COD的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠；
（3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠；
（4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠，则∠AOB就是所求作的角．
【点睛】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
30．（1）∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB；（2）30°；（3）∠ACB＋∠DCE＝180°，见解析；（4）见解析
【分析】（1）根据余角的定义即可得出结论；
（2）根据角的和差即可得出结论；
（3）根据补角的定义即可得出结论；
（4）根据特殊直角三角板的度数量出∠CAB的度数画出即可．
【详解】解：如图1：(1)∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB.
(2)因为∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，
所以∠ACE＝150°－90°＝60°.
所以∠DCE＝90°－∠ACE＝90°－60°＝30°.
(3) ∠ACB＋∠DCE＝180°
理由如下：因为∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE，
∠BCE＝90°，∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝90°，
所以∠ACB＋∠DCE＝180°.
（4）利用90°角两边作出，作，即可得出．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的性质和角的和差公式是解答本题的关键．
31．（1）见详解；（2）见详解．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，分别以A、B为顶点，作图即可；
（2）以A点为圆心，任意长为半径画弧，交AB于F，交AP于E，然后以P为圆心，以AF长为半径画弧，交AP于M，以M为圆心，EF长为半径画弧交前弧于N，过PN画直线PQ即可．
【详解】（1）如图所示：
；
（2）如图所示：
．
【点睛】此题主要考查了基本作图，解题关键是掌握作一个角等于已知角的作法，以及同位角相等，两直线平行的判定方法．
32．见解析
【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．
【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；
作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．
【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．
33．作图见解析.
【分析】首先作∠MBN=∠β，然后在BN上截取BC=a，在BM上截取BA=c，连接AC，即可作出△ABC．
【详解】如图：①作∠MBN=∠β，
②在BN上截取BC=a，在BM上截取BA=c，连接AC，
则△ABC即为所求．
答案第1页，共2页
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